高考数学第一轮复习【前沿热点】　新高考数学试题分析讲义及试题

【标题】【前沿热点】新高考数学试题分析纵观三年来新高考全国卷数学试题（Ⅰ、Ⅱ卷共6套），新高考试题贯彻落实了高考改革的总体要求，实施“德智体美劳”全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出关键能力考查，落实立德树人根本任务，充分发挥考试的引导作用.试题突出数学本质、重视理性思维、坚持素养导向、能力为重的命题原则.通过设计真实问题情境，体现数学的应用价值；稳步推进改革，科学把握必备知识与关键能力的关系，体现了对基础性、综合性、应用性和创新性的高考考查要求.一、突出主干知识、筑牢能力基础高中阶段数学主干知识包括：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、三角函数与解三角形、平面向量、复数、数列、一元函数的导数及应用、立体几何、解析几何、计数原理、概率、随机变量及其分布、统计与成对数据的统计分析.以2022年新高考Ⅰ、Ⅱ卷为例，对各试题所考查的知识进行分析如下：题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2022年新高考Ⅰ卷2022年新高考Ⅱ卷单选题1交集运算交集运算2复数运算，共轭复数的概念复数代数形式的乘法运算3平面向量的线性表示等差数列的性质4棱台的体积公式利用向量坐标求夹角、参数值5古典概型的计算排列、组合6根据三角函数的性质求函数值三角恒等变换、和差公式7指数、对数、幂函数值的大小比较正三棱台的外接球8正四棱锥外接球及体积计算抽象函数的性质、求值题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2022年新高考Ⅰ卷2022年新高考Ⅱ卷多选题9正方体中的线线角、线面角计算三角函数的性质10函数的极值、零点、对称及切线方程问题抛物线的性质，抛物线与直线的位置关系11抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，弦长空间几何体的体积计算12函数的对称性、奇偶性与周期性综合不等式的求解与证明续表题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2022年新高考Ⅰ卷2022年新高考Ⅱ卷填空题13二项式定理正态分布14圆与圆的公切线求曲线的切线方程15根据曲线的切线条数求参数范围根据直线与圆的位置关系求参数范围16根据直线与椭圆的位置关系求三角形的周长由直线与椭圆的位置关系及弦长求直线方程题型题号各试题所考查的知识点分布及考查角度2022年新高考Ⅰ卷2022年新高考Ⅱ卷解答题17求数列的通项公式（累乘法），裂项法求数列的和等差（比）数列的性质证明，定义新数列，求集合中的元素个数18三角恒等变换与解三角形求角及求代数式的最值根据正、余弦定理求三角形面积、边长19求点到平面的距离，求二面角的正弦值由统计图求平均数、概率及条件概率20独立性检验，条件概率中的证明与化简计算线面平行的证明，求二面角的正弦值21根据直线与双曲线的位置关系求直线的斜率及三角形的面积求双曲线的方程，根据直线与双曲线的位置关系，任选两个条件证明第三个条件成立22根据函数的最值求参数值，证明直线与两曲线交点的横坐标成等差数列讨论函数的单调性，根据恒成立求参数的范围，证明不等式恒成立从上表可以看出，试题所考查知识范围及思想方法90%以上都源于教材主干知识，由此在一轮复习备考中更应重视必备知识的系统梳理、基本能力的逐点夯实.二、注重试题情境创设、牢记育人宗旨1.关注社会热点2022年新高考Ⅰ卷第20题以当今社会热点“医疗健康”为背景命制试题，其目的是引导学生关注社会、关注民生，用所学知识解决生活实践情境下的实际问题.（2022·新高考Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P(B|A)①证明：R＝P(A|②利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用①的结果给出R的估计值.附：K2＝n(P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.8282.展示现代科学技术水平2021年新高考Ⅱ卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境命制立体几何问题，在考查学生的空间想象能力和阅读理解、数学建模等素养的同时，引导学生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展，增强民族自豪感与自信心.（2021·新高考Ⅱ卷）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2（1－cosα）（单位：km2），则S占地球表面积的百分比约为（）A.26%B.34%C.42% D.50%3.弘扬优秀传统文化2022年新高考Ⅱ卷第3题以中国古代建筑中的举架结构为背景命制出以等差数列为考查点的试题，此类试题不但能考查学生的阅读理解能力、直观想象能力及知识运用能力，而且还能以优秀传统文化精髓陶冶情操.（2022·新高考Ⅱ卷）图①是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图②是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，A.0.75 B.0.8C.0.85 D.0.94.体现数学应用价值2022年新高考Ⅰ卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景命制出以四棱台体积公式为考查点的立体几何试题，体现了数学的应用价值.（2022·新高考Ⅰ卷）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（7≈2.65）（）A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m3三、重视能力考查、使素养评价科学有据高中数学课程标准对培养学生能力的要求是数学“六大核心素养”的集中展示.要检验学生核心素养高低，必须通过解决数学问题来体现.1.（2022·新高考Ⅰ卷）写出与圆x2＋y2＝1和（x－3）2＋（y－4）2＝16都相切的一条直线的方程.

｜素养评价｜本题主要考查学生直观想象中作图、视图、观察分析能力，此题并不难，若采用常规求解，不但计算量大，更易出错，若能精确作出两圆，可直观显现出x＝－1就是该题的答案，由此可很好的评价不同学生的直观想象及数学抽象中的层级问题，在观察与思维层面上也能体现出差异.2.（2021·新高考Ⅰ卷）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（－17，0），F2（17，0），点M满足｜MF1｜－｜MF2｜＝2.记M的轨迹为C.（1）求C的方程；（2）设点T在直线x＝12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜，求直线AB的斜率与直线PQ｜素养评价｜本题的易错点为学生抓不住｜TA｜·｜TB｜＝｜TP｜·｜TQ｜的本质，不会对其进行多元表征.实际上，设过点T的直线方程，利用弦长公式化简，对计算能力要求较高.若引入直线参数方程或利用曲线系，可以很好地回避繁琐的运算.求解此题选取的方法不同，体现出的核心素养的水平也不相同，因此，在平时的学习中多注意解题方法的探究性学习，适当拓展知识面，对提升核心素养和解题速度十分重要.四、秉承创新、引导探究性学习新高考试卷中开放性试题的增设，促进了考查的灵活性，思维方式的多样性.同时引导了学生重视探究性学习，逐步培养学生创新思维的良好习惯.1.举例题（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：.

①f（x1x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0；③f'（x）是奇函数.｜素养评价｜本类题目属于结论开放型，利用所学知识选择数学模型，使之满足题目所具有的性质的结果可能不唯一，选其之一做为答案即可.2.结构不良题（2022·新高考Ⅱ卷）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P（x1，y1），Q（x2，y2）在C上，且x1＞x2＞0，y1＞0.过P且斜率为－3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①M在AB上；②PQ∥AB；③｜MA｜＝｜MB｜.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.｜素养评价｜本类题目属于策略开放型，在2020年新高考Ⅰ卷中出现了选择单一条件补充到题干中求解题设问题，而2022年新高考Ⅱ卷在此基础进行了创新，使题设变成了在三个给出的条件中任选两个作为条件证明另一个成立.在解答过程中，不同的选配方式更能体现出不同的素养层次.3.探索题（2021·新高考Ⅱ卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.｜素养评价｜本类题目属于条件探索型，此题第（2）