人教版高一数学新教材同步配套教学讲义2.2基本不等式(原卷版+解析)

2.2基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值1.直接法求最值2.常规凑配法求最值3.消参法求最值4.换元求最值5.“1”的代换求最值6.法7.条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．例2．（2022·河南开封·高一阶段练习）若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（

）．A． B． C． D．例3．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．例4．（2022·浙江·高三专题练习）已知正数，满足，则下列结论错误的是（

）．A． B．C． D．例5．（2022·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个例6．（2022·全国·高一专题练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.题型二：利用基本不等式比较大小例7．（2022·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，则与的大小关系是_____.例8．（2020·上海·高一专题练习）若，且，则中值最小的是__________例9．（2022·全国·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是_______.例10．（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________例11．（2020·上海·高一课时练习）设a，，且，，则1，ab，的大小关系是________．【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三：利用基本不等式证明不等式例12．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．例13．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））证明下列不等式：(1)；(2)（）.例14．（2022·湖南·高一课时练习）设，为正实数，求证：．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知：，求证：.例16．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）已知，且，求证：(1)；(2).【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．题型四：利用基本不等式求最值1.直接法求最值例17．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．例18．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（

）A．18 B．27 C．54 D．90例19．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.例20．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.2.常规凑配法求最值例21．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．例22．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．例23．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最大值是______例24．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．例25．（2022·河北邢台·高一阶段练习）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．例26．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值3.消参法求最值例27．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．例28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6例29．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．4.换元求最值例30．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.例31．（2020·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.例32．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________例33．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．5.“1”的代换求最值例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．例35．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（

）A． B． C． D．例36．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3例37．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4例38．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．例39．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（

）A．25 B．18 C．13 D．12例40．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．例41．（2022·湖南·高一阶段练习）若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．6.法例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．7.条件等式求最值例43．（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2例44．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2例45．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3例46．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例47．（2022·山东·牟平一中高一阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.例48．（2022·江苏·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．例49．（2022·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.例50．（2022·全国·高一课时练习）设，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于___________.例51．（2022·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值题型六：基本不等式在实际问题中的应用例52．（2020·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？例53．（2021·广东·新会陈经纶中学高一期中）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.例54．（2022·江苏南通·高一期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.(1)当时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？例55．（2022·贵州铜仁·高一期末）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【同步练习】一、单选题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．62．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若，则B．C．函数最小值为D．若，则的最小值为5．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（

）A．2 B．4C．6 D．86．（2022·江苏·高一专题练习）设有三个推断：①的最小值为2；②时取等号的最小值为2；③，的最大值为以上三个推断中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．07．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）设是正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．8．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2022·安徽·高一期中）下列不等式中正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）已知，，则下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．11．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为1612．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下列与基本不等式有关的命题中正确的是（

）A．若，，，则B．若，，，则的最小值为C．若，，，则的最小值为D．若，，，则的最小值为2三、填空题13．（2018·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知，，，则的最小值为__．14．（2020·广东·新会陈经纶中学高一期中）已知，，且，则的最小值为_________15．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）已知正数x、y满足x+=4，则xy的最大值为_______.16．（2020·江西·上高二中高一期末（理））已知，为正实数，且，则的最小值为___________.四、解答题17．（2022·江西省铜鼓中学高一阶段练习（文））（1）已知，且，求的最小值；（2）已知是正数，且满足，求的最小值.18．（2022·湖北·车城高中高一阶段练习）（1）已知，，，求的最小值；（2）已知，求的最大值.19．（2022·湖南·高一课时练习）如图，动物园要以墙体为背面，用钢筋网围成四间具有相同面积的矩形虎笼．(1)现有可围长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大？(2)若每间虎笼的面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？20．（2022·湖北·黄石市有色第一中学高一期中）（1）设，，且，求的取值范围；（2）设，若，求的最大值．21．（2022·湖南·高一课时练习）证明不等式：(1)若，，，都是正数，求证：；(2)若，，是非负实数，则；(3)若，是非负实数，则；(4)若，，则．22．（2022·河南·高一期中）已知、、都是正数．(1)求证：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．2.2基本不等式【知识点梳理】知识点一：基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=”的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或知识点诠释：可以变形为：，可以变形为：.知识点二：基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.知识点诠释：特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得：如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”）.知识点三：基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.知识点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.知识点四：用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.知识点诠释：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【题型归纳目录】题型一：对基本不等式的理解及简单应用题型二：利用基本不等式比较大小题型三：利用基本不等式证明不等式题型四：利用基本不等式求最值1.直接法求最值2.常规凑配法求最值3.消参法求最值4.换元求最值5.“1”的代换求最值6.法7.条件等式求最值题型五：利用基本不等式求解恒成立问题题型六：基本不等式在实际问题中的应用【典型例题】题型一：对基本不等式的理解及简单应用例1．（2022·全国·高一课时练习）若且，则下列不等式中恒成立的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据基本不等式判断，错误的不等式可举反例．【详解】当时，，A错；时，满足，但，B错；时，满足，，C错．，则，，当且仅当时等号成立．D正确．故选：D．例2．（2022·河南开封·高一阶段练习）若两个正数、满足，则下列各式中恒成立的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令，可判断A；由不等式的性质以及基本不等式可判断B；取可判断C；利用不等式的性质判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：令，满足，则，故选项A不正确；对于B：因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，故选项B正确；对于C：令满足，则，故选项C不正确；对于D：由可得，故选项D不正确；故选：B.例3．（2022·河北·沧州市一中高一阶段练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由图形可知：，在直角中，利用勾股定理求得，结合，即可求解.【详解】由图形可知：，在直角中，利用勾股定理，可得，因为，所以.故选：B.例4．（2022·浙江·高三专题练习）已知正数，满足，则下列结论错误的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】A、B、C选项结合均值不等式证明即可，D选项举出反例即可说明错误.【详解】A：，当且仅当时，等号成立，又因为，所以，即，故A正确；B：，当且仅当时，等号成立，因为，所以，故B正确；C：，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；D：若，则，故D错误；故选：D.例5．（2022·江苏·高一专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）已知，求的最小值；解答过程：；求函数的最小值；解答过程：可化得；设，求的最小值；解答过程：，当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案．【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，此时，当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；对：，当且仅当，即时取等号，但，则等号取不到，故的用法有误；对：，，，当且仅当，即时取等号，故的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：.例6．（2022·全国·高一专题练习）给出下面三个推导过程：①∵a、b为正实数，∴＋＝2；②∵a∈R，a≠0，∴＋a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2.其中正确的推导为（

）A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】B【解析】【分析】利用特殊值确定错误推导，结合基本不等式判断正确推导.【详解】①，根据基本不等式的知识可知①正确.②，当时，，所以②错误.③，根据基本不等式的知识可知③正确.所以正确的为①③.故选：B【方法技巧与总结】应用基本不等式时的三个关注点(1)一正数：指式子中的a，b均为正数.(2)二定值：只有ab为定值时才能应用基本不等式，因此有时需要构造定值.(3)三相等：即“=”必须成立，求出的定值才是要求的最值.题型二：利用基本不等式比较大小例7．（2022·全国·高一专题练习）若a>0，b>0，则与的大小关系是_____.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可判断出结论.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关不等式的问题，正确解题的关键是能够熟练掌握基本不等式，注意等号成立的条件.例8．（2020·上海·高一专题练习）若，且，则中值最小的是__________【答案】【解析】【分析】先由均值不等式有：，，再比较与的大小，作差比较大小可得最小的数.【详解】由，，且，根据均值不等式有：，，又，因为，所以，则，所以，即.故答案为：.例9．（2022·全国·高一课时练习）若，，且，则在中最大的一个是_______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式和不等式的基本性质判断.【详解】因为，所以，且，由不等式的基本性质得，所以在中最大的一个是故答案为：例10．（2022·湖南·高一课时练习）已知，则与的大小关系是____________【答案】.【解析】【分析】将化为，然后运用基本不等式比较大小.【详解】∵，∴，，∴，当且仅当，即时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式的运用，属于简单题，将化为是关键.例11．（2020·上海·高一课时练习）设a，，且，，则1，ab，的大小关系是________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可直接推出，再由变形可得，即可得出不等关系.【详解】因为a，，，所以，即，又，所以，因为，所以，则，，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式比较大小，属于基础题.【方法技巧与总结】利用基本不等式比较大小在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形．在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能．题型三：利用基本不等式证明不等式例12．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（文））设a，b，c均为正数，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据基本不等式得到三个同向不等式，再相加即可得证；（2）根据均值不等式可证不等式成立.(1)因为，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，，当且仅当时，等号成立，所以，即，即，当且仅当时，等号成立.(2)因为,所以，当且仅当时，等号成立，即，即，所以，当且仅当时，等号成立.例13．（2022·宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文））证明下列不等式：(1)；(2)（）.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法证明不等式即可；（2）利用重要不等式证明即可；(1)证明：要证成立，即证，即，即证，即证，而显然成立，故成立；(2)证明：∵，，，当且仅当时取等号；∴即，当且仅当“”时取得等号．例14．（2022·湖南·高一课时练习）设，为正实数，求证：．【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为，为正实数，所以，，，当且仅当时取等号，所以，即，当且仅当时取等号；例15．（2022·全国·高三专题练习）已知：，求证：.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用平方的方法，结合基本不等式证得不等式成立.【详解】，两边平方得，根据基本不等式有，将上述个不等式相加得，即，所以，整理得，当且仅当时等号成立.例16．（2022·上海市徐汇中学高一阶段练习）已知，且，求证：(1)；(2).【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．（2）根据已知条件，利用基本不等式计算，即可得证．(1)证明：因为，且，所以，当且仅当时取等号，所以；(2)证明：，，，，当且仅当，即时，等号成立，，即得证．【方法技巧与总结】利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．题型四：利用基本不等式求最值1.直接法求最值例17．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解积的最大值.【详解】∵，，∴，即，当且仅当时等号成立，∴．故选：D．例18．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（

）A．18 B．27 C．54 D．90【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可得答案．【详解】由题意可得，当且仅当时，即等号成立.故选：C．例19．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.【答案】##.【解析】【分析】利用基本不等式可直接求得结果.【详解】，，，，即（当且仅当，即，时取等号），，即的最大值为.故答案为：.例20．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.2.常规凑配法求最值例21．（2022·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得结果.【详解】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.例22．（2022·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．【答案】【解析】【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可．【详解】解：由且，可得，代入，又，当且仅当，即，又，可得，时，不等式取等，即的最大值为，故答案为：．例23．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的最大值是______【答案】【解析】【分析】将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得原函数的最大值.【详解】，则，所以，，当且仅当时，因为，即当时，等号成立，所以的最大值为.故答案为：.例24．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.【详解】因，且，则，即有，同理，由得：，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为.故选：D例25．（2022·河北邢台·高一阶段练习）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】将所求的代数式整理为，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.例26．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A3.消参法求最值例27．（2022·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】计算得出，利用基本不等式可求得的最大值.【详解】因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为.故选：C.例28．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】【分析】根据变形得，进而转化为，用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.例29．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2（）2+，然后结合二次函数的性质可求．【详解】因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝，则＝＝＝﹣2（）2+，当，即b＝2时取得最大值．故答案为：．4.换元求最值例30．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【解析】【分析】（1）化简整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.（2）令，整理可得，利用基本不等式，即可求得最小值.【详解】（1）∵（当且仅当，即x=1时取等号）的最小值为3；（2）令，则，当且仅当即t=3时取等号y的最小值为10例31．（2020·上海·高一专题练习）求下列函数的最小值（1）；（2）；（3）.【答案】（1）3；（2）；（3）10.【解析】【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值.【详解】（1）∵（当且仅当，即x=1时取“=”）即的最小值为3；（2）令，则在是单增，∴当t=2时，y取最小值；即y的最小值为（3）令，则可化为：当且仅当t=3时取“=”即y的最小值为10例32．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________【答案】【解析】【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.例33．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】令，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。【详解】由题意，，，，得：，设，则，故，当且仅当，即时取得等号，故的最小值为，故答案为：5.“1”的代换求最值例34．（2022·湖北宜昌·高一期中）已知为正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】将变形为，所求式子乘1，然后展开由基本不等式可得.【详解】因为为正实数，所以所以当且仅当，即时，取等号，故的最小值为8.故选：C例35．（2022·浙江·金华市曙光学校高一阶段练习）已知x，y＞0，当x+y＝2时，求的最小值（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由，再展开化简，根据基本不等式求最小值即可【详解】由题，，当且仅当，即，即时取等号故选：C例36．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）已知都是正数，且，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，令，即可求解.【详解】由题意知，，，则，当且仅当时，取最小值.故选：C．例37．（2022·江西·高一期中）已知，，且，则的最小值是（

）A． B．2 C．9 D．4【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可求解.【详解】由题意可得．因为，，所以，则，当且仅当，时，等号成立．故选：A例38．（2022·四川·树德中学高一阶段练习）已知正实数满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由基本不等式的乘“1”法计算最小值.【详解】因为，所以，当且仅当时，取等号，的最小值是.故选：D例39．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，且，求的最小值为（

）A．25 B．18 C．13 D．12【答案】A【解析】【分析】等式变形为，则根据基本不等式即可得到答案．【详解】解：已知，，且．，即．则，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为25．故选：A．例40．（2022·福建·厦门一中高一期中）已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题得，再利用基本不等式求解.【详解】解：由可知，，当，即时，“”成立，故选：A.例41．（2022·湖南·高一阶段练习）若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】解：因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以，的最小值为.故选：B6.法例42．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案.【详解】由题意，设，代入方程得：，所以，即的最小值为：.故选：D.7.条件等式求最值例43．（2022·山东潍坊·二模）已知正实数a，b满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】将条件中的式子进行配方，利用基本不等式得到关于的不等式，解不等式即可求出结果.【详解】因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，即，所以，即，因为为正实数，所以，因此，故的最大值为，此时，故选：B.例44．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】【分析】将给定等式变形为，，再代入并结合均值不等式求解作答.【详解】由，得，而，则有，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为2.故选：D例45．（2022·山东泰安·模拟预测）已知，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．3【答案】A【解析】【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.【详解】由，得，即，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是2.故选：A.例46．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．【答案】C【解析】【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案.【详解】解：，则，当且仅当时，“=”成立，又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，所以的最大值为.故选：C【方法技巧与总结】利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值．(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．题型五：利用基本不等式求解恒成立问题例47．（2022·山东·牟平一中高一阶段练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得；【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即；故答案为：例48．（2022·江苏·高一专题练习）若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．【答案】或【解析】【分析】将“不等式有解”转化为，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．【详解】不等式有解，，，，且，，当且仅当，即，时取“”，，故，即，解得或，故答案为：或．例49．（2022·辽宁·高一期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】问题转化为恒成立，由基本不等式求的最小值可得．【详解】，，不等式恒成立，恒成立，又当且仅当即时取等号，的最小值为，所以，即的最大值为，故答案为：．例50．（2022·全国·高一课时练习）设，且不等式恒成立，则实数k的最小值等于___________.【答案】【解析】【分析】先分离出参数，得，然后利用基本不等式求得的最大值即可．【详解】解：由，得，，当且仅当时取等号，，即实数的最小值等于.故答案为：.例51．（2022·江苏·高一专题练习）已知实数x、y满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是【答案】【解析】【分析】由，得出，进一步得到的最小值，再根据不等式恒成立，得出求出c的取值范围．【详解】解：，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．【方法技巧与总结】利用基本不等式求解恒成立问题，通常通过分离参数转化为利用基本不等式求最值题型六：基本不等式在实际问题中的应用例52．（2020·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大【解析】【分析】（Ⅰ）由题意，根据，求得的值，得到，进而得到函数利润万元表示为年促销费用万元的函数；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意有，得故∴（2）由（1）知：当且仅当即时，有最大值.答:2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.【点睛】本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.例53．（2021·广东·新会陈经纶中学高一期中）如图，公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域.若每个区域的面积为m，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？求彩带总长的最小值.【答案】每个区域的长和宽分别是m和m时，彩带总长最小，最小值为m【解析】【分析】设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长，然后利用均值不等式即可求解.【详解】解：设每个区域的长为，宽为，由题意得，，，则彩带总长==，当且仅当，即且等号成立，所以每个区域的长和宽分别是和时，彩带总长最小，最小值为.例54．（2022·江苏南通·高一期末）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为.设直角梯形的高为.(1)当时，求海报纸的面积；(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？【答案】(1)(2)当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．【解析】【分析】（1）根据已知条件，先求出梯形长的底边，再分别求出，，即可求解；（2）根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解．(1)宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，则梯形长的底边，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，，，故海报面积为．(2)直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，，海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，海报宽，海报长，故，当且仅当，即，故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．例55．（2022·贵州铜仁·高一期末）2020年初至今，新冠肺炎疫情袭击全球，对人民生命安全和生产生活造成严重影响.在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失.为降低疫情影响，某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=4−.已知生产该产品的固定成本为8万元，生产成本为16万元/万件，厂家将产品的销售价格定为万元/万件(产品年平均成本)的1.5倍.(1)将2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】(1)(2)3万元【解析】【分析】（1）依据题意列出该产品的利润y万元关于年促销费用m万元的解析式即可；（2）依据均值定理即可求得促销费用投入3万元时，厂家的利润最大.(1)由题意知，每万件产品的销售价格为（万元），x=4−则2022年的利润．(2)∵当时，，∴，（当且仅当时等号成立）∴，当且仅当万元时，（万元）．故该厂家2022年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．【方法技巧与总结】利用基本不等式解决实际问题的步骤解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案.【同步练习】一、单选题1．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高一阶段练习）已知，则的最小值是(

)A．5 B．4 C．8 D．6【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式即可求解．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值是5．故选：A．2．（2022·陕西安康·高一期中）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根据不等式串可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误.【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误；对于选项B：，，∴B错误；对于选项C：，因为∴C错误；对于选项D：∵，当且仅当时取等号，∴，D正确；故选：D3．（2022·浙江浙江·高一期中）已知正数，满足，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】经转化可得，，条件均满足，即可得解.【详解】根据题意可得，由，所以，由，可得，即，，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.故选：B.4．（2022·江西·芦溪中学高一阶段练习）下列结论中正确的是（

）A．若，则B．C．函数最小值为D．若，则的最小值为【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.【详解】A选项，若，则，A选项错误.B选项，根据基本不等式可知，当且仅当时等号成立，B选项错误.C选项，，，当且仅当时等号成立，C选项正确.D选项，当时，，，D选项错误.故选：C5．（2022·江苏·高一专题练习）若不等式对满足条件的恒成立，则实数k的最大值为（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【解析】【分析】根据已知及基本不等式可得，可求出实数k的最大值．【详解】解：根据

，当且仅当时，取等号，化简可得，因为，所以，，所以运用，可得，当且仅当，即时，取等号，又因为恒成立，所以，即k的最大值是4．故选：B．6．（2022·江苏·高一专题练习）设有三个推断：①的最小值为2；②时取等号的最小值为2；③，的最大值为以上三个推断中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式及不等式的性质判断即可；【详解】解：，当时当且仅当即时取等号，当时当且仅当即时取等号，故①错误；，（时取等号），但是，时取等号，故②错误；③由可知推断：，当且仅当，即时取等号，的最大值为4，故③正确．综上，以上三个推断中正确的为③，共1个．故选：A．7．（2019·天津市红桥区教师发展中心高一期中）设是正实数，且，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接利用基本不等式计算可得；【详解】因为且所以，当且仅当，即，时取等号，故选：D8．（2022·江苏·高一专题练习）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】分离参数，求不含参数这一边的最小值即可求解．【详解】，，若不等式恒成立，恒成立，当且仅当时取等号．，即的最大值为．故选：B．二、多选题9．（2022·安徽·高一期中）下列不等式中正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用基本不等式可判断B选项；利用不等式的性质可判断C选项.【详解】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，，则，，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；对于C选项，因为，则，C对；对于D选项，取，，，则，D错.故选：BC.10．（2022·广东·化州市第三中学高一期中）已知，，则下列各式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式逐一运算判断即可得出答案.【详解】解：对于A，因为，，所以由基本不等式可得，当且仅当时取等号，故A正确；对于B，因为，，所以，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确；对于D，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故D错误．故选：ABC．11．（2022·湖北十堰·高一阶段练习）已知，则（

）A．的最大值为B．的最小值为4C．的最小值为D．的最小值为16【答案】BCD【解析】【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值.【详解】由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：当且仅当时，等号成立，此时，解得：或，因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；由得：，因为，所以，所以，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，即，解得：或，因为，所以舍去，故的最小值为4，B正确；由变形为，则，由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，此时，令，则由，解得：或（舍去）所以的最小值为，C正确；由可得：，从而当且仅当时，即，等号成立，故最小值为16.故选：BCD，12．（2022·湖南·株洲二中高一阶段练习）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算中项，几何中项以及调和中项毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中，算术中项，几何中项的定义与今天大致相同，而今我们称为正数，的算术平均数，为正数，的几何平均数，并把这两者结合的不等式（，）叫做基本不等式，下