人教版高一数学新教材同步配套教学讲义1.4充分条件与必要条件(原卷版+解析)

1.4充分条件与必要条件【知识点梳理】知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数取值范围题型三：根据必要条件求参数取值范围题型四：根据充要条件求参数取值范围题型五：充要条件的证明【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例2．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例3．（2022·上海·上外附中高一期中）“”是关于的不等式的解集为R的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件例4．（2022·湖南·高一期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件例5．（2022·江苏·高一专题练习）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【技巧总结】1.判断充分条件、必要条件的注意点(1)明确条件与结论.(2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题.(3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q.2.充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论;②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件;③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.题型二：根据充分条件求参数取值范围（多选题）例6．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中是“”的充分条件的是（

）A．B．C．D．且例7．（2022·河南信阳·高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．（多选题）例8．（2022·山东·烟台二中高一阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1例9．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______例10．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．例11．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高一阶段练习）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.例12．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型三：根据必要条件求参数取值范围例13．（2022·广东·梅州市梅州中学高一练习）已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．例14．（2022·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合或，集合(1)若，且，求实数的取值范围．(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围例15．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．例16．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知或或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型四：根据充要条件求参数取值范围例17．（2022·全国·高一专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或例18．（2022·广西钦州·高一期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．例19．（2022·全国·高一课时练习）若“”是“”的充要条件，则的值为________.例20．（2022·江苏·高一单元测试）已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.例21．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，命题.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型五：充要条件的证明例22．（2022·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.例23．（2022·全国·高一课时练习）求方程至少有一个负根的充要条件.例24．（2022·全国·高一课时练习）若a，，p：，q：．判断p是否为q的充要条件．例25．（2022·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.【技巧总结】(1)证明充分性；(2)证明必要性.【同步练习】一、单选题1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）下列各题中，p是q的充要条件的是（

）A．p：，

q：B．p：，

q：C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分D．p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例5．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）设是一元二次方程的根，，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2022·全国·高一单元测试）已知，为任意实数，则的必要不充分条件是（

）A．且 B．或C．且 D．或7．（2022·全国·高一期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件10．（2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（）A． B．C． D．11．（2022·安徽·高一期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件12．（2022·江苏·高一单元测试）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（

）A．﹣2 B． C． D．三、填空题13．（2022·江苏·高一专题练习）已知，或，则p是q的________条件．14．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______15．（2022·上海虹口·高一期末）设：；：．若是的充分条件，则实数m的取值范围为______．16．（2022·上海市大同中学高一阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.四、解答题17．（2022·江苏·徐州市第七中学高一期中）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求的取值范围.18．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知其中.(1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.19．（2022·甘肃·静宁县第一中学高一阶段练习）在下列命题中，试判断是的什么条件.(1)p：x2>0，q：x>0；(2)：与都是奇数；：是偶数；(3)：一元二次方程有两个实数根，：；20．（2022·河南驻马店·高一期末）已知集合，.(1)若，求实数t的取值范围；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数t的取值范围．21．（2022·江苏扬州·高一期末）已知集合，．(1)若a＝1，求；(2)给出以下两个条件：①A∪B＝B；②““是“”的充分不必要条件．在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_____________，求实数a的取值范围．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）22．（2022·江苏·高一）已知集合（1）判断8，9，10是否属于集合A；（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；（3）写出所有满足集合A的偶数.1.4充分条件与必要条件【知识点梳理】知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念符号与的含义“若，则”为真命题，记作：；“若，则”为假命题，记作：.充分条件、必要条件与充要条件①若，称是的充分条件，是的必要条件.②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件.知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到.①“若，则”为真命题；②是的充分条件；③是的必要条件以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达.知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件；③若，且，即，则、互为充要条件；④若，且，则是的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p：x∈A，q：x∈B，①若AB，则是的充分条件，是的必要条件；②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件；③若A=B，则、互为充要条件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件.知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.知识点三：充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）知识点诠释：对于命题“若，则”①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题；②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题；③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题.【题型归纳目录】题型一：充分条件与必要条件的判断题型二：根据充分条件求参数取值范围题型三：根据必要条件求参数取值范围题型四：根据充要条件求参数取值范围题型五：充要条件的证明【典型例题】题型一：充分条件与必要条件的判断例1．（2022·湖南·永州市第二中学高一阶段练习）“a<－1”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】讨论，，可得“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”再根据充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【详解】当时，方程即为，解得；当时，，得，；所以“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个实数根”等价于“”“”能推出“方程至少有一个实数根”，反之不成立；所以“”是“方程至少有一个实数根”的充分不必要条件.故选：B.例2．（2022·广东·化州市第三中学高一期末）已知命题p：x为自然数，命题q：x为整数，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两个命题中的取值范围，分析是否能得到pq和qp．【详解】若x为自然数，则它必为整数，即p⇒q．但x为整数不一定是自然数，如x＝－2，即qp．故p是q的充分不必要条件．故选：A.例3．（2022·上海·上外附中高一期中）“”是关于的不等式的解集为R的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】B【解析】【分析】取，时可判断充分性；当不等式的解集为R时，分，，讨论可判断必要性.【详解】若，取时，不等式，此时不等式解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当，且时，不等式，所以，若关于的不等式的解集为R，则.综上，“”是关于的不等式的解集为R的必要非充分条件.故选：B例4．（2022·湖南·高一期中）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．例5．（2022·江苏·高一专题练习）设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出D，，所以甲是丁的充分不必要条件.【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，由甲是乙的充分不必要条件得，B，由乙是丙的充要条件得，，由丁是丙的必要不充分条件得，D，所以D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.【技巧总结】1.判断充分条件、必要条件的注意点(1)明确条件与结论.(2)判断若p，则q是否成立时注意利用等价命题.(3)可以用反例说明由p推不出q，但不能用特例说明由p可以推出q.2.充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论;②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件;③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件.(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件;②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.题型二：根据充分条件求参数取值范围（多选题）例6．（2022·全国·高一专题练习）下列条件中是“”的充分条件的是（

）A．B．C．D．且【答案】ACD【解析】【分析】根据充分条件的定义依次讨论各选项即可求解.【详解】对于A选项，因为，故，所以A选项正确；对于B选项，因为，故不成立，故B选项错误；对于C选项，因为，故，故C选项正确；对于D选项，因为且，故，即：，故D选项正确.所以A，C，D中的条件均是“”的充分条件，B中的条件不是“”的充分条件.故选：ACD例7．（2022·河南信阳·高一期末）若“”是“”的充分不必要条件，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】转化“”是“”的充分不必要条件为，分析即得解【详解】由题意，“”是“”的充分不必要条件故故故选：B（多选题）例8．（2022·山东·烟台二中高一阶段练习）若不等式成立的充分条件是，则实数的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．1【答案】CD【解析】【分析】求出不等式成立的充要条件，然后根据充分条件求出参数范围，然后判断．【详解】，则，．故选：CD．例9．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据是的充分不必要条件，可得，从而可得出答案.【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以，所以.故答案为：.例10．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）已知集合，或．(1)当时，求；(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)或(2)【解析】【分析】（1）借助数轴即可确定集合与集合的交集（2）由于，根据集合之间的包含关系即可求解(1)当时，集合,或，或(2)若，且“”是“”充分不必要条件，因为，则解得.故的取值范围是:例11．（2022·新疆·兵团第十师北屯高级中学高一阶段练习）已知集合P={x|a+1≤x≤2a+1}，Q={x|-2≤x≤5}.(1)若a=3，求；(2)若“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）将a=3代入求出集合P，Q，再由补集及交集的意义即可计算得解.（2）由给定条件可得，再根据集合包含关系列式计算作答.(1)因a=3，则P={x|4≤x≤7}，则有或，又Q={x|-2≤x≤5}，所以.(2)“x∈P”是“x∈Q”充分不必要条件，于是得，当a+1>2a+1，即a<0时，，又，即，满足，则a<0，当时，则有或，解得或，即，综上得：，所以实数a的取值范围是.例12．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期末）已知非空集合，．(1)若，求；(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．【解析】(1)由已知，或，所以或；(2)“”是“”的充分不必要条件，则，解得，所以的范围是．【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型三：根据必要条件求参数取值范围例13．（2022·广东·梅州市梅州中学高一练习）已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是___________．【答案】或【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合A与B的包含关系，画出数轴即可得不等式组从而求出a的范围．【详解】∵“”是”的必要条件，∴，当时，，则；当时，根据题意作出如图所示的数轴，由图可知或，解得或，综上可得，实数a的取值范围为或．例14．（2022·江西·丰城九中高一阶段练习）已知集合或，集合(1)若，且，求实数的取值范围．(2)已知集合，若是的必要不充分条件，判断实数是否存在，若存在求的范围【答案】(1)；(2)存在，.【解析】【分析】（1）由集合交运算可得，根据集合的包含关系并讨论是否为空集，列不等式组求参数范围；（2）由题意，列不等式组求参数m范围.(1)由题设，又，当时，，可得.当时，，可得.综上，a的范围.(2)由题意，而，所以，结合（1）有(等号不同时成立)，可得.故存在实数且.例15．（2022·徐州市第三十六中学（江苏师范大学附属中学）高一阶段练习）已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.(1)当时，集合，或，．(2)若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．例16．（2022·河北沧州·高一开学考试）已知或或，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】.【解析】【分析】由题设、间的关系可得，根据集合A、B的描述列方程组求m的参数即可.【详解】由是的必要不充分条件，所以，则或，解得：.的取值范围是.【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型四：根据充要条件求参数取值范围例17．（2022·全国·高一专题练习）方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或【答案】C【解析】【分析】按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答.【详解】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C例18．（2022·广西钦州·高一期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是_________．【答案】0【解析】【分析】根据充要条件的定义即可求解.【详解】，则{x|}＝{x|}，即.故答案为：0.例19．（2022·全国·高一课时练习）若“”是“”的充要条件，则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，由此求出的值，即可求出结果.【详解】由题意可知，，解得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了充要条件的应用，属于基础题.例20．（2022·江苏·高一单元测试）已知（1）是否存在m∈R使是的充要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由；（2）是否存在m∈R使是的必要条件？若存在，求出m范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）不存在，理由见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）依题意，即可得到方程组，由方程组无解即可判断；（2）依题意可得，再对与分两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；【详解】解：，．（1）要使是的充要条件，则，即

此方程组无解，则不存在实数，使是的充要条件；（2）要使是的必要条件，则，当时，，解得；当时，，解得，要使，则有解得，所以，综上可得，当实数时，是的必要条件．例21．（2022·全国·高一专题练习）已知命题，命题.（1）若是的充分条件，求实数的取值范围.（2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）集合，集合.因为是的充分条件，所以，∴集合可以分为或两种情况来讨论：当时，满足题意，此时，解得：；当时，要使成立，需满足，综上所得，实数的取值范围或.（2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么，则必有，解得，综合得无解.故不存在实数，使得，即不存在实数，使得是的充要条件.【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题.【技巧总结】(1)化简p、q两命题，(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，(3)利用集合间的关系建立不等关系，(4)求解参数范围．题型五：充要条件的证明例22．（2022·福建福州·高一期中）证明：“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.【答案】证明见解析【解析】【分析】根据充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可求证.【详解】充分性：若，则关于的方程有一正一负根，证明如下：当时，，所以方程有两个不相等的实根，设两根分别为，，则，所以方程有一正一负根，故充分性成立，必要性：若“关于的方程有一正一负根”，则，证明如下：设方程一正一负根分别为，，则，所以，所以若“关于的方程有一正一负根”，则，故必要性成立，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件.例23．（2022·全国·高一课时练习）求方程至少有一个负根的充要条件.【答案】且【解析】【分析】利用充要条件的定义以及根与系数的关系即可求解.【详解】必要性：设，为方程的两根.∵，∴，∴方程至少有一个负根应满足：当正负根各有一个时，则，即，解得.当有两个负根时，则解得，充分性：当且，当时，，此时两根均为负；当时，，此时方程正负根各有一个,综上所述，方程至少有一个负根的充要条件是且.例24．（2022·全国·高一课时练习）若a，，p：，q：．判断p是否为q的充要条件．【答案】p是q的充要条件【解析】【分析】利用充要条件的定义判断即可【详解】p是q的充要条件．理由：若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件．例25．（2022·江苏·高一课时练习）求证：一元二次方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根的充要条件是q＜0.【答案】证明见解析【解析】【分析】充分性：根据q＜0，得出Δ＝p2－4q＞0，即充分性满足；必要性：利用两根之积即可证明.【详解】证明①充分性：因为q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0的Δ＝p2－4q＞0，故方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的实数根．设方程的两根为x1，x2.因为x1·x2＝q＜0，所以方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根．②必要性：因为方程x2＋px＋q＝0有两个异号实数根，设两根为x1，x2，所以x1·x2＜0.因为x1·x2＝q，所以q＜0.由①②，命题得证．【技巧总结】(1)证明充分性；(2)证明必要性.【同步练习】一、单选题1．（2022·浙江浙江·高一期中）已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分析得到命题p：“或”再判断即可【详解】命题p：令，可得，即，故或，解得或，故p是q的必要不充分条件故选：B2．（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高一期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（

）A．必要条件 B．充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分必要条件判断即可得解．【详解】由题意可知：“返回家乡”则可推出“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”必要条件，故选：．3．（2022·安徽·合肥市第十中学高一期中）设集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据集合的包含与充分必要条件的关系判断．【详解】由题意集合是集合的真子集，因此“”是“”的必要不充分条件，故选：B．4．（2022·新疆吐鲁番·高一期末）下列各题中，p是q的充要条件的是（

）A．p：，

q：B．p：，

q：C．p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分D．p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当时，满足，所以充分性不成立，反之：当时，可得，所以必要性成立，所以是的必要不充分条件，不符合题意；对于B中，当时，可得，即充分性成立；反之：当时，可得，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于C中，若四边形是正方形，可得四边形的对角线互相垂直且平分，即充分性成立；反之：若四边形的对角线互相垂直且平分，但四边形不一定是正方形，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，不符合题意；对于D中，若两个三角形相似，可得两个三角形三边成比例，即充分性成立；反之：若两个三角形三边成比例，可得两个三角形相似，即必要性成立，所以是的充分必要条件，符合题意.故选：D.5．（2022·湖北·宜昌市一中高一期中）设是一元二次方程的根，，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】代入进入方程，可证明充分性；将代入因式分解，可证明必要性【详解】由题意，若是一元二次方程的根，故，即p可以推出q，充分性成立；反之，若，则，即，即是一元二次方程的根，即q可以推出p，必要性成立；即p是q的充要条件，故选：C6．（2022·全国·高一单元测试）已知，为任意实数，则的必要不充分条件是（

）A．且 B．或C．且 D．或【答案】B【解析】【分析】由充分必要条件的定义及特例即得.【详解】由且可推出，故A错误；若或不成立即且，则，即不成立，所以由可得或；令，满足或，不成立即由或推不出，故B正确；令，成立，显然且不成立，或也不成立，故CD错误.故选：B7．（2022·全国·高一期末）若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由已知中不等式成立的充分条件是，令不等式的解集为A，可得，可以构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案.【详解】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.8．（2022·河南·南阳中学高一阶段练习）在整数集中，被4除所得余数的所有整数组成一个“类”，记为，即，．给出如下四个结论：①；②；③；④“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”．其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为，故，故①错误，而，故，故②正确.若整数，属于同一“类”，设此类为，则，故即，若，故为4的倍数，故除以4的余数相同，故，属于同一“类”，故整数，属于同一“类”的充要条件为，故④正确.由“类”的定义可得，任意，设除以4的余数为，则，故，所以，故，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.二、多选题9．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校高一阶段练习）下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“且”是“”的充分不必要条件C．当时，“”是“方程有解”的充要条件D．若P是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【答案】ABD【解析】【分析】对命题进行正反逻辑推理，并结合四种条件的定义即可判断答案.【详解】对A，由得到x=0或x=2.所以由可以得到，反之，若x=0，满足成立，但显然得不到.所以A正确；对B，由且显然可以得到，但若，满足，但不满足且.所以B正确；对C，时，方程有解.所以由得不到方程有解，反之方程有解，也无法得到.所以C错误.对D，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件.所以D正确.故选：ABD.10．（2022·广东·揭阳华侨高中高一阶段练习）已知p：或，q：，则a取下面那些范围，可以使q是p的充分不必要条件（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】【详解】p：或，q：，q是p的充分不必要条件，故，范围对应集合是集合的子集即可，对比选项知AB满足条件.故选：AB.11．（2022·安徽·高一期中）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是（

）A．是的必要不充分条件 B．是的充要条件C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件【答案】BD【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断可得出结论.【详解】由题意得，，，，，，所以，，，所以是的充要条件，是的充要条件，是的充要条件，故选：BD.12．（2022·江苏·高一单元测试）已知p：；q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的值可以是（

）A．﹣2 B． C． D．【答案】BC【解析】根据集合关系将条件进行化简，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由题意得，当时，，当时，，因为p是q的必要不充分条件，所以A，所以时满足题意，当或时，也满足题意，解得或，故选：BC.【点睛】本题考查利用集合间的关系判断命题间充分必要条件，属于中档题.三、填空题13．（2022·江苏·高一专题练习）已知，或，则p是q的________条件．【答案】充分不必要【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.【详解】命题“若p，则q”：假设不正确，即且，则有与已知矛盾，即假设是错的，于是得q是正确的，因此，“若p，则q”是真命题，即p是q的充分条件，命题“若q，则p”：显然当时，有，而满足或，于是得“若q，则p”是假命题，即p不是q的必要条件，所以是q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要14．（2022·安徽宣城·高一期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据是的充分不必要条件，可得，从而可得出答案.【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以，所以.故答案为：.15．（2022·上海虹口·高一期末）设：；：．若是的充分条件，则实数m的取值范围为______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件可得所对集合包含于所对集合，再利用集合的包含关系列式作答.【详解】令所对集合为：，所对集合为：，因是的充分条件，则必有，于是得，解得，所以实数m的取值范围为.故答案为：16．（2022·上海市大同中学高一阶段练习）已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】是的必要条件，即，分，两种情