2025版高考数学一轮总复习第1章集合常用逻辑用语不等式第2讲常用逻辑用语提能训练

第1章集合、常用逻辑用语、不等式第2讲常用逻辑用语A组基础巩固一、单选题1．(2024·江西阶段练习)下列命题中的假命题为(D)A．∀x∈R，ex>0 B．∃x∈N*，sineq\f(πx,2)＝1C．∃x∈R，lnx<1 D．∀x∈N，x2>0[解析]对于A中，依据指数函数的性质，可得∀x∈R，ex>0恒成立，所以A是真命题；对于B中，当x＝1时，sineq\f(π,2)＝1，所以命题∃x∈N*，sineq\f(πx,2)＝1为真命题；对于C中，依据对数函数的性质，当x∈(0，e)，可得lnx<1，所以命题∃x∈R，lnx<1为真命题；对于D中，当x＝0时，x2＝0，所以命题∀x∈N，x2>0为假命题．2．命题“∃x>0，x2－ax＋b>0”的否定是(D)A．∃x>0，x2－ax＋b≤0B．∃x≤0，x2－ax＋b>0C．∀x≤0，x2－ax＋b≤0D．∀x>0，x2－ax＋b≤0[解析]依据特称命题与全称命题的否定关系即可求解．因为命题“∃x>0，x2－ax＋b>0”为特称命题，其否定为全称命题，即为：∀x>0，x2－ax＋b≤0，故选D.3．命题“∀x>0，|x|＋x≥0”的否定是(B)A．∃x<0，|x|＋x≤0 B．∃x>0，|x|＋x<0C．∀x>0，|x|＋x≤0 D．∀x≤0，|x|＋x<0[解析]含有全称命题的否定，需将全称改为特称，并且对命题否定．命题“∀x>0，|x|＋x≥0”的否定是∃x>0，|x|＋x<0.故选B.4．(2024·南充市第一次适应性考试)“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]A＝60°⇒cosA＝eq\f(1,2)，cosA＝eq\f(1,2)⇒A＝±60°＋k·360°，k∈Z，所以“A＝60°”是“cosA＝eq\f(1,2)”的充分不必要条件．5．“角A不大于eq\f(π,4)”是“角A属于第一象限角”的(D)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析]依据随意角的定义，即可推断．角A不大于eq\f(π,4)，有可能角A是个负角，可以是随意一个象限的负角，反之，若角A属于第一象限角，则角A可以是eq\f(9π,4)>eq\f(π,4)，则“角A不大于eq\f(π,4)”是“角A属于第一象限角”的既不充分也不必要条件．故选D.6．(2024·北京高考)设函数f(x)的定义域为[0,1]，则“函数f(x)在[0,1]上单调递增”是“函数f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前推后，确定成立．后推前，若f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)，则f(x)未必在[0,1]上单调递增，如开口向上对称轴为x＝eq\f(1,4)的二次函数．故选A.7．(2024·江苏南京市宁海中学模拟预料)若命题“∀x∈[1,4]时，x2>m”是假命题，则m的取值范围是(B)A．m≥16 B．m≥1C．m<16 D．m<1[解析]因为“∀x∈[1,4]，x2>m”是假命题，则其否定“∃x∈[1,4]，x2≤m”为真命题，则(x2)min≤m，而当x＝1时，x2取得最小值1，所以m≥1，故选B.8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1>0”是“S2023>0”的(C)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[解析]当q≠1时，S2023＝eq\f(a11－q2023,1－q)，由于eq\f(1－q2023,1－q)>0，故a1>0⇔S2023>0为充要条件．当q＝1时S2023＝2023a1，故a1>0⇔S2023>0为充要条件．因此选C.二、多选题9．下列命题错误的是(ABC)A．∀x∈{－1,1},2x＋1>0B．∃x∈Q，x2＝3C．∀x∈R，x2－1>0D．∃x∈N，|x|≤0[解析]结合含有量词的命题真假检验各选项即可推断．当x＝－1时，A明显错误；当x2＝3时，x明显不是有理数，B错误；当x＝1时，C明显错误；当x＝0时，D明显成立．故选ABC.10．下列说法中正确的是(AD)A．若数据x1，x2，…，xn的方差s2为0，则此组数据的众数唯一B．已知一组数据2,3,5,7,8,9,9,11，则该组数据的第40百分位数为6C．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越大D．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高[解析]依据方差和平均数、众数，百分位数，相关系数和残差图的意义，对选项中的问题分析推断即可．数据x1，x2，…，xn的方差s2为0时，则此组数据与平均数相同，所以众数唯一，选项A正确；数据2,3,5,7,8,9,9,11，且8×40%＝3.2，所以该组数据的第40百分位数为第4个数，是7，选项B错误；若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的确定值越接近1，所以选项C错误；残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，选项D正确．故选AD.11．下列说法正确的是(BC)A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B．“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件[解析]A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；B项，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)不能推出a<b，比如eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，但是2>－3；a<b不能推出eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，比如－2<3，－eq\f(1,2)<eq\f(1,3)，所以“eq\f(1,a)>eq\f(1,b)”是“a<b”的既不充分也不必要条件，故正确；C项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A⊆B，故正确；D项，an>bn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0,1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误．12．(2024·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(ABD)A．xc2>yc2 B．eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0C．|x|>|y| D．lnx>lny[解析]对于A选项，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A正确；对于B选项，由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0可得y<x<0，即能推出x>y；但x>y不能推出eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0(因为x，y的正负不确定)，所以“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B正确；对于C选项，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C错误；对于D选项，若lnx>lny，则x>y，反之x>y得不出lnx>lny，所以“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件，故D正确．三、填空题13．(2024·河北藁城新冀明中学月考)命题“∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定为_∃k>0，方程x2＋x－k＝0无实根__.[解析]全称量词命题的否定是存在量词命题，命题“∀k>0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定为：∃k>0，方程x2＋x－k＝0无实根．14．下列命题中的假命题是_③__(填序号)．①∃x∈Q，使2x－x3＝0；②∃x∈R，sinx≠0；③存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角；④∀x1>x2,2x1>2x2.[解析]当x＝0时，2x－x3＝0，①为真命题．当x＝eq\f(π,2)时，sinx＝1≠0，②为真命题．因为随意的钝角三角形，其内角和是180°，所以内角是锐角或是钝角，所以③为假命题．由指数函数的性质知，∀x1>x2,2x1>2x2，④为真命题．15．(2024·潍坊一中月考)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空．(1)“a，b都为0”的必要条件是①②③；(2)“a，b都不为0”的充分条件是④；(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是①.[解析]①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0；))④ab>0⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))则a，b都不为0.若a，b都为0，则①②③成立，∴“a，b都为0”的必要条件是①②③；当④成立时，a，b都不为0，∴“a，b都不为0”的充分条件是④；“a，b至少有一个为0”的充要条件是①.16．已知命题p：∃x∈[1,4]，eq\f(a,x)＋x>4是假命题，则实数a的取值范围是_(－∞，0]__.[解析]将问题等价转化为∀x∈[1,4]，eq\f(a,x)＋x≤4恒成立，利用二次函数的性质即可求解．命题p：∃x∈[1,4]，eq\f(a,x)＋x>4是假命题，即命题∀x∈[1,4]，eq\f(a,x)＋x≤4是真命题，也即a≤－x2＋4x在[1,4]上恒成立，令f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，因为x∈[1,4]，所以当x＝4时函数取最小值，即f(x)min＝f(4)＝0，所以a≤0.B组实力提升1．孟加拉虎，又名印度虎，世界其次大虎亚种，是目前数量最多，分布最广的虎亚种．孟加拉虎有四种变种，分别是白虎(全身白色，有黑色斑纹)，雪虎(全身白色，有淡淡的黑色斑纹)，金虎(全身金黄色，有黑色斑纹)，纯白虎(全身白色，没有斑纹)．已知甲是一只孟加拉虎，则“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的(A)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]依据充分、必要条件的学问对问题进行分析，从而确定正确选项．由“甲是纯白虎”可推出“甲全身白色”，由“甲全身白色”不能推出“甲是纯白虎”，所以“甲是纯白虎”是“甲全身白色”的充分不必要条件．故选A.2．(多选题)下列命题不正确的是(BC)A．“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件B．命题“随意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件[解析]a>1⇒eq\f(1,a)<1，而有eq\f(1,a)<1，不愿定有a>1，如a＝－1，“a>1”是“eq\f(1,a)<1”的充分不必要条件，A正确；命题“随意x<1，都有x2<1”是全称量词命题，其否定是“存在x<1，使得x2≥1”，B错误；因为x≥2且y≥2成立，x2＋y2≥8必成立，即“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分条件，C错误；当a≠0时，若b＝0，有ab＝0，即“a≠0”不能推出“ab≠0”，反之，ab≠0⇒a≠0，即有“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，D正确．故选BC.3．方程eq\f(y2,m＋4)－eq\f(x2,m－3)＝1表示双曲线的一个充分不必要条件是(D)A．－3<m<0 B．m<－4或m>3C．m<－3 D．m>3[解析]由题意知，(m－3)(m＋4)>0⇒m<－4，或m>3，则A，C均不正确，而B为充要条件，不合题意，故选D.4．(2024·湖南雅礼中学月考)若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是(D)A．(－∞，1] B．(－∞，1)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)[解析]|x－1|<a⇒1－a<x<1＋a，因为不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，所以(0,4)⊆(1－a,1＋a)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤0，,1＋a≥4，))解得a≥3.5．(多选题)(2024·湖北鄂南中学模拟预料)给定命题p：∀x>m，都有x2>8.若命题p为假命题，则实数m可以是(AB)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由于命题p为假命题，所以命题p的否定：∃x>m，x2≤8是真命题．当m＝1时，则x>1，令x＝2,22<8，所以选项A正确；当m＝2时，则x>2，令x＝2.5,2.52<8，所以选项B正确；当m＝3时，则x>3，x2>9，x2≤8不成立，所以选项C错误；当m＝4时，则x>4，x2>16，x2≤8不成立，所以选项D错误，故选AB.6．(2024·河南三门峡高二期末)有四张卡片，它们的一面为数字，另一面写着英文字母．现在它们平放在桌面上，只能看到向上面的状况如图．对于命题p：全部大写字母的背面都写着奇数，要验证p的真假，至少要翻开的是(A)A．①④ B．①②C．①③ D．①③④[解析]依据命题p：全部大写字母的背面都写着奇数，因为①的背面为大写字母，④的背面可能是大写字母，所以要验证p的真假，至少要翻开的是①④，故选A.7．(1)“x>y>0”是“eq\f(1,x)<eq\f(1,y)”的_充分不必要__条件．(2)“tanθ≠1”是“θ≠eq\f(π,4)”的_充分不必