中考数学：函数中的新定义问题（含解析）

中考数学冲刺：函数中的新定义问题

一、解答题

1.小爱同学学习二次函数后，对函数y=-(W-l)2进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如

下的函数图像.请根据函数图象，回答下列问题：

(1)观察探究：

①写出该函数的一条性质：;

②方程-(W-I)2=T的解为：;

③若方程-(IM-I)2=α有四个实数根，则。的取值范围是.

(2)延伸思考:

将函数y=-(∣x∣-l)2的图象经过怎样的平移可得到函数M=-(∣x-2∣-iy+3的图象？写出平移过程，并直

接写出当2<y≤3时，自变量X的取值范围.

2.【探究函数y=x+∙!■的图象与性质】

X

(1)函数y=χ+'的自变量X的取值范围是；

X

(2)下列四个函数图象中，函数y=χ+’的图象大致是；

ABCD

⑶对于函数y=χ+g'求当χ>°时,y的取值范围.请将下列的求解过程补充完整.

'/f∙∖∕x——≥Oɪ."∙y—.

【拓展说明】

(4)若函数y=''j+4(χ>o),求y的取值范围.

3.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数

解决问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.同时，我

们也学习了绝对值的意义Ial=JT.<；).

结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：

在函数V=I6—31+)中，当x=2时，y=T;当X=O时，y=-∖.

(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；

⑶已知函数)=；x-3的图象如图所示,结合你所画的函数图象，直接写出不等式I丘-3∣+8≤gx-3的解集.

(4)若方程--6x∣-α=0有四个不相等的实数根，则实数。的取值范围是.

4.小明同学在探究函数y=∣d-4x+3∣的图象和性质时经历以下几个学习过程：

(I)列表(完成以下表格).

2

X-2-1O123456

M=X2-4x+3158OO315

y=∣x2-4x÷3∣158OO315

<∖,yU

Γ□IΓΓτrΓl∏ɪΓO∏ɪΓlJ□TΓΓΓΓ∏Ir二I□IΓl

CECiZ

UILZ,.ZJILUJILl11LLJIL_1JILl

F⅛¼H一→卜HlT+卜IT4+I-I-+¼FHT+卜-IT+Fl

,L

ΓɪΓΓτr匚I□ɪΓn∏ɪΓlJlTrΓΓr□ɪΓ二IπτΓl

ɪz

LILLZZ:工LLlJILuJILl1IL匚LJILΞιJILl

I-4+-I--→卜IT+卜ITT+hlL44-I-卜I-T+FTT+1

ɪΓr:工ΓnπɪΓn2ɪΓlU2ΓEΓrπɪΓ一12τn

LCiOLlΞ∣Ll

l

μ44-I-→4-I-IT+卜I-IT+I-IL44-μ-;I-τ+μT-4+1

JL2FL!"!TPlj一XΓ.Γ∏一匚一£|

一ɪ∏工t?;ɪ

LJ"Ltj~)L?I-ILI-IJLL9一LLL1L∏

L-IJ.L.J.1_1—1」JL1—1」X1-1L-Jj.J-L-.-LLI—」-LL1—1XL.I

(II)描点并画出函数图象草图(在备用图①中描点并画图).

(III)根据图象解决以下问题：

(1)观察图象：函数y=,-4x+3∣的图象可由函数χ=χ2-4x+3的图象如何变化得到？答：

⑵探究发现直线"8与函数y=∣f-4x+3∣的图象交于点E,F,E(T8),尸(5,8),则不等式

产_以+3卜8的解集是.

(3)设函数y=,-4x+3∣的图象与X轴交于A,B两点(B位于A的右侧)，与y轴交于点C.

①求直线BC的解析式：

②探究应用：将直线Be沿y轴平移m个单位长度后与函数y=∣x2-4x+3∣的图象恰好有3个交点，求此时

m的值.

5.二次函数y=Y-2∕nr的图象交X轴于原点。及点A.

图1图2

【感知特例】

(1)当m=l时，如图1,抛物线L：y=∕-2x上的点8,O,C,A,。分别关于点A中心对称的点为Q,

O',C',A',D0,如表:

B(-l,3)0(0,0)C(LT)A(一,—)3(3,3)

B,(5,-3)σ(4,o)C,(3,l)4(2,0)D,(l,-3)

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L'.

【形成概念】

我们发现形如(1)中的图象Z/上的点和抛物线上的点关于点A中心对称，则称〃是的“孔像抛物线例

如，当机=-2时，图2中的抛物线〃是抛物线的“孔像抛物线”.

【探究问题】

(2)①当机=-1时，若抛物线L与它的“孔像抛物线“V的函数值都随着X的增大而减小，则X的取值范围为

②若二次函数y=xi-2ιwc及它的“孔像抛物线”与直线N=”有且只有三个交点，直接写出m的值

③在同一平面直角坐标系中，当加取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=d-2如的

所有“孔像抛物线都有唯一交点，这条抛物线的解析式为.

6.在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决

问题”的学习过程.在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象.学习了一次函

数之后，现在来解决下面的问题：

4

(l)∕w=,n=；

(2)平面直角坐标系中，画出函数的图象；

(3)根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打4,错误的打X.

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线X=L()

②当x<l时，y随X的增大而增大，当x21时，y随X的增大而减小.()

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x=l时有最小值-1.()

fy=2x+r

(4)若方程组,llJ有且只有一个公共解，则f的取值范围是.

7.(一)、概念理解：

在直角坐标系中，如果两个函数的图象关于某条平行于)'轴(包括V轴)的直线轴对称，我们就称它们为“共

根函数’'，两函数的交点称之为“共根点’‘，对称轴称为“共根轴例如：正比例函数y=χ和y=-X是一对

共根函数，y轴是它们的共根轴，原点。是共根点.

(二)、问题解决：

(1)在图一网格坐标系里作出与一次函数y=2x-2共根点为(1,0)的共根函数图象，并写出此函数的解析

式•

(2)将二次函数y=χ2-2x水平向右平移一个单位也可以得到它的共根函数，在图二中通过列表、描点、

连线先作出y=∕-2x图象，再按要求作出它向右平移后得到的共根函数图象，表格中m=,〃=

.这对共根函数的共根点坐标是.

X-2-101234

y=X2-2x8m0-1n38

(三)、拓展提升

(3)在(2)条件下，函数y=∕-2x与X轴的两个交点分别为A,B,一条平行于X轴的直线y=人与这

一对共根函数图象相交，是否存在有两个交点与点A,B一起构成一个平行四边形，如果存在直接写出％的

值，如果不存在，请说明理由.

-»

图二

8.【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个

图形之间的距离，即A,B分别是图形历和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形

M与图形N之间的距离.

例如，如图1,ABLl,,线段AB的长度称为点A与直线4之间的距离，当时，线段A8的长度也是4

与4之间的距离.

【应用】

(1)如图2,在等腰Rt54C中，ZA=90o,AB=AC,点。为AB边上一点，过点Z)作QE〃8C交AC

于点£若AB=6,AD=A,则。E与BC之间的距离是_；

(2)如图3,已知直线％：y=τ+4与双曲线G：y=f(x>0)交于A(Lm)与B两点，点A与点B之间的

距离是一，点。与双曲线G之间的距离是」

【拓展】

(3)按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的

隔音屏障(如图4).有一条“东南-西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，

它们之间的距离小于80m.现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时

高速路所在直线乙的函数表达式为y=一χ,小区外延所在双曲线G的函数表达式为)，=TW(X>0)，那么

需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？

6

C.

9.我们定义【“，b,c］为函数y=αY+以+c的“特征数”•如：函数y=2/—3x+5的“特征数”是［2,

-3,5],函数y=χ+2的“特征数”是[0,1，2],函数y=-2x的“特征数”是[0,-2,0].

(1)若一个函数的特征数是【1，-4,1］，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得

到一个图象对应的函数“特征数''是.

(2)将“特征数''是【0,-也,-1］的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式

3

是.

2

⑶当“特征数”是［1,-2m,m-3m｝的函数在直线x=〃z-2和直线x=l之间的部分(包括边界点)的最

高点的纵坐标为5时，求，〃的值.

⑷点A(-2,l)关于y轴的对称点为点。，点8(-2,-加-1)关于，轴的对称点为点。当若(3)中的抛物线

与四边形ABC力的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出机的值.⑺为

常数)

10.新定义:若函数图象恒过点｛>n,n),我们称(〃?,〃)为该函数的“永恒点”.如:一次函数y=MX-I)(Z≠0),

无论出值如何变化，该函数图象恒过点(1,0),则点(LO)称为这个函数的“永恒点

【初步理解】一次函数M=侬+3m(m>0)的定点的坐标是

【理解应用】二次函数%=-“¥2-2m+3加(加>0)落在了轴鱼半轴的定点人的坐标是,落在X

轴正半轴的定点B的坐标是

2

【知识迁移】点P为抛物线J2=-mx-2nιx+3m(m>0)的顶点，设点3到直线X=nιx+3m(m>0)的距离

为4,点尸到直线X=侬+加(心0)的距离为小请问+是否为定值？如果是，请求出牛的值；如果

不是，请说明理由.

II.目标检测是一种计算机视觉技术，旨在检测汽车、建筑物和人类等目标.这些目标通常可以通过图像

或视频来识别.在常规的目标检测任务中，如图1,一般使用边同轴平行的矩形框进行标示.

在平面直角坐标系Xoy中，针对目标图形G,可以用其投影矩形来检测.图形G的投影矩形定义如下：矩

形的两组对边分别平行于X轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小.设矩形的

较长的边与较短的边的比为3我们称常数Z为图形G的投影比.如图2,矩形ABCD为DE尸的投影矩

形，其投影比k=U∙

图1图2

⑴如图3,点A(l,3),8(3,5),则AoAB投影比Z的值为

(2)如图4,若点M(TQ),点N(2,l)且AMNP投影比Z=2,则点P的坐标可能是(填写序号);

①(L-5)；②(0,2)；③13,∣∙);(4)(4,-1).

8

(3)如图5,已知点C(6,0),在函数y=2x-6(其中χ<3)的图象上有一点。，若AOcD的投影比

求点。的坐标.

12.在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”

例如(-3,-3)、(1,1)、(2023,2023)都是“不动点”，已知双曲线y=g

(1)下列说法不正确的是()

A.直线y=X的图象上有无数个“不动点”

B.函数>=匚的图象上没有“不动点”

X

C.直线y=χ+ι的图象上有无数个“不动点”

D.函数y=/的图象上有两个“不动点”

9

(2)求双曲线y=-上的“不动点”;

X

(3)若抛物线y=tιχ2-3x+c(。、C为常数)上有且只有一个“不动点”,

①当”>l时，求C的取值范围.

9

②如果α=l,过双曲线y=N图象上第一象限的“不动点”作平行于X轴的直线/,若抛物线上有四个点到/的

X

距离为机，直接写出机的取值范围.

-X2+bx+c(x≥l)

13.小明对函数X='1.n的图象和性质进行了探究.已知当自变量X的值为1时，函数值为

4；当自变量X的值为2时，函数值为3；探究过程如下，请补充完整：

(1)求这个函数的表达式；

(2)在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质：_；

(3)进一步探究函数图象并解决问题：己知函数%=3x+l的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写

14.小明为了探究函数M：y=-f+4∣x∣-3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并

运用性质解决问题.

(1)完成函数图象的作图，并完成填空.

②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系Xo)，中，画出当x>0时函数M的图象;

③观察图象，当F时，y有最大值为；

(2)求函数M：y=-』+4|x|-3与直线/：y=2x-3的交点坐标;

10

⑶己知P(m,%),QCm+l,%)两点在函数M的图象上，当,<%时，请直接写出〃?的取值范围.

15.已知抛物线y=加+c过点A(-2,0)和Q(T,3)两点，交X轴于另一点艮

图1图2

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1,点P是BO上方抛物线上一点，连接A。，BD,PD,当BO平分DWP时，求尸点坐标；

(3)将抛物线图象绕原点。顺时针旋转90。形成如图2的“心形”图案，其中点M,N分别是旋转前后抛物线

的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点.

①直线EF的解析式是；

②点G、"是‘‘心形”图案上两点且关于EF对称，则线段G”的最大值是.

f⅛-l(α≥2)

16.在平面直角坐标系Xoy中，对于点尸(α,b)和点Q(α,⅛,),给出如下定义：若6'=j例(α<2)，

则称点。为点P的限变点，例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,2),点(-2,-5)的限变点的坐

标是(-2,5),点(1,3)的限变点的坐标是(1,3).

(1)①点(√J,-2)的限变点的坐标是.

2

②在点Λ(-2,2)、8(2,0)中有一点是双曲线y=一上的一个点的限变点，这个点是(填或“夕).

X

(2)若点P在函数y=x-3(-2≤x≤Z,/>-2)的图象上，其限变点。的纵坐标"的取值范围是-2@三5,

求4的取值范围.

(3)已知点M(-3,2),N(5,2),连结MN,点P是函数y=2x+〃?图象上一点，请直接写出点P的限

变点Q所在的函数图象与线段MN有且仅有两个公共点时，机的取值范围.

17.定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线X="("为常数)对称,

则称该函数为“X(")函数”.

(1)在下列函数中，是“X(〃)函数”的有一(填序号).

①y=3x-l；②y=|x|；③y=/-》；④y=_*

X

⑵若关于X的函数＞=。-〃)2+&是'/(0)函数”，且图象与直线y=4相交于A、B两点，函数y=(x-〃f+Z

图象的顶点为P，当/PBA=6()。时•，求火的值.

(3)若关于X的"X(")函数,,y=ox?+法一4的图象经过点(-1,2),且〃=1,当f≤x≤r+4时，函数有最小值-6,

最大值12,求f的值.

18.定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x="J对于任意一个函数，作该函数自变量大于用的部分

关于直线X=M的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于根的部分共同构成一个新的函数图象，则这

个新函数叫做原函数关于直线X="；的"镜面函数例如：图①是函数y=χ+ι的图象，则它关于直线X=O的

“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数''的解析式为＞也可以写成y=W+ι.

12

图③备用图

⑴在图③中画出函数y=-2x+l关于直线X=I的“镜面函数”的图象.并写出“镜面函数”的解析式

⑵若函数y=d-2x+2关于直线X=T的“镜面函数”与直线y=χ+〃喈有三个公共点，求，”的值.

⑶已知A(T,O),8(3,0),C(3,-2),D(-l,-2),函数尸V_2群+2(〃>0)关于直线X=O的“镜面函数”

图象与矩形ABC。的边恰好有4个交点，求〃的取值范围.

19.【阅读理解】对于平面直角坐标系Xo)，中的图形M,N,给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为

图形N上任意一点，如果P,。两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”，

记作d(M,N).

【迁移应用】如图，在平面直角坐标系中，直线y=-gx+2的图象与坐标轴交于A,B两点，点C的坐标

为(-2,0),抛物线G：y="2+fcr+c的图象经过A,B,C三点.

(1)求抛物线G的表达式;

(2)点。为第一象限抛物线上的一点，连接C。交AB于点E,连接B。，记ABOE的面积为S/,ACBE的

S11

面积为S2,若U=求4(点。，∆AβC)的值；

ɔ2ɔ

(3)己知坐标系中有一直线L：y=-x+t,若d(G,L)>2,求r的取值范围.

20.定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于”5≥0)的点叫做这个函数图像的“〃阶方点例如，点

是函数y=X图像的阶方点”；点(2,1)是函数y=2图像的“2阶方点”.

vɔ3√2X

⑴在①②(-IT)；③(1,1)三点中，是反比例函数y=J图像的“1阶方点”的有(填

序号)；

(2)若y关于X的一次函数丫=以-3°+1图像的“2阶方点”有且只有一个，求“的值；

(3)若y关于X的二次函数y=-(X-a)2-2〃+1图像的“阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围.

14

参考答案:

1.(1)①关于y轴对称；②百=-2,々=0,七=2；(3)-l<a<0;(2)将函数y=-(W-lf的图象先向右平

移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函数％=-(∣x-2∣-iy+3的图象，当2<y≤3时，自变

量X的取值范围为0<X<2或2<∙rv4.

【分析】(1)①根据函数图象可直接进行作答；②由函数图象及方程可得当)=1时，自变量X的值，则可

看作直线尸-1与函数y=-(∣x∣-l)2的图象交点问题，进而问题可求解；③由题意可看作直线y=4与函数

y=-(k∣-l)?的图象有四个交点的问题，进而问题可求解；

(2)由函数图象平移可直接进行求解，然后结合函数图象可求解X的范围问题.

【详解】解：(1)①由图象可得：该函数的一条性质为关于y轴对称，(答案不唯一)；

故答案为关于)，轴对称；

②由题意及图象可看作直线产-1与函数y=-(W-Iy的图象交点问题，如图所示：

，方程—(W-I)=—1的解为XI=—2,X?=0,W=2：

故答案为XI=-2,W=O,X3=2；

③由题意可看作直线y=α与函数y=-(W-Iy的图象有四个交点的问题，如图所示:

y

.∙.由图象可得若方程-(∣x∣-l)2="有四个实数根，则。的取值范围是-l<α<O;

故答案为T<α<0;

(2)由题意得：将函数y=-(∣x∣-l)2的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到函

数y=-(k-2∣-iy+3的图象，则平移后的函数图象如图所示：

，由图象可得：当2<y≤3时，自变量X的取值范围为0<x<2或2<x<4.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

2.(I)XHo

⑵C

(3)2.2

(4)y≥T

【分析】(1)题目中的函数解析式可以直接写出X取值范围;

(2)根据X的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题;

(3)根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；

(4)仿照(3)中的计算过程可以求得y的取值范围.

【详解】(1)解：Ty=XH—，

X

.*.X≠O,

故答案为：x≠0;

(2)解：Y函数y=x+L,

X

；・当X>O时，y>。，当XVo时，y<。，

故选：C.

故答案为：2,2；

(4)解：Vx>0,

=(研+圉TT

【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意,

会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键.

3

3.(l)y=-ɪ-ɜ-4

(2)见解析

(3)l≤x≤4

(4)0<α<9

【分析】（1）把X=2,y=T;X=O,y=τ代入y=l^-3∣+b求解即可;

3

）'=jx-7（x22）

九-3

(2)由y=-4,得出，\,再根据函数的图象写出函数的性质;

23

y=-^χ-^χ<2)

（3）根据图象得出不等式的解集；

（4）根据题意画出图象，再根据∣f-6x卜α=0有四个不相等的实数根，得出结果.

【详解】（1）解：在函数y二l依一3|+〃中，当x=2时，y=-4；当X=O时，y=T,

]2⅛-3∣+⅛=-4

".∣-3∣+⅛=-ι，

∖k=-

解得彳2,

b=-4

3

・•.这个函数的表达式为y=-x-3-4;

(2)解：y=ɪɪ-3—4,

y=∣x-7(x≥2)

3,

y=-]i(χ<2)

・,・函数y=#7过点(2,T)和(4,-1),

函数y=-》T过点(0,T)和(-2,2),

该函数图象如图所示，

性质：当x>2时，y的值随X的增大而增大;

(3)解：由函数的图象可得，不等式∣H-3∣+A4(x-3的解集为：lWχ≤4;

2

(4)解：由卜——6x∣-α=O得a=∣χ——6x∣,

作出产,一6乂的图象，

由图象可知，要使方程产-6耳-。=0有四个不相等的实数根，则0<α<9,

故答案为：0<«<9.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，函数图象的画法，由图象写出不等式的解集，解题的关键

是熟练掌握函数的图象和性质并正确画出图象.

4.(I)表格见解析；(H)图象见解析；(HI)(I)X轴下方的图象进行关于X轴对称变换，在X轴上方的

图象不变；(2)x<-l或x>5；(3)①y=-x+3；②0或

4

【分析】(I)将X值代入函数式求出对应的函数值，据此填表即可得到答案；

(II)先描点，再连线即可得到函数图象；

(IIl)(1)通过观察函数图象，即可得到答案；

(2)作出直线y=8的图象，结合图象即可得到不等式的解集；

(3)①先求出函数y=--4x+3∣与X轴和)，轴的交点坐标,再利用待定系数法即可求出直线BC的解析式;

②先根据直线y=τ+3与函数y=∣d-4x+3∣有三个交点，得至IJw=0,再根据直线8C向上平移，且直线

y=-x+3+m与y=-V+4χ-3有且只有一个交点时，满足条件，求出,〃的值即可得到答案.

【详解】解：(I)表格如下所示：

X-2-10123456

y∣=d—4x+315830-103815

y=∣χ2-4χ÷3∣1583O1O3815

(II)根据(I)中的表格描点，函数图像如下所示:

白

y

屋

匚nΠT

--

E

」I

3tuJ

LIH+4

2t-

Γ4-Fn-TΓ

H∙-I

-I-E

Lu

Q>tJ

H¼IT卜

Γ8+ΓnŋΓ

--l

n7+IJE

LτU

-MI4

L4-.

rr匚Γi

L工

-

匚n_

L¼

J，.

⅛⅛-，

J$L

(HI)(1)通过观察可知，将函数y=χ2-4x+3在X轴下方的图象进行关于X轴对称变换，在X轴上方的

图象不变，即可得到函数y=,-4x+3∣的图象，

故答案为：X轴下方的图象关于X轴对称，在X轴上方的图象不变；

(2)如图，在直角坐标系中画出直线y=8的图象，

观察图象可知，,-4X+3∣>8,即函数y=,-4x+3∣在直线y=8上方时的图象，

直线y=8与函数y=,-4x+3∣的图象交于点E,F,E(-l,8),F(5,8),

，不等式上2-4》+3卜8的解集是x<—1或χ>5,

故答案为：x<T或x>5：

Γ□Γ

8

L1

H

t-

EΓ口nTΓ

--

zI

」L

1I+.J

nπTΓ

近2Ja

(3)①函数y=--4x+3∣的图象与X轴交于A,B两点,

二令N=O,则产一4x+3∣=0,

解得：XI=1,x?=3,

8位于A的右侧，

ΛA(1,O),B(3,0),

函数y=∣Y-4x+3∣的图象与y轴交于点C,

二令X=0,则y=,-4x+3∣=3,

.∙.C(0,3),

设直线BC的解析式为y="+b仅#0),

0=3k+b

则

3=b

k=-l

解得:

b=3

•・・直线BC的解析式为y=τ+3;

②I.当直线y=-x+3经过点B时，如下图，直线y=—尤+3与函数y=,-4x+3∣有三个交点,

n<rnΓ

Ξ

1_1」L1_1」b

J

，,I-HIH

匚

L

-

LIJi-AL

d

，加=0满足条件,

∏观察图象可知，平移后的直线与函数y=∣f-4x+3∣的图象恰好有3个交点，直线BC只能向上平移,

当l<x<3时，函数y=∣χ2-4x+3∣=-χ2+4x-3,

设平移后的直线解析式为＞=-*+3+〃?,

此时直线y=-x+3+m与y=-f+4x-3有且只有一个交点,

y=-x+3+m

)，…―只有一个解"

即W-5x+6+m=0有两个相等实数根,

,Δ=(-5)2-4×1×(6÷w)=O,

1

:.m=­

4f

综上所述，将直线BC沿y轴平移，”个单位长度后与函数y=∣d-4x+3∣的图象恰好有3个交点，此时m的

值为0或

4

【点睛】本题考查了绝对值的性质，二次函数的图象，函数图象交点确定不等式解集等知识，准确画出函

数图象，利用数形结合的思想解决问题是解题关键.

5.(1)Φ2,O;②见解析;

(2)φ-3≤x<-l;②±1；③y=l

8

【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；

(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解;②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为PR?，-，/),

则图象〃的顶点为P'(3m,m?),再根据题意即可求解：③根据题意得：二次函数y=χ2-2∕nr的“孔像抛物

线''为N=-(x-2m)(x-4m)=-/+6mr-8w?,设符合条件的抛物线M的解析式为y=a'x2+b'x+c',

(√+l)x2+(⅛,-6∕n)x+(√+8∕772)=O,再由抛物线M与Z/有唯一交点，分两种情况：当"=-1时，无论b'

取任何值，都会存在对应的"?使得6〃?=0,此时符不符合题意；当“'*-l时，有

Δ=(b'-6m)2-4(a'+l)(c,+8m2)=0,根据当山取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当加取任意实

36-32(√+l)=0

数时，上述等式成立，从而得到∙-12//=0,即可求解.

b2-4c'(a'+l)=0

【详解】(1)解：①•••点8―1,3)与点？(5,—3)关于点A中心对称，

•••点A的坐标为(二手,三艺)，即A(2,0),

故答案为：2,0；

②描点，连线，得到的图象如图所示:

(2)解：①当机=-1时，抛物线L为y=f+2x,对称轴为x=—l,

•••它的“孔像抛物线"L'的解析式为y=-(x+2)(x+4),对称轴为X=-ɪ=-3,

画出草图如图所示：

•••抛物线L与它的“孔像抛物线的函数值都随着X的增大而减小，

则X的取值范围为：-3≤x≤-l;

②L：y=χ2-2"7χ=(χ-"7)2-"p,设顶点为尸(〃?,-，叫，过点P作PMJ_x轴于点“孔像抛物线“Z/的

顶点为P',过点P'作PMUX轴于点M',

/.M,(3m,0),

.∙.P'(3m,nr,

：抛物线L及“孔像抛物线''L'与直线y=m有且只有三个交点，

2

∙'∙-m=m或W?2=m,

解得m=/M=±10,

当利=0时，y=χ2与y=一/2只有一个交点，不合题意，舍去，

.∙.w=±l.

③根据题意得：二次函数y=x2-2mjc的“孔像抛物线”为y=-(x-2∕w)(x-Φn)=-x2+6∕nr-8w2,

二设符合条件的抛物线M的解析式为y=a'x2+b'x+c',

∙"∙a'x2+b'x+c'=-X2+6nιx—Sm2,

整理得：("+I)》?+(//-6∕")x+(c'+8"5)=0,

,/抛物线M与二有唯一交点，

当α'=T时，无论b'取任何值，都会存在对应的机使得6'-6"7=0,

此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；

当α'f-1时，

Δ=(fc,-6zn)2-4(α,+l)(c,+8m2)=0,

即b'2—12b'm+36府-4(α,+l)∙8∕n2-4c,(√+l)=0,

整理得：[36-32(√+1)]∕M2-12⅛,∕H+⅛,2-4C,(√+1)=0,

•••当加取何值时，两抛物线都有唯一的交点，

二当“取任意实数时，上述等式成立，

'36-32(√+l)=0

.∙.<-12b'=0,

⅛2-4C,(√+1)=0

P=I

8

解得："二。，

c,=0

该函数解析式为y=Jv.

故答案为：y=

O

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次

函数的相关性质是解题的关键.

6.(Γ)2,-1

(2)见解析

(3)√,×.√

(4)r>-3

【分析】⑴观察表格，函数图象经过点(-1,3),(0,1),将这两点的坐标分别代入解析式，利用待定系数法

即可求出这个函数的表达式；再把尤=-2和x=l分别代入所求的解析式，即可求出相，”的值；

(2)根据表中的数据，通过描点、连线，即可画出函数图象；

(3)根据函数图象即可一一判定；

(4)当函数y=2x+f的图象经过点(1,-1)时，可得[=—3,此时函数y=2∣x-l∣-l在点(1,-1)右侧的图象与函

数y=2x+r的图象重合，再结合图象即可解答.

【详解】(1)解：观察表格，此函数图象经过点(T,3),(0,1),将这两点的坐标分别代入解析式，

(-2α+⅛=3

得一，

[a+h=l

Ia=2

解得L√

[⅛=-l

，这个函数的表达式为y=2∣x-ι∣T;

，当X=—2时，m=2∣-2-1∣-1=5,

当X=I时，AZ=2∣1-1∣-1=-1,

故答案为：5,-1；

(2)解：列表如下：

X-3-2-10123

y7531-113

描点、连线，画图如下:

(3)解：根据图象，判断如下：

①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线X=I.(4)

②当x<l时，y随X的增大而增大，当x21时，y随X的增大而减小.(x)

③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当x=l时有最小值-1.(4)

故答案为：Y,×>Y；

(4)解：当函数y=2x+f的图象经过点(1,-1)时，τ=2+f,

解得r=—3,

此时函数y=2值-II-I在点右侧的图象与函数y=2x+f的图象重合，

故当f〉-3时，函数y=2x+f的图象与函数y=2|x-l|-1的图象有且只有一个交点，

即方程组I),=2卜_1∣_I有且只有一个公共解，

故答案为：t>-3∙

【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表

达式所组成的二元一次方程组的解•也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐

标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键.

7.(1)y=-2x+2;(2)作图见解析，3,0,(|，一］｝(3)存在，％=；

【分析】(1)先设一次函数y=2x-2共根点为(1,0)共根函数经过点(2,-2),(1,0),设一次函数y=2x-2共

根点为(1,0)的共根函数为N=奴+6,待定系数法求解析式即可求解；

(2)根据抛物线的对称性，得出初=3,〃=0,然后根据描点法画出y=f-2x图象，以及平移后的图形,

3

根据图象可知共根轴为进而求得共根点坐标是

（3）y=%平行于X轴，设y=%与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为C,。，当

ABOC为平行四边形时，则CD=AB=2,结合图形即可求解.

【详解】解：（1）如图所示,

由y=2x-2可得，当X=O时，y=-2f当y=0时，X=1,

点（0,-2）关于X=I对称的点的坐标为（2,-2）

设一次函数y=2x-2共根点为（1,0）的共根函数为y=依+6,

2k+b^-2

则

k+b=O

k=-2

解得:

b=2

.∙.一次函数y=2x-2共根点为（1,0）的共根函数为y=-2x+2;

故答案为：y=-2x+2.

（2）解：如图所示，根据对称性可得机=3,"=0

列表如下，

X-2-101234

y=X1-Ix830一1038

描点，连线如图所示,

将y=V-2x向右平移1个单位得至IJy=(X-l)--2(x-l),

3

根据图象可知共根轴为X=],

33

由y=f-2x,令X=],解得：y=~~

,这对共根函数的共根点坐标是

故答案为:3,0,

(3)根据(2)可知当y=o时，X=O或χ=2,

设A(0.0),3(0,2)

二AB=2,

：y=h平行于X轴，设y=%与这一对共根函数图象相交的能构成平行四边形的两点分别为C,D,

当ABOC为平行四边形时，

则CD=Aβ=2,

根据题意，k=X2—2x,

Anza∖∕4∙k+4√4⅛÷4

解得：Xl=--------------1，“2二--------ɪ；

122

⅛=(x-l)2-2(x-l)

解得…=_3区+2,χ4=里→2

如图所示，根据函数图象可知，只有超-七=2一种情形满足题意，

即麻3+巫三2=2

22

解得：&=3

【点睛】本题考查了新定义，待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质，

画二次函数图象，数形结合是解题的关键.

8.(1)√2:(2)2>/2，；(3)80米

【分析】(1)过点。作DHlSC于点”，得出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求

出结果即可；

(2)先根据一次函数解析式求出A。,3),然后再求出反比例函数解析式，再求出点8(3,1),根据两点点

距离公式求出AB的值即可；作尸G〃AB,且FG与双曲线y=士只有一个交点，设直线FG的解析式为

X

y=-χ+b,求出一次函数解析式，再求出交点坐标，最后求出OK的值即可；

(3)作直线A8〃/4,设AB的解析式为y=r+b,与双曲线y=手(x>0)交于点48,过点。作OPlAB

于点P,过点P作P”,X轴于点”，过点4、B分别作直线的垂线4E、BF,垂足为E、F,先求出直线AB

的解析式，然后求出点4、B的坐标，根据两点之间距离公式求出AB的长，进而即可得出答案.

【详解】解：(1)如图，过点。作DHLBC于点H,

VZA=90o,AB=AC,

ΛZB=45o,

∖∙DHIBC,

二△引汨是等腰直角三角形,

/.DH=-BD,

2

VAB=6,AD=A,

：.BD=AB-AD=6-4=2f

/.D∕7=-×2=√2；

2

故答案为：v∑；

(2)把A(l,m)代入y=r+4中，得：m=-1+4=3,

JA(l,3),

把A(l,3)代入y=£得：3=。，

X1

：.k=3