2024春七年级数学下册专题1.4平行线的性质知识解读含解析新版浙教版

Page8专题1.4平行线的性质（学问解读）【学习目标】1、驾驭平行线的三特性质2、会用平行线的性质进行有关的简洁推理和计算3、通过对比，理解平行线的性质和判定的区分【学问点梳理】学问点：平行线性质性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简洁说成：两直线平行，同位角相等。几何语言：∵a∥b∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等）性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简洁说成：两直线平行，内错角相等。几何语言：∵a∥b∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等）性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简洁说成：两直线平行，同旁内角互补。几何语言：∵a∥b∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补）【典例分析】【考点1：平行线性质干脆应用】【典例1】（九龙坡区校级月考）如图，直线AB，CD被直线DE所截，AB∥CD，∠1＝40°，则∠D的度数为（）A．20° B．40° C．50° D．140°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD，∴∠1＝∠D，∵∠1＝40°，∴∠D＝40°，故选：B．【变式1-1】（万州区月考）如图，∠AOB＝45°，CD∥OB交OA于E，则∠AEC的度数为（）A．130° B．135° C．140° D．145°【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝45°，CD∥OB，∴∠AED＝∠AOB＝45°，∵∠AEC+∠AED＝180°，∴∠AEC＝135°，故选：B．【变式1-2】（乐清市开学）已知：如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，若∠2＝110°，则∠1的度数是（）A．130° B．110° C．80° D．70°【答案】D【解答】解：如图：∵a∥b，∠2＝110°，∴∠3＝∠2＝110°，∵∠1+∠3＝180°，∴∠1＝70°．故选：D．【考点2：平行线性质与三角板结合】【典例2】（沙坪坝区校级月考）一把直尺和一块三角板ABC（含30°，60°角）的摆放位置如图所示，直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D，点E，另一边与三角板的两直角边分别交于点F，点A，且∠CDE＝45°，那么∠BAF的大小为（）A．35° B．20° C．15° D．10°【答案】C【解答】解：由图可得，∠CDE＝45°，∠C＝90°，∴∠CED＝45°，又∵DE∥AF，∴∠CAF＝∠CED＝45°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAF＝60°﹣45°＝15°，故选：C．【变式2-1】（龙岗区校级期中）一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），假如点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（）A．10° B．15° C．18° D．30°【答案】B【解答】解：∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°，故选：B．【变式2-2】（邓州市二模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，AB∥DE，则∠EFC的度数是（）A．65° B．60° C．70° D．75°【答案】D【解答】解：如图：∵AB∥DE，∴∠BGF＝∠D＝45°，由三角形外角的性质可知：∠BGF＝∠DFA+∠A，∴∠DFA＝∠BGF﹣∠A＝45°﹣30°＝15°，∴∠EFC＝180°﹣∠EFD﹣∠DFA＝180°﹣90°﹣15°＝75°．故选：D．【考点3：平行线性质与折叠结合】【典例3】（朝天区期末）如图，将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，点A，B分别落到点A'，B'处．若∠A′EF＝130°，则∠BFE的度数为（）A．50° B．65° C．70° D．80°【答案】A【解答】解：由题知：∠AEF＝∠A′EF＝130°，AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB＝180，∴∠BFE＝50°．故选：A．【变式3-1】（平南县期末）如图，把长方形ABCD沿EF按如图所示折叠后，点A、B分别落在A'、B'处．若∠B′FC＝50°，则∠AEF的度数是（）A．114° B．115° C．116° D．120°【答案】B【解答】解：由题意得，∠BFE＝∠B′FE．∵∠B′FC＝50°，∴∠B′FB＝180°﹣∠B′FC＝130°．∴∠BFE＝65°．∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC．∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．故选：B．【变式3-2】（靖西市期末）如图，在长方形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD，把纸片沿EF折叠后，点C、D分别落在C'、D'的位置．若∠AED'＝52°，则∠EFB等于（）A．70° B．64° C．55° D．52°【答案】B【解答】解：∵∠AED'＝52°，∴∠DED′＝180°﹣∠AED′＝128°，由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝∠DED′＝64°，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝64°，故选：B．【考点4：平行线的判定与性质】【典例4】（青冈县期末）已知：如图，∠CDG＝∠B，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．（1）证明：DG∥AB，AB∥EF．（2）试推断∠1与∠2的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠CDG＝∠B，∴DG∥BA（同位角相等，两直线平行），∴∠1＝∠BAD（两直线平行，内错角相等），∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知），∴AD∥EF（在同一平面内，垂直于同始终线的两条直线平行），（2）解：∠1＝∠2，理由∴∠2＝∠BAD（两直线平行，同位角相等），∴∠1＝∠2（等量代换）．【变式4-1】（衡山县期末）如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试说明EF∥BC．请将下面的推理过程补充完整．证明：∵∠1+∠2＝180°（已知）．∠2＝∠4（）．∴∠+∠4＝180°．∴∥（）．∴∠B＝∠（）．∵∠3＝∠B（）．∴∠3＝∠（）．∴EF∥BC（）．【解答】解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4（对顶角相等），∴∠1+∠4＝180°，∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），∴∠B＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），∵∠3＝∠B（已知），∴∠3＝∠FDC（等量代换），∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；1；等量代换；AB，DF，同旁内角互补，两直线平行；FDC，两直线平行，同位角相等；已知；FDC，等量代换；内错角相等，两直线平行．【变式4-2】（东莞市期中）如图，已知AC平分∠BAD，且∠1＝∠2．（1）求证：AB∥CD．（2）若AC⊥CB，∠D＝120°，求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠3，又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD；（2）解：∵∠D＝120°，∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝30°，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠DCB＝120°，∵AB∥CD，∴∠DCB+∠B＝180°，∴∠B＝60°．【变式4-3】（昭平县期末）如图，∠DAC+∠ACB＝180°，CE平分∠BCF，∠FEC＝∠FCE，∠DAC＝3∠BCF，∠ACF＝28°．（1）求证：AD∥EF；（2）试求∠DAC、∠FEC的度数．【解答】（1）证明：∵∠DAC+∠ACB＝180°，∴BC∥AD，∵CE平分∠BCF，∴∠ECB＝∠FCE，∵∠FEC＝∠FCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥