湖北术州市2024-2025学年高二数学上学期11月期中试题含解析

Page20高二数学试卷考生留意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清晰.3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色．墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4．本卷命题范围：人教A版必修其次册第十章，选择性必修第一册第一章～其次章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点在直线上，则直线的倾斜角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用倾斜角和斜率之间的关系计算即可求得倾斜角的大小为.【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以.故选：C.2.若，，则（）A.22 B. C. D.29【答案】C【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式即可求值.详解】由，，得，，所以．故选：C．3.若圆的半径为2，则实数的值为（）A.-9 B.-8 C.9 D.8【答案】D【解析】【分析】由圆的一般方程配方得出其标准方程，由半径为2得出答案.【详解】由，得，所以，解得.故选：D.4.如图所示，在平行六面体中，为与交点，为的中点，若，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据空间向量线性运算法则计算可得.【详解】因为为与的交点，所以，故.故选：B5.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（）A.4 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】依据平行线间距离公式求解即可.【详解】直线与直线之间的距离，直线与直线之间的距离，又由正方形可知，即，解得.故选：A.6.已知圆经过点，且圆心在直线上，若为圆上的动点，则线段为坐标原点）长度的最大值为（）A. B. C.10 D.【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，依据即可得答案.【详解】解：线段中点的坐标为，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，由，解得，所以圆心为．所以.故选：A．7.已知木盒中有围棋棋子15枚（形态大小完全相同，其中黑色10枚，白色5枚），小明有放回地从盒中取两次，每次取出1枚棋子，则这两枚棋子恰好不同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据相互独立事务与互斥事务的概率公式计算可得.【详解】从盒中随机取出1枚棋子，“是黑棋子”记为事务，“是白棋子”记为事务，则，，两枚棋子恰好不同色包含：第一次取出黑棋子，其次次取出白棋子；第一次取出白棋子，其次次取出黑棋子，这两个事务是互斥事务．第一次取出黑棋子，其次次取出白棋子相互独立，概率为；第一次取出白棋子，其次次取出黑棋子也相互独立，概率为．所以这两枚棋子恰好不同色的概率是．故选：A．8.已知圆和点，，若点在圆上，且，则实数的取值范目是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用两点距离公式结合圆的位置关系计算即可.【详解】设，由，得，即点在圆上，易知其圆心为，半径．又圆的圆心为，半径，而点圆上，故圆与圆有公共点，所以，解之得，即的取值范围是．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（）A.对于空间中的随意一个向量，总存在实数，使得B.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C.若，，则D.若所在直线两两共面，则共面【答案】ACD【解析】【分析】依据空间向量基本定理分别推断.【详解】由空间向量基本定理.可知只有当不共面时.才能作为基底，才能得到，故A错误：若是空间的一个基底，则不共面.也不共面，所以也是空间的一个基底，故B正确；若，，则不愿定平行，故C错误；若所在直线两两共面，则不愿定共面，故D错误.故选：ACD.10.从1，2，3，…9中任取两个数，其中：①恰有一个偶数和两个都是奇数；②至少有一个偶数和两个都是偶数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事务中，是互斥事务的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】AC【解析】【分析】依据题意，由互斥事务的定义，对选项逐一推断，即可得到结果.【详解】依据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的状况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种状况．依次分析所给的4个事务可得，①恰有一个偶数和两个都是奇数,不能同时发生，是互斥事务；②至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种状况，与两个都是偶数不是互斥事务；③至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种状况，和“两个都是偶数”不能同时发生，是互斥事务；④至少有一个奇数包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种状况，至少有一个偶数包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种状况，不是互斥事务．故选:AC．11.已知直线过点，若与，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解.【详解】由题意知直线在，轴上的截距存在且大于，可设的方程为（，），由直线过点，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，即，所以，故选：CD.12.如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（）A. B.直线和所成角的余弦值是C.点到直线的距离是 D.点到平面的距离是2【答案】ABC【解析】【分析】连接，利用中位线、正四棱锥的性质推断A；过作，交延长线于，若为中点，连接，先证为平行四边形，由异面直线定义确定直线和所成角的平面角，再求其余弦值推断B；中求各边长，余弦定理求，进而求点到直线的距离推断C；证面，等体积法有求点面距离推断D.【详解】A：连接，分别为，的中点，即为中位线，则，由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对；B：过作，交延长线于，若为中点，连接，又，即，则为平行四边形，故，，而且，故且，即为平行四边形，所以且，故直线和所成角，即为或其补角，及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为，所以，，，故直线和所成角的余弦值是，对；C：中，又，则，所以，则，所以，故，所以点到直线的距离是，对；D：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，，连接，交为，则，则，又，，面，所以面，即面，易知：，令到平面的距离为，则，由，则中上的高为，故，由，，则，所以，错.故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了20组随机数：68303215705664317840452378342604534609526837981657344725657859249768605191386754由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______．【答案】##【解析】【分析】依据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】在20组数中，6830，7840，7834，5346，0952，5734，4725，5924，6051，9138满意要求，共10个，由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为．故答案为：14.已知直线：，：，当时，的值为__________.【答案】

【解析】【分析】依据两条直线的平行关系求a的值，再把a的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a.【详解】因为，所以，解得或.当时，：，：，此时与重合，不符合题意；当时，：，：，此时，符合题意.综上，的值为.故答案为：.15.自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动平安地操作机动车辆.某自动驾驶讯车在车前点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域.如图所示，在平面直角坐标系中，，直线，的方程分别是，，现有一个圆形物体的圆心为，半径为，圆与，分别相切于点，，则______【答案】##【解析】【分析】应用直线和圆相切求参，再结合图形特征求面积即可.【详解】连接，，由题意可设，又圆与相切，则，解得，由题意可得，，在中，，所以，同理，，又，所以，即.故答案为：.16.在棱长为4的正方体中，点，分别为棱，的中点，，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】建系，设，，依据可得，进而利用两点间距离公式结合二次函数分析求解.【详解】以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示.因为点，分别为棱，的中点，所以，，设，，其中，，则，.因为，则，解得，又因为，，则，可得，所以，此时，即线段的长度的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个顶点分别为，，.（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程.（2）先求得点坐标，再依据两点式求得边上的中线所在直线的方程.【小问1详解】，所以直线的斜率为，所以直线的方程为【小问2详解】线段的中点，所以直线所在直线方程为.18.第19届亚运会于2024年9月23日至10月8日在杭州举办，为做好本次亚运会的服务工作，从某高校选拔志愿者，现对该校踊跃报名的100名学生进行综合素养考核，依据学生考核成果分为四个等级，最终的考核状况如下表：等级人数10404010（1）将频率视为概率，从报名的100名学生中随机抽取1名，求其成果等级为或的概率；（2）已知等级视为成果合格，从成果合格的学生中，依据考核状况利用比例支配的分层随机抽样法抽取5名学生，再从这5名学生中选取2人进行座谈会，求这2人中有等级的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依据等可能事务概率计算公式求解即可；（2）取的5名学生中成果为等级的人数分别为1，4，从这5名学生中选取2人，列举出全部结果，依据古典概型概率计算公式计算即可.【小问1详解】由题知，随意抽取1人，抽到学生成果等级为或的概率为．【小问2详解】由题知，抽取的5名学生中成果为等级的人数分别为1，4，记这5人分别为，从中抽取2人的样本空间为，共10个样本点，其中有等级的样本点有，共4个，所以这2人中有等级的概率为．19.已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上.（1）求圆的方程；（2）已知直线与圆相交于两点，且的面积为8，求直线的方程.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）依据直线与圆相切,依据点到直线距离公式求出圆心,再应用圆的标准方程即可;（2）依据几何法求弦长,再结合面积公式计算即可.【小问1详解】由已知可设圆心，则，解得或（舍），所以圆的方程为.【小问2详解】设圆心到直线的距离为，则，即，解得，又，所以，解得，所以直线的方程为或.20.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.【小问1详解】证明：取的中点，连接，，因为F，G分别为，的中点，所以，，又E为的中点，，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令得，，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则，即直线与平面所成的角的正弦值为.21.一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思索解题的方案，让解题增加了新奇 性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红运用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红运用四种解法全部答对的概率为．（1）求的值；（2）求小红不能正确解答本题的概率；（3）求小红运用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）依据给定条件，利用相互独立事务的概率公式计算得解.（2）利用对立事务及相互独立事务的概率公式计算得解.（3）利用互斥事务及相互独立事务的概率公式计算得解.【小问1详解】记小红运用解法一、二、三、四答对分别为事务，则，因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为，