高中数学-基本不等式（一）教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。

这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生

对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

具体过程安排如下：

-创设情景，提出问题；

设计意图：数学教育必须基于学生的“数

学现实“，现实情境问题是数学教学的平台，

数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学

现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基

于此，设置如下情境：

上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据

中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风

车，代表中国人民热情好客。

［问］你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不

等式在此基础上，引导学生认识基本不等式。

同时，（几何画板辅助教学）通过几何画板演示，

6几何画板-［基本不等式］□00

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面积匕=3.69厘米2

面积ACED=3.69厘米2

面积AMDA=3.69厘米2

面积ABHA=3.69厘米2

面积ABCD=20.5厘米2

（面积P'i）+（面积ZkCEDM面积AMDAM面积ABHA）=14.8厘米2

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让学生更直观的抽象、归纳出以下结论:

二、抽象归纳：

一般地，对于任意实数有据当且仅当。=方时,

等号成立。

［问］你能给出它的证明吗？

学生在黑板上板书。

特别地，当a>0,沅>0时，在不等式高—［中,以4、VT分别代

替%b,得到什么？

设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生

理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其

中的函数思想，为今后学习奠定基础.

答案：Jo

【归纳总结】

如果都是正数，那么而■土,当且仅当时，等号成

2

立。

我们称此不等式为基本不等式。其中学称为a,b的算术平均

数，疯称为。乃的几何平均数。

三、理解升华：

1、文字语言叙述：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

2、联想数列的知识理解基本不等式

已知。力是正数，A是的等差中项，G是。力的正的等比中

项，A与G有无确定的大小关系？

两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。

3、符号语言叙述：

若则有而当且仅当G多时，而■空辿。

22

［问］怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总

结）

“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

当a=b时，取等号，即

2

仅当a=b时，取等号，即4ct。

2

4、探究基本不等式证明方法：

［问］如何证明基本不等式？

（意图在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性

认识到理性认识的升华）

方法一：作差比较或由正4考巨展开证明。

方法二：分析法（完成课本填空）

设计依据：课本是学生了解世界的窗口和工具，心理学研究表明：

任何学习都是学习者自主建构的过程.在这个过程中，离不开学习主

体与文本之间的交互作用.有意义的接受学习是自主建构，有意义的

发现学习也是自主建构.前者的认知机制是同化，它引起认知结构的

量变；后者的认知机制是顺应，它引起认知结构的质变.既没有绝对

的接受学习，也没有绝对的发现学习，总是两者相互交替、有机结合.

所以，课本必须成为学生赖以学会学习的文本.在教学中要让学生学

会认真看书、用心思考，养成讲讲议议、动手动笔、仔细观察、用心

体会的好习惯，真正学会读“数学书”。

要证竺效，而①

2

只要证ya________②

要证②，只要证一■■()③

要证③，只要证吊・④

显然，④是成立的。当且仅当。斗时，④中的等号成立。

点评：证明方法叫做分析法，实际上是寻找结论的充分条件，执果索因

的一种思维方法.

5、探究基本不等式的几何意义:借助初中阶段学生熟知的几何图形，

引导学生探究不等式2的几何解释，通过数形结合，

赋予不等式2几何直观。进一步领悟不等式中等号成

立的条件。

如图：A3是圆的直径，点。是A3上一点，AC=a,CB=b,

几何解释实质可认为是:

是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高。

三、探究归纳

下列命题中正确的是

①对于任意实数a,b,均有

②当时，由于3BP*，当且仅当1,一时，即％=/时，等号

成立。所以函数❸的最小值为2；

③当”（0,：）时，有sin*4、4；所以函数在（0,的

2sinxsinj2

最小值为4。

以上命题均是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，

目的是利用学生原有的平面几何知识，进一步领悟到不等式

J办W生辿成立的条件及当且仅当4=）时，等号成立。这

2

些“陷阱”要让学生自己往里跳，然后自己再从中爬出来，完全放手

让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

结论：

若两正数的乘积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值;

若两正数的和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的乘积有最大值。

简记为：“一正、二定、三相等”。

四、领悟练习：

公式应用之一：

（l）^x>O,x+-的最小值为，此时______

X5

⑴若a>0,b>0,且a+b=2,则ab的最大值为,此时

a-,b=o

公式应用之二：(最优化问题)

设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题，不仅极大地

增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的

兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边

的生活中

(1)在学农期间，生态园中有一块面积为lOOn?的矩形茶地，

为了保护茶叶的健康生长，学校决定用篱笆围起来，问这个矩形的长、

宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？

(2)现在学校仓库有一段长为36m的篱笆，要围成一个矩形菜园，

问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？

五、反思总结，整合新知：

通过本节课的学习你有什么收获？取得了哪些经验教训I?还有哪

些问题需要请教？

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验

教训，巩固知识技能，提高认知水平.

老师根据情况完善如下：

一个不等式：若1^0,则有疯4组咳，当且仅当“R时,

2

而丝，

2

两种思想：数形结合思想、归纳类比思想。

三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三

相等”

学情分析

为了更好地实现教学目标，我将对学生情况进行一下简要分析。

对于高一年级的学生来说，他们对不等式的知识有了一定的了解，但

对基本不等式的理解运用能力不足。这一阶段的学生正处在由抽象思

维到逻辑思维的过渡期，对图形的观察、分析、总结可能会感到比较

困难。这都将成为我组织教学的考虑因素。

本节课采用观察一一感知一一抽象一一归纳一一探究；启发诱导、

讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际

问题出发，放手让学生探究思索。以现代信息技术多媒体课件、几何

画板作为教学辅助手段，加深学生对基本不等式的理解。

效果分析

科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教育学的和谐

完美与统一。根据本节课的特点并结合新课改的要求，在本节课中，

我采用了讲授法、演示法、引导启发法等教学方法。通过理解掌握基

本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单问题；培养了学生探究

能力以及分析问题解决问题的能力。按照创设情景，提出问题一剖

析归纳证明一几何解释一应用（最值的求法、实际问题的解决）的

过程呈现。启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培

养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法，通过运用多媒体的教

学手段，引领学生主动探索基本不等式性质，体会学习数学规律的方

法，体验成功的乐趣。

教师的教是为了学生更好地学，结合本节内容，我将学法确定为

自主探究法、分析归纳法。充分调动学生的眼、手、脑等多种感官参

与学习，既培养了他们的学习兴趣，又使他们感受到了学习的乐趣，

通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用

数学的眼光看世界,通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、

勤于动手的良好品质。取得了很好的效果

教材分析

1、本节教材的地位和作用

“基本不等式”是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出

来了(展示课本和参考书封面)。它是在学完“不等式的性质”、“不

等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究.在不

等式的证明和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。

同时本节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想，有利于培养

学生良好的思维品质。

2、教学目标

(1)知识目标:探索基本不等式的证明过程；会用基本不等式解

决最值问题。

(2)能力目标:培养学生观察、试验、归纳、判断、猜想等思维

能力。

(3)情感目标:培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和

谐统一，领略数学的应用价值，激发学生的学习兴趣和勇于探索的精

神。

3、教学重点、难点

根据课程标准制定如下的教学重点、难点

重点：应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索基本

不等式。

难点:基本不等式的内涵及几何意义的挖掘，用基本不等式求最

值。

测评练习

］、若a>0,贝！___________若而>0,贝！+______

aba

2>若w>0,且满足根+〃=6,则加〃有最值,此时

m=2n=.

若八〃>0且满足以力=6,则〃有最_____值_______，此时

m=1n=

3、把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最

小？

4、已知a>0,b>0,且4a+b=l,求出?的最大值。

5、已知x>2,求丁=%+」一的最小值

x-2

6、把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最

大？

7、已知x<0,求函数/(x)=2+3x的最大值。

X

课后反思

我校教学指导方针为：“低起点，高观点，高目标”。新课程标

准中对知识的发生的过程提出了较高的要求，多次使用了“经历”、

“感受”、“探索”等情感，态度与价值观要求行为动词，重视学生对

问题的探究能力。

在证明基本不等式时，

A2+V

4,,=>........—>xy

一般方法：x,y£R,(x—y),202,当且仅当x=y时，

等号成立。

x2+y2a+b、r-r

f-r---------之VClb

令x=J",y=",所以22xy=2，当且仅

当a=b时，等号成立。

接下来提问学生能否有别的方法证明该不等式，没想到学生思维

活跃，提出了两种证法，令我始料不及，收获很大。

证法2：当a>0,b>0时，有(a—b)：>0=>a：+b22ab

=>（a+b）24ab

=a+b«—2疝（舍

去）或a+b>2疝

=>2

当且仅当a=b时，等号

成立

证法3：当a>0,b>0时，（日一近）'■>CRa+b—2疝20