2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州二中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x−2x+2≤0}，B={x|x2A.{x|x≤2或x≥3} B.{x|−2<x<3}

C.{x|0<x≤2} D.{x|x≤−2或x≥3}2.已知A(1,2)，B(2,4)，C(m,6)三点共线，则m的值为(

)A.−5 B.5 C.−3 D.33.某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)A.16 B.13 C.124.若椭圆x2a2+y2A.3 B.6 C.26或35.已知圆x2+y2−6x=0，过点A.1 B.2 C.3 D.46.某校举办了数学知识竞赛，把1000名学生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)按[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成四组，并整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的为(

)A.a的值为0.015 B.估计这组数据的众数为80

C.估计这组数据的第60百分位数为87 D.估计成绩低于80分的有350人7.设a=1e，b=ln33，c=e−2+ln2，设a，bA.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a8.已知函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x3+2x，则曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程为A.y=−5x−2 B.y=−5x−8 C.y=5x+2 D.y=5x+8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(

)A.ab≤14 B.log2a+log210.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,A>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)

A.f(x)=2sin(2x+π4)

B.f(x)在[−π4,π4]上单调递增

C.f(x)的图象向右平移π11.设函数f(x)=2x3−3axA.当a>1时，f(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z满足iz=2+i，则z的虚部为______．13.已知函数f(x)=(3a−1)x,x<1x2−2ax+a,x≥1是增函数，则实数14.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，AA1=2，点D在棱AC上，点E在棱BB1上，给出下列三个结论：

①四棱锥E−ACC1A1的体积为定值

②

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=ccosA．

(1)试判断△ABC的形状；

(2)若c=1，求△ABC周长的最大值．16.(本小题15分)

在各项均不相等的等差数列{an}中，a1=1，且a1，a2，a5等比数列，数列{bn}的前n项和Sn满足Sn=2n+1−2．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直．

(1)求a；

(2)求18.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=22，M为BC的中点．

(1)求证：AM⊥平面PBD；

(2)求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值；

(3)求D到平面APM的距离．19.(本小题17分)

已知抛物线E：y2=2px(p>0)经过点P(1,2)．

(1)求抛物线E的方程；

(2)设直线y=kx+m与E的交点为A，B，直线PA与PB倾斜角互补．

(i)求k的值；

(ii)若m<3，求△PAB面积的最大值．参考答案1.B

2.D

3.D

4.D

5.B

6.C

7.A

8.A

9.ABD

10.AD

11.AD

12.−2

13.(114.①②

15.解：(1)由b=ccosA，利用余弦定理得b=cb2+c2−a22bc，即a2+b2=c2，

所以C=π2，

所以△ABC是直角三角形；

(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，

可得a=sinA16.解：(1)设数列{an}的公差为d，则a2=a1+d，a5=a1+4d，

∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，

整理得d2=2a1d，解得d=0(17.解：(1)f′(x)=1x+2x+a，则f′(2)=12+2×2+a=92+a，

由题意可得(92+a)×(−23)=−1，解得a=−3；

(2)由a=−3，故f(x)=lnx+x2−3x+2，

则f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，x>0，

故当0<x<12时，f′(x)>0，当18.解：(1)证明：∵PD=DC=2，AD=22，M为BC的中点，

∴ADAB=ABAM=2，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，

∴∠DAB=∠MBA=π2，

∴Rt△DAB∽Rt△ABM，∴∠DBA=∠AMB，

又∠MBD+∠DBA=π2，∴∠MBD+∠ANB=π2⇒AM⊥DB，

∵PD⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，

∴PD⊥AM，又DB∩PB=B，且DB，PB⊂平面PBD，

∴AM⊥平面PBD；

(2)∵PD⊥平面ABCD，又AD，DC⊂平面ABCD，

∴PD⊥AD，PD⊥DC，又四棱锥P−ABCD的底面是矩形，

∴AD⊥DC，∴建立如下图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：

D(0,0,0),P(0,0,2),A(22,0,0),M(2,2,0)，

∴PA=(22,0,−2)，MA=(2,−2,0)，DP=(0,0,2)，

∵PD⊥平面ABCD，∴平面ABCD的法向量为DP=(0,0,2)，

设平面APM的法向量为n=(x,y,z)，

19.解：(1)由题意可知，4=2p，所以p=2，

所以抛物线E的方程为y2=4x；

(2)(i)设A(x1,y1)B(x2,y2)，如图，

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