第18讲 圆与圆的位置关系4种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第18讲圆与圆的位置关系4种常见考法归类1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点1圆与圆的位置关系1．种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．2．判定方法(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交内切或外切外离或内含注：(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；(2)圆和圆相交，两圆有两个公共点；(3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(4)圆与圆的位置关系不能简单仿照直线与圆的位置关系的判断方法将两个方程联立起来消元后用判别式判断，因为当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．知识点2圆与圆位置关系的应用设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心．(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．两圆公共弦长的求法两圆公共弦长，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长eq\f(l,2)，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．知识点3圆与圆的公切线1、公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．两圆外离两圆外切两圆相交两圆内切两圆内含有2条外公切线和2条内公切线，共4条有2条外公切线和1条内公切线，共3条；只有2条外公切线只有1条外公切线无公切线2、公切线的方程核心技巧：利用圆心到切线的距离求解知识点4圆系方程(1)以为圆心的同心圆圆系方程：；(2)与圆同心圆的圆系方程为；(3)过直线EMBEDEquation.4过两圆，圆：交点的圆系方程为（，此时圆系不含圆：）特别地，当时，上述方程为一次方程.两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程.1、判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法．(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系．2、圆系方程一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程．3、两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.4、公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．5、求两圆的相交弦的垂直平分线的方程即为经过两圆的圆心的直线方程考点一：圆与圆位置关系的判断（一）判断圆与圆的位置关系例1．（2023秋·福建宁德·高二统考期中）圆与圆的位置关系是（

）A．相切 B．相交 C．内含 D．外离变式1．（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）圆O：与圆C:的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切变式2．（2023·全国·高三专题练习）已知圆的圆心在直线上，点与都在圆上，圆，则与的位置关系是___________.变式3．【多选】（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知圆，则（

）A．点在圆C内 B．直线与圆C相切C．圆与圆C相切 D．圆与圆C相切变式4．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）平面直角坐标系中，，，动点满足，则使为等腰三角形的点个数为（

）A．0 B．2 C．3 D．4变式5．【多选】（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知圆M：，圆N：，直线l：，则下列说法正确的是（

）A．圆N的圆心为B．圆M与圆N相交C．当圆M与直线l相切时，则D．当时，圆M与直线l相交所得的弦长为变式6．（2022·全国·高二专题练习）已知点在圆：上，点，，满足的点的个数为（

）A．3 B．2 C．1 D．0（二）由圆的位置关系求参数例2．（2023秋·浙江丽水·高二统考期末）若圆与圆外切，则实数（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4变式1．（2023秋·高二课时练习）若两圆和圆相交，则a的取值范围是（

）A． B．或C． D．或变式2．（2023秋·高二课时练习）当为何值时，两圆和.(1)外切；(2)相交；(3)外离.变式3．（2022秋·高二课时练习）若圆与圆有公共点，则满足的条件是（

）A． B．C． D．变式4．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知圆：与圆：有公共点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．变式5．（2023春·安徽·高二校联考期末）已知圆，，，若以线段为直径的圆与圆有公共点，则的值可能为______.（写出一个即可）变式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．3变式7．（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆内切，则的最小值为_______变式8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C相外切，则k的取值范围为__________．考点二：与圆相交有关的问题（一）求两圆的交点坐标例3．（2022·高二课前预习）圆与圆的交点坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和变式1．（2022·高二课时练习）求圆与圆的交点的坐标．变式2．（2022秋·贵州遵义·高二遵义一中校考阶段练习）圆：和圆：交于A，B两点，则线段AB的垂直平分线的方程是______.变式3．（2023秋·辽宁丹东·高二统考期末）已知圆与圆交于A，B两点，则四边形的面积为（

）A．12 B．6 C．24 D．（二）圆系方程的应用例4．（2023·全国·高三专题练习）经过点以及圆与交点的圆的方程为______．变式1．（2022秋·高二单元测试）求过两圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程.（三）求两圆公共弦方程例5．（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期末）圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.变式1．（2022秋·高二课时练习）已知圆与圆，求两圆的公共弦所在的直线方程（

）A． B．C． D．变式2．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知圆：过圆：的圆心，则两圆相交弦的方程为______.变式3．（2022秋·高二课时练习）已知过圆外一点做圆的两条切线，切点为两点，求所在的直线方程为（

）A． B．C． D．（四）求两圆公共弦长例6．（2022·高二课时练习）已知圆，圆.(1)求圆与圆的公共弦长；(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.变式1．（2023·河南·统考二模）若圆与圆的公共弦AB的长为1，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．变式2．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）已知圆C的圆心为，且与直线相切．(1)求圆C的方程；(2)求圆C与圆的公共弦的长．变式3．（2021秋·高二课时练习）若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则直线AB的方程为________；线段AB的长为________．变式4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．变式5．（2021秋·高二课时练习）圆与圆的公共弦长的最大值是（

）A． B．1 C． D．2考点三：两圆的公切线问题（一）圆的公切线条数例7．（2022秋·贵州遵义·高二习水县第五中学校联考期末）圆与圆的公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式1．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知圆与圆，下列说法正确的是（

）A．与的公切线恰有4条B．与相交弦的方程为C．与相交弦的弦长为D．若分别是圆上的动点，则变式2．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知直线是圆的切线，并且点到直线的距离是2，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条变式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若圆和有且仅有一条公切线，则______；此公切线的方程为______变式4．（2022秋·高二课时练习）已知两圆，，当圆与圆有且仅有两条公切线时，则的取值范围________.变式5．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知两圆和恰有三条公切线，若，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．圆的公切线方程例8．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.变式1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知圆与圆，写出圆C和圆E的一条公切线的方程______.变式2．（2023·湖南岳阳·统考三模）写出与圆和都相切的一条直线方程____________．变式3．【多选】（2022秋·高二单元测试）已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（

）A． B．C． D．（二）圆的公切线长例9．【多选】（2023春·山东青岛·高二统考开学考试）已知圆，圆，则（

）A．圆与圆相切B．圆与圆公切线的长度为C．圆与圆公共弦所在直线的方程为D．圆与圆公共部分的面积为变式1．【多选】（2022秋·广东惠州·高二惠州市惠阳高级中学实验学校校考期中）圆与圆相交于，两点，则（

）A．的直线方程为 B．公共弦的长为C．圆与圆的公切线长为 D．线段的中垂线方程为变式2．【多选】（2022秋·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知与相交于A，B两点，则下列结论正确的是（

）．A．直线AB的方程为B．过A，B两点，且过点的圆的方程为C．与的公切线的长度为D．以线段AB为直径的圆的方程为变式3．（2022秋·广东云浮·高二校考期中）已知圆A的方程为，圆的方程为.(1)判断圆A与圆是否相交，若相交，求过两交点的直线方程及两交点间的距离；若不相交，请说明理由.(2)求两圆的公切线长.考点四：圆与圆的最值问题例10．【多选】（2023秋·高一单元测试）点在圆：上，点在圆：上，则（

）A．的最小值为B．的最大值为C．两个圆心所在的直线斜率为D．两个圆公共弦所在直线的方程为变式1．【多选】（2023·湖南·校联考二模）已知点在圆上，点在圆上，则（

）A．两圆外离 B．的最大值为9C．的最小值为1 D．两个圆的一条公切线方程为变式2．【多选】（2022秋·山东威海·高二校考阶段练习）已知点，且点P在圆上，C为圆心，则下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．以AC为直径的圆与圆C的公共弦所在的直线方程为：C．当最大时，的面积为D．的面积的最大值为变式3．（2023·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C：，圆是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆交于A，B两点，则当最大时，（

）A．1 B． C． D．21．圆与圆的位置关系为A．内切 B．相交 C．外切 D．相离2．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A．内切 B．相交 C．外切 D．相离3．若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是_________．4．（2022·全国·统考高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________．一、单选题1．（2023春·江苏扬州·高二统考开学考试）圆与圆的位置关系为（

）．A．相交 B．内切 C．外切 D．外离2．（2023春·江苏盐城·高二统考期末）在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末）已知点为直线：上的动点，过点作圆：的切线，，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B．C． D．4．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知点P为直线上的一点，M，N分别为圆：与圆：上的点，则的最小值为（

）A．5 B．3 C．2 D．15．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．6．（2023·全国·高三专题练习）已知圆，则下列说法正确的是（

）A．点在圆内B．若圆与圆恰有三条公切线，则C．直线与圆相离D．圆关于对称二、多选题7．（2023春·湖南·高二校联考期末）已知圆和圆，分别是圆，圆上的动点，则下列说法正确的是（

）A．圆与圆有四条公切线B．的取值范围是C．是圆与圆的一条公切线D．过点作圆的两条切线，切点分别为，则存在点，使得8．（2023春·广东揭阳·高二统考期末）已知直线l：，圆C：，则下列说法错误的是（

）A．若或，则直线l与圆C相切B．若，则圆C关于直线l对称C．若圆E：与圆C相交，且两个交点所在直线恰为l，则D．若，圆C上有且仅有两个点到l的距离为1，则9．（2023秋·高一单元测试）如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述正确的是（

）

A．曲线W围成的封闭图形面积为4+2πB．若圆与曲线W有8个交点，则C．与的公切线方程为D．曲线W上的点到直线的距离的最小值为410．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）已知，过点作圆的切线，切点分别为，则下列命题中真命题是（

）A．B．直线的方程为C．圆与共有4条公切线D．若过点的直线与交于两点，则当面积最大时，.三、填空题11．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，圆和外切形成一个8字形状，若，为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则的最大值为______．12．（2023·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）已知点，，若圆上存在点P满足，则实数a的取值的范围是____________．13．（2023春·广西·高二校联考期中）已知圆心在原点的单位圆和圆外切，________．14．（2023秋·高二课时练习）已知圆C过点且与圆切于点，则圆C的方程为___