第09讲 空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第09讲空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.知识点1空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.(2)相关概念：O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分．注意点：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标、向量的坐标（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且点A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底{i，j，k}下与向量eq\o(OA,\s\up6(→))对应的有序实数组(x，y，z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点点的位置x轴上y轴上z轴上坐标的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)点的位置Oxy平面内Oyz平面内Ozx平面内坐标的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空间点的对称问题①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝(x，y，z)．知识点2空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量运算向量表示坐标表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)减法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)数乘λa(λa1，λa2，λa3)数量积a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意点：(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有(1)平行关系：当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直关系：a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).注意点：(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)．(2)a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，若a∥b，则eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)＝eq\f(z1,z2)成立的条件是x2y2z2≠0.3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，则|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).注：空间两点间的距离公式推导过程如图，建立空间直角坐标系Oxyz，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，eq\o(P1P2,\s\up6(—→))＝eq\o(OP2,\s\up6(→))－eq\o(OP1,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，于是|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝eq\r(\o(P1P2,\s\up6(—→))·\o(P1P2,\s\up6(—→)))＝所以P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up6(—→))|＝，因此，空间中已知两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝.1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．2.求某点M的坐标的方法作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．3.空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．已知空间点的坐标、A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)向量eq\o(AB,\s\up7(―→))的坐标等于终点坐标减起点坐标．即eq\o(AB,\s\up7(―→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a＝(x，y，z)．(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a∥b，则引入参数λ，有a＝λb，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．考点一：空间中点的坐标表示例1．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点，，点满足，则点的坐标是______．变式1．（2022·高二课时练习）若△顶点，且，，则点C坐标是___________.变式2．（2022·全国·高二专题练习）平行六面体中，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点，，，则点的坐标为______．变式4．（2023春·高二课时练习）若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.变式5．（2023·高三课时练习）若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．考点二：空间点的对称问题例2．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知点，分别与点关于轴和轴对称，则（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点关于平面的对称点为，而点关于轴的对称点为，则（

）A． B． C． D．8变式3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz中，P是坐标平面xOy内一动点，，，当最小时P的坐标为___________.考点三：空间向量的坐标表示例3．（2023春·高二课时练习）已知点，，则向量的坐标为________．变式1．（2023春·高二课时练习）已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．变式2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体的棱长为2，，且，则（

）A． B． C． D．变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点，，若，与同向，则向量的坐标为______.变式4．【多选】（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形的顶点分别是，，，，那么以下说话中正确的是（

）A． B．C．的中点坐标为 D．四边形是一个梯形考点四：空间向量的坐标运算例4．（2022秋·北京丰台·高二统考期末）已知，(2，1，1)，则________．变式1．（2023·全国·高二专题练习）向量，，，中，共面的三个向量是（

）A． B． C． D．变式2．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________．变式3．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（

）A． B． C． D．变式4．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O为坐标原点，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．若，则P，A，B，C四点共面变式5．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（

）A．B．C．D．变式6．（2022·高二课时练习）在中，若，，则是（

）A．顶角为锐角的等腰三角形 B．等腰直角三角形C．等边三角形 D．顶角为钝角的等腰三角形考点五：空间向量的平行问题例5．（2022·高二课时练习）若，且与共线，求x，y的值．变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量，，且，则实数k的值为（

）A． B．C． D．变式2．【多选】（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量共线的单位向量是（

）A． B． C． D．变式3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点，1，，，2，，下列选项中的与共线的是（

）A．，0， B．，1， C．，， D．，2，变式4．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点，，若，且与反向共线，则_____．变式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________.考点六：利用坐标运算解决数量积问题例6．（2022·全国·高二专题练习）若，，，则（

）A．-11 B．3 C．4 D．15变式1．（2022·高二单元测试）若向量，，则______．变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．变式3．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在中，．(1)求顶点的坐标；(2)求．考点七：空间向量的垂直问题例7．（2023秋·高二课时练习）已知，单位向量满足，则_________．变式1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量，若，则的值为（

）A． B． C． D．变式2．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量，，若与垂直，则＝_____.变式3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点，，，若直线上存在一点M，满足，则点M的坐标为______.变式4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点，，，设，.(1)求向量与向量的坐标；(2)若与互相垂直，求实数的值.变式5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点，，满足，则实数a的值为（

）．A． B．1 C． D．变式6．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体中，，，，，若则（

）A． B． C． D．考点八：利用坐标运算解决夹角问题例8．（2023·全国·高三对口高考）已知向量，若，则_________．变式1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知，，则与的夹角为（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（

）A． B． C．或 D．2例9．（2023春·高二课时练习）若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.变式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为___________.变式2．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______.变式3．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点，，.(1)求的面积；(2)当与的夹角为钝角时，求k的范围．变式4．（2023秋·高二单元测试）已知，则的面积为__________．变式5．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式6．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．考点九：利用坐标运算解决距离问题例10．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，点，则______变式1．（2022·全国·高二专题练习）若，，则（

）A． B． C．5 D．10变式2．（2022秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD的棱长为1，点M、N满足，，则______.变式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，，，则的最小值是________.变式4．（2022·高二单元测试）若A，B，当取最小值时，x的值等于（

）A． B． C． D．变式5．（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系中，已知，，点分别在轴，轴上，且，那么的最小值是______.变式6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是______.考点十：利用坐标运算求投影或投影向量例11．（2023春·高二课时练习）已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．变式1．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量，则向量在向量上的投影向量（

）A． B． C． D．变式2．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（

）．A． B． C． D．变式3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点，则在上的投影向量的长度为________.1．已知向量，则下列向量中与成的是A． B． C． D．2．已知向量，且，则____________．3．若向量＝(1，1，x)，＝(1，2，1)，＝(1，1，1)满足条件，则x＝________．4．记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．5．如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为．（1）当时，求的长；（2）当时，求的长．一、单选题1．（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）已知点，，则（

）．A． B． C． D．2．（2023·江苏·高二专题练习）三个顶点的坐标分别为，则的形状为（

）A．钝角三角形 B．锐角三角形C．正三角形 D．直角三角形3．（2023·全国·高二专题练习）如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（

）A． B． C．1 D．4．（2023·全国·高二专题练习）已知，，，若，则点B的坐标为（

）．A．（－1，3，－3） B．（9，1，1）C．（1，－3，3） D．（－9，－1，－1）5．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（

）A． B． C． D．6．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．77．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．8．（2023春·安徽合肥·高二合肥市第五中学校考期末）已知，，则等于（

）A． B．C． D．9．（2023·全国·高二专题练习）已知向量，，则（

）A． B．40 C．6 D．3610．（2023春·宁夏固原·高二校考阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．11．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．12．（2023春·宁夏中卫·高二中卫中学校考阶段练习）已知向量，，，若，则的值为（

）A． B．2 C． D．6二、多选题13．（2023春·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．记与的夹角为，则 D．若，则14．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）已知空间向量，则（

）A． B．是共面向量C． D．15．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）已知向量，则（

）A． B．C． D．16．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知，，则（

）A． B．C． D．∥17．（2023春·福建龙岩·高二