第16讲 圆的方程7种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第16讲圆的方程7种常见考法归类回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.知识点1圆的标准方程1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．注：（1）圆的方程的推导：设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得eq\r(x－a2＋y－b2)＝r，化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．知识点2点与圆的位置关系(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．知识点3圆的一般方程1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(D,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(E,2)))2＝eq\f(D2＋E2－4F,4)，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，半径长为eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：(1)x2，y2项的系数均为1；(2)没有xy项；(3)D2＋E2－4F＞0.3．常见圆的方程的设法标准方程的设法一般方程的设法圆心在原点x2＋y2＝r2x2＋y2－r2＝0过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2x2＋y2＋Dx＋Ey＝0圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2x2＋y2＋Dx＋F＝0圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2x2＋y2＋Ey＋F＝0与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)D2＝0与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2x2＋y2＋Dx＋Ey＋eq\f(1,4)E2＝04.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF>0.))5.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.知识点4圆的轨迹问题轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．1、求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．2、判断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内．3、圆的一般方程辨析判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．4、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形条件图形D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))D2＋E2－4F>0表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.6、求与圆有关的轨迹问题的方程(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．7、用代入法求轨迹方程的一般方法8、圆上的点到定点的最大、最小距离设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;①若点在外，则;②若点在上，则;③若点在内，则;9、与圆有关的最值问题常见的几种类型(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)截距的最值问题．(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．考点一：求圆的标准方程（一）由圆的标准方程求圆心、半径例1．（2023秋·高二课时练习）已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径长分别为（

）A． B．C． D．变式1．（2023秋·高二单元测试）圆的圆心和半径分别是（

）A． B．C． D．变式2．（2023·江苏·高二假期作业）已知圆C的标准方程为，则圆心C的坐标为________，圆的面积为________．求圆的标准方程例2．（2023春·河北邯郸·高二统考期末）已知圆的圆心为点，且经过原点，则圆的标准方程为__________.变式1．（广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）求圆心在y轴上，半径为1，且过点的圆的标准方程.变式2．（福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题）与x轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为_______________变式3．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．变式4．（2023·江苏·高二假期作业）求经过点和坐标原点，并且圆心在直线上的圆的方程．变式5．（广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题）直线与直线相交于点，直线过点且与直线平行.(1)求直线的方程；(2)求圆心在直线上且过点的圆的方程.考点二：圆的一般方程（一）圆的一般方程辨析例3．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程表示一个圆，则的取值范围是（

）A． B．C． D．变式1．（2023秋·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习）方程表示圆，则实数a的可能取值为（

）A． B．2 C．0 D．（二）由圆的一般方程求圆心、半径例4．（上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）圆的圆心坐标是________.变式1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试）已知圆C：，则圆C的圆心和半径为（

）A．圆心，半径 B．圆心，半径C．圆心，半径 D．圆心，半径变式2．（2023秋·高二课时练习）圆C：的圆心是_____，半径是_____．（三）求圆的一般方程例5．（2023秋·新疆克拉玛依·高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线上，且过点的圆；(2)过三点的圆.变式1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知圆经过抛物线与轴的交点，且过点，则圆的方程为______.变式2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为______．变式3．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（

）A． B．C． D．变式4．（2023秋·高二校考课时练习）已知圆经过点和，该圆与两坐标轴的四个截距之和为，求圆的方程.考点三：根据对称性求圆的方程例6．（2023秋·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆关于直线对称的圆的标准方程为______.变式1．（2023秋·高二单元测试）圆关于直线对称的圆是（

）A． B．C． D．变式2．（2023·全国·高三专题练习）与圆关于直线对称的圆的标准方程是______.变式3．（2023秋·高二课时练习）已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（

）A． B．C． D．变式4．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（

）A． B．C． D．变式5．（2023秋·高二课时练习）求圆关于直线的对称圆方程.考点四：点与圆的位置关系例7．【多选】（2023秋·高二课时练习）(多选)下列各点中，不在圆的外部的是（

）A． B．C． D．变式1．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为,半径为5的圆的标准方程,并判断点是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？变式2．（2023秋·高二校考课时练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（）.A． B． C． D．变式3．（2023秋·高二课时练习）点与圆的位置关系是（

）A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定考点五：圆过定点问题例8．（2023秋·山西晋中·高二山西省平遥中学校校考期中）若圆过坐标原点，则实数m的值为（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1变式1．（2023·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（

）A．和 B．和 C．和 D．和变式2．（2023·全国·高三专题练习）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为_______变式3．（2023春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为__．变式4．（2023秋·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线：．（1）当取何值时，方程表示圆？（2）求证：不论为何值，曲线必过两定点．（3）当曲线表示圆时，求圆面积最小时的值．考点六：与圆有关的轨迹问题例9．（上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）点与两个定点，的距离的比为，则点的轨迹方程为______．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆：，过点的直线与圆交于点，，线段的中点为，则点的轨迹方程为___________.变式2．（2023秋·安徽阜阳·高二校联考阶段练习）已知圆经过点，且被直线平分.(1)求圆的一般方程；(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.变式3．（2023秋·山东日照·高二校考阶段练习）已知圆C经过点且圆心C在直线上.(1)求圆C方程；(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.变式4．（2023秋·高二课时练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为___________.变式5．【多选】（2023秋·高一单元测试）已知点，动点满足，则下面结论正确的为（

）A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5C．面积的最大值为4 D．的最大值为18考点七：与圆有关的最值问题例10．（2023秋·四川巴中·高二统考期末）已知圆C过点，当圆C到原点O的距离最小时，圆C的标准方程为______．变式1．（2023秋·高二课时练习）已知圆经过点，且圆心在直线上运动，求当半径最小时的圆的标准方程为_______________变式2．（2023秋·高二课时练习）圆过点，求面积最小的圆的方程为_________变式3．（2023秋·高二课时练习）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为________，最大面积为________．变式4．（2023春·山东青岛·高二校联考期中）圆上的点到直线的最大距离是（

）A． B． C． D．1．（2020·山东·统考高考真题）已知圆心为的圆与轴相切，则该圆的标准方程是（

）A． B．C． D．2．（2022·全国·统考高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________．3．（2022·全国·统考高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________．4．（2022·北京·统考高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．一、单选题1．（2023·江苏·高二假期作业）将圆平分的直线是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·高二课时练习）若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（

）A． B．C． D．3．（2022秋·高二课时练习）过三点的圆的一般方程为（

）A． B．C． D．4．（2021秋·高二课时练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（

）A． B．C． D．5．（2023·重庆·高二统考学业考试）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．D．6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知圆C：，过点的两条直线，互相垂直，圆心C到直线，的距离分别为，，则的最大值为（

）A． B．1 C． D．47．（2021秋·广东深圳·高二深圳中学校考期中）过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点M，则的最大值是（

）A． B．3 C． D．8．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知A，B，P是直径为4的圆上的三个动点，且，则最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏·高二假期作业）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是()A． B．-C． D．210．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）过四点中的三点的圆的方程为（

）A． B．C． D．11．（2022·高二课时练习）设有一组圆：，下列命题正确的是（）A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上B．所有圆均不经过点C．经过点的圆有且只有一个D．所有圆的面积均为12．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线（

）A．若，则C是圆B．若，，则C是圆C．