第11讲 用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类原卷版-新高二数学暑假自学课讲义

第11讲用空间向量研究距离、夹角问题11种常见考法归类会用向量法求线线、线面、面面的夹角及与其有关的角的三角函数值；会用向量法求点点、点线、点面、线线、线面、面面之间的距离及与其有关的面积与体积.知识点1空间距离及向量求法分类点到直线的距离点到平面的距离图形语言文字语言设u为直线l的单位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），则PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)设已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：实质上，n是直线l的方向向量，点P到平面α的距离就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的长度．注意点：(1)两条平行直线之间的距离：在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平行直线之间的距离．(2)如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解．(3)如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解．知识点2空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)两异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)线面角的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．两平面的夹角平面α与平面β相交，形成四个二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．思考：（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．二面角的平面角范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2、求点到平面的距离的四步骤注：线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行．3、基向量法求异面直线的夹角的一般步骤(1)找基底．(2)用同一组基底表示两异面直线的方向向量．(3)利用向量夹角公式求出两条直线的方向向量夹角的余弦值．(4)结合异面直线的夹角范围得到异面直线的夹角．4、用空间向量法求异面直线夹角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量．(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值．(3)得出两条异面直线所成的角．5、求直线与平面所成角的思路与步骤思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．思路二：用向量法求直线与平面所成角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面所成角的基本步骤：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量eq\o(AB,\s\up7(→))；③求平面的法向量n；④计算：设线面角为θ，则sinθ＝eq\f(|n·eq\o(AB,\s\up7(→))|,|n|·|eq\o(AB,\s\up7(→))|).6、向量法求两平面的夹角(或其某个三角函数值)的三个步骤求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：①建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；②求出两个半平面的法向量n1，n2；③设两平面的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时.))[注意]若要求的是二面角，则根据图形判断该二面角是钝角还是锐角，从而用法向量求解．7、立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题，在命题中多以解答题的一步出现，试题有一定的难度．这类题型常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导致合理的结论，则存在性也随之解决；若导致矛盾，则否定了存在性．考点一：求点到直线的距离例1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）已知空间三点，则点到直线的距离为_____________．变式1．（2023秋·高二课时练习）矩形ABCD中，，平面ABCD，且，则P到BC的距离为__________．变式2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是a，且，，E为的中点，则点E到直线的距离为（

）

A． B． C． D．变式3．（2023·浙江温州·统考三模）四面体满足，点在棱上，且，点为的重心，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．变式4．（2023·吉林·统考模拟预测）如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥.(1)若平面平面，求证：；(2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围.变式5．（2023·江苏南京·统考二模）在梯形中，，，，，如图1．现将沿对角线折成直二面角，如图2，点在线段上．(1)求证：；(2)若点到直线的距离为，求的值．考点二：求点到平面的距离例2．（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体中为线段的中点.

(1)求证：平面平面；(2)求到平面的距离.变式1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是的中点，，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．变式2．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，，为的中点，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．变式3．（2023秋·重庆长寿·高二统考期末）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点．

(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．变式4．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图所示，四棱锥的底面是正方形，底面，为的中点，.

(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.变式5．（2023·江苏·高二专题练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．(1)求；(2)求点B到平面PAM的距离．变式6．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱中，是线段上靠近点的一个三等分点，是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，求点到平面的距离．考点三：求两平行平面的距离例3．（2023秋·高二课时练习）已知正方体的棱长为4，设M、N、E、F分别是，的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．变式1．（2023春·高二课时练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（

）A． B． C． D．变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离．变式3．（2023春·高二课时练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．

(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．变式4．【多选】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（

）A．点到直线的距离是B．点到平面的距离为C．平面与平面间的距离为D．点到直线的距离为考点四：求两条异面直线的距离例4．【多选】（2023·辽宁朝阳·校联考一模）如图，在棱长为1正方体中，为的中点，为与的交点，为与的交点，则下列说法正确的是（

）A．与垂直B．是异面直线与的公垂线段，C．异面直线与所成的角为D．异面直线与间的距离为变式1．（2023·高一课时练习）如图所示，在空间四边形中，，，，．(1)求证：；(2)求异面直线与的距离；(3)求二面角的大小．变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．变式3．（2023·全国·高三专题练习）如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．变式4．（2023秋·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．(1)求异面直线与所成的角的余弦值；(2)求异面直线与之间的距离．考点五：求异面直线所成的角例5．（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.

变式1．（2023春·陕西汉中·高二统考期末）如图，在正方体中，为体对角线上一点，且，则异面直线和所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．变式2．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．变式3．（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，.

(1)求证：平面；(2)若，求与所成角的余弦值.变式4．（2023春·江西赣州·高二江西省寻乌中学校考阶段练习）如图，设在直三棱柱中，，，E，F依次为的中点．

(1)求异面直线、EF所成角的余弦值；(2)求点到平面AEF的距离．变式5．（2023春·浙江宁波·高一效实中学校考期中）在正方体中，为棱的中点，为直线上的异于点的动点，则异面直线与所成的角的最小值为，则（

）A． B． C． D．变式6．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，.点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，则线段的长为____________考点六：已知线线角求其他量例6．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）如图，在三棱锥中，底面，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，.(1)求证：平面.(2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.变式1．（2023·广东·统考模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.

(1)证明：；(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.变式2．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，点是线段上的动点.(1)证明：平面平面；(2)若点在线段上，，且异面直线与成30°角，求平面和平面夹角的余弦值.变式3．（2023春·高二课时练习）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，是线段的中点，是线段上一点（不与两点重合），且．若直线与所成角的余弦值是，则（

）A． B． C． D．变式4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱中，底面，且底面为菱形，，，，为的中点，在上，在平面内运动（不与重合），且平面，异面直线与所成角的余弦值为，则的最大值为___________.考点七：求直线与平面所成的角例7．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知Q是棱上靠近点P的四等分点，则与平面所成角的正弦值为（

）．

A． B． C． D．变式1．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）在正四棱柱中，，，E在线段上，且.

(1)求证：平面DBE；(2)求直线与平面DBE所成角的正弦值.变式2．（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值.变式3．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，正三棱锥P－ABC的所有侧面都是直角三角形，过点P作PD⊥平面ABC，垂足为，过点作平面，垂足为，连接并延长交于点．

(1)证明：起的中点．(2)求直线与平面夹角的正弦值．变式4．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）在四棱锥中，底面为正方形，平面，．

(1)求证：平面平面；(2)若是中点，求直线与平面所成角的正弦值．变式5．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）如图①，在中，B为直角，AB＝BC＝6，EF∥BC，AE＝2，沿EF将折起，使，得到如图②的几何体，点D在线段AC上．

(1)求证：平面平面ABC；(2)若平面BDF，求直线AF与平面BDF所成角的正弦值．变式6．（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，且.

(1)证明：.(2)若，，，点M在直线上，求直线AB与平面所成角的正弦值的最大值.考点八：已知线面角求其他量例8．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.

(1)证明：点为的中点；(2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.变式1．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：

(1)与所成角的大小；(2)二面角的大小；(3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由.变式2．（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.

(1)证明：平面平面；(2)若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.变式3．（2023春·广西·高二校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，D为AB的中点，，．

(1)若，证明：平面；(2)若直线与平面所成角为，求的值；变式4．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，的中点为.

(1)证明：直线平面；(2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积.变式5．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第70中校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E为BC的中点，F为边PC上的一个点.

(1)求证:平面AEF⊥平面PAD；(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成角的正切值的最大值为，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.变式6．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.

(1)求平面与平面的夹角的正弦值；(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.考点九：求两平面的夹角（二面角）例9．（2023·吉林四平·四平市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱锥中，底面．，D为中点，且．(1)求的长；(2)求锐二面角的余弦值．变式1．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥中，，正四棱锥的体积为，点为的中点，点为的中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.变式2．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）如图，正三棱柱中，分别是棱上的点，.

(1)证明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值.变式3．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.变式4．（2023春·四川泸州·高二泸县五中校考期末）如图，在矩形中，点在边上，且满足，将沿向上翻折，使点到点的位置，构成四棱锥.(1)若点在线段上，且平面，试确定点的位置；(2)若，求锐二面角的大小.变式5．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为45°，底面为直角梯形，，，．

(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．考点十：已知面面角求其他量例10．（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，,，平面平面，为棱上一点（不与重合），平面交棱于点.

(1)求证：；(2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.变式1．（2023秋·河南新乡·高二统考期末）如图，在直四棱柱中，，为棱的中点，点在线段上，且．

(1)证明：．(2)若二面角的余弦值为，求的值．变式2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．变式3．（2023春·湖南郴州·高二校考期末）正三棱柱中，为的中点，点在上.

(1)证明：平面；(2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积.变式4．（2023·全国·高二假期作业）如图1，在平行四边形ABCD中，，将沿BD折起，使得点A到达点P，如图2．

(1)证明：平面平面PAD；(2)当二面角的平面角的正切值为时，求直线BD与平面PBC夹角的正弦值．考点十一：立体几何中的探索性问题例11．（2023秋·福建福州·高二校联考期末）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．(1)证明：；(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．变式1．（2023·辽宁葫芦岛·统考二模）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.

(1)求证：平面(2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由.变式2．（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，圆台的下底面圆的直径为，圆台的上底面圆的直径为，是弧上一点，且.

(1)求证：；(2)若点是线段上一动点，求直线与平面所成角的取值范围.变式3．（2023春·江苏常州·高二统考期中）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABP所在的平面互相垂直，且，，，，．

(1)求证：；(2)求直线PC与平面ABP所成角的余弦值；(3)线段PA上是否存在点E，使得平面EBD？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．变式4．（2023春·贵州·高二校联考阶段练习）如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为60°，如图2所示，设N为BC的中点.

(1)证明：；(2)若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.变式5．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．

(1)求证：BD⊥AE；(2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明．变式6．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．

(1)求证：平面平面；(2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．变式7．（2023秋·福建三明·高三统考期末）如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形为菱形，，，.

(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.1．（2023·北京·统考高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．

(1)求证：平面PAB；(2)求二面角的大小．2．（2023·全国·统考高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．3．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱中，，D为的中点，E为的中点，F为的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求平面与平面夹角的余弦值．4．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．(1)证明：；(2)求直线与平面所成角的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．6．（2022·全国·统考高考真题）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．7．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．一、单选题1．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图所示，已知正方体，，分别是正方形和的中心，则和所成的角是（

）A． B． C． D．2．（2022秋·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若、则线段长度的取值范围为（

）A．[) B．[] C．[) D．[]3．（2022秋·重庆渝北·高二重庆市两江育才中学校校考阶段练习）在正方体中，棱长为2，是底面正方形的中心，点在上，是上靠近的三等分点，当直线与垂直的时候，的长为（

）A．1 B． C． D．4．（2022秋·安徽六安·高二校考阶段练习）在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．5．（2022秋·山东济南·高二校考期中）已知向量分别是直线l与平面α的方向向量、法向量，若，则l与α所成的角为（

）A． B． C． D．6．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．7．（2022·全国·高三专题练习）已知四面体中，，，两两垂直，，与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．8．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）已知平面的一个法向量为，向量，，则平面与平面ABC夹角的正切值为（

）A． B．2 C． D．9．（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知向量，分别为平面和平面的法向量，则平面与平面的夹角为（

）A． B． C． D．二、多选题10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则下列说法中正确的是（

）A．点到直线的距离是 B．直线到直线的距离是C．点到平面的距离是 D．直线到平面的距离是11．（2022秋·福建厦门·高二统考期末）如图，四边形为正方形，，平面，，点在棱上，且，则（

）A．当时，平面B．当时，平面C．当时，点到平面的距离为D．当时，平面与平面的夹角为12．（2022秋·河北保定·高二定兴中学校联考阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，且，E，F分别为PD，PB的中点，则（

）A．平面PACB．平面EFCC．点F到直线CD的距离为D．点A到平面EFC的距离为13．（2022·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（

）A．当时，点，，，四点共面B．异面直线与的距离为C．三棱锥的体积为定值D．不存在点，使得三、填空题14．（2022秋·福建泉州·高