高中数学必修二第八章《立体几何初步》单元训练题(高难度) (45)(含答案解析)

必修二第八章《立体几何初步》单元训练题（高难度）（45）

一、单项选择题（本大题共8小题，共40.0分）

1.己知球。是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2遥的正四棱锥S-ABCD与一个

高为6的正四棱柱4BCD-&B1C1D1拼接而成，则球O的表面积为（）

A1007CC5007T

A--B.647rC.IOOTT

,3

2.如图，在矩形ABC。中，AB=2,BC=1,E、N分别为边AB、

BC的中点，沿将44DE折起，点A折至久处与A不重合）,

若M、K分别为线段40、&C的中点，则在zMDE折起过程中（）

A.QE可以与41c垂直

B.不能同时做到MN〃平面&BE且BK〃平面&OE

C.当MN141。时，MN1平面AiDE

D.直线4E、BK与平面8CQE所成角分别为%、92,%、%能够同时取得最大值

3.如图，正方体48。。一48停1。1中，E是棱441的中点，若三棱锥E-BBiD外接球的半径R等

于也，则正方体力BCD-481GD1的棱长为（）.

4

A.1B.2C.2V2D.5V2

4.在棱长为1的正方体4BCD-力道心丛中,E、尸分别为AB和DA

的中点，经过点当，E,尸的平面a交4。于G,则4G=（）

A-I

D|

5.如图，正方体ABCD-ABiGDi中，E是棱441的中点，若三棱锥E-BaD外接球的半径R等

于延，则正方体4BCD-4B1GD1的棱长为

4

A.1B.2C.2V2D.5V2

6.在直三棱柱4BC-&B1C1中，平面ABC是下底面，M是BBi上的点，AB=3,BC=4,AC=5,

CC.=7,过三点A、M、6作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的

体积比为

A2八10

A・ioB.7C五

7.若/，，小〃是不相同的空间直线，Q,/?是不重合的两个平面，则下列命题正确的是

A./la,m上B，11m=>a1

B.IIIm,mQa=>l//a

C.IQa,mQa,////?,in〃/?=>a〃夕

D./In,m1n=>l//m

8.已知三棱柱4BC-Ci内接于一个半径为次的球，四边形&ACCi与B/CCi均为正方形，M,

N分别是44，&G的中点，GM=：481，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为

A-

・10B・噂D•骞

二、多项选择题（本大题共1小题，共4.0分）

9.如图，正方体ZBC。一4B1GD1的棱长为1,尸是棱SB】的中点，则

下列结论正确的是（）

A.异面直线&Ci与尸C所成角的正弦值为卓；

B.直线&P与平面A&GC所成角的余弦值为平;

AB

C.设平面PAC与平面P4C1的交线为直线/,则二面角4一1一4的

大小的余弦值为-a

D.四棱锥P-44C1C的体积为1.

三、填空题（本大题共10小题，共50.0分）

10.体积为竽的三棱锥4-BC。中，BC=AC=BD=AD=3,CD=2yf5,AB<272.则该三棱锥

外接球的表面积为.

11.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角

形，E为P4中点，BE=%B，则球。的表面积为.

2

12.己知三棱锥P-4BC的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,AABC是边长为2的正三角

形，E为PA中点，BE二PB，则球。的体积为.

2

13.如图，在一个底面边长为2,侧棱长为V1U的正四棱锥P-ABCD中,

大球。1内切于该四棱锥，小球。2与大球。1及四棱锥的四个侧面相

切，则小球。2的体积为.

14.已知a,£是两个平面，"是两条线，有下列四个命题:

①如果m1a,n//p,那么a_L6；②如果m1a,n//a,那么m1n；③如果a〃。,

maa,那么小〃色④平面a内不共线的三点到平面/?的距离相等，则平面a〃夕.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

15.一个半径为6的球内切于一个正方体，则这个正方体的对角线长为

16.正四棱锥P-4BCD底面的四个顶点A、B、C、。在球。的同一个大圆上，点P在球面上，如

果力-ABCD=则球。的体积是.

17.在仇章算术第五卷摘功中，将底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面中心的四棱

锥称为方锥，也就是正四棱锥.已知球。内接方锥P-ABCD的底面ABC。过球心O,若方锥P-

ABCD的体积为|,则球O的表面积为。

18.在长方体48。£>一48停1。1中，AB=BC=1,AQ与面B/GC所成的角为30。，贝的长度

为.

19.三棱锥三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长分别为1cm,1cm及2cm,则它的外接球的体积为

_cm3.

四、解答题(本大题共10小题，共120.0分)

20.如图，正方形ABC。和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AC,EF//AC,AB=V2.CE=

(1)求证：AF〃平面BQE；

(2)求二面角4-BE-。的平面角的大小.

21.如图，在四棱锥P-4BC0中，AB=2CD=273,PD=2,PC=夕,

CD//AB,PDIBC,E,尸分别为棱48,PB的中点.

(1)证明：PD1平面ABC。.

(2)证明：平面PAD〃平面CEF.

48

22.已知正△ABC边长为3,点分别是AB"C边上的点,4N=BM=1,如图1所示.将△4MN

沿MN折起到APMN的位置，使线段PC长为遥，连接P2,如图2所示.

(I)求证：平面PMN1平面BCNM；

(n)求点N到平面BMP的距离.

23.如图，在四棱锥P-4BCD中，底面A8C。为矩形，平面PBC平面ABC。，PB1PD.

(1)证明：平面P4BL平面PCD；

(2)若PB=PC,E为棱C。的中点，/.PEA=90°,BC=2,求四面体4一PEC的体积.

24.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在仇章算术》

中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qianda)；阳马指底面为矩形，

一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈(bienao)指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵

ABC-AiBiG中，AB1AC.

(/)求证：四棱锥为阳马;

(11)若的。=8。=2,当鳖膈G-ABC体积最大时，求锐二面角。一4$一(71的余弦值.

25.如图所示，四棱锥P-4BCD中，底面ABCO为平行四边形，。为对角线的交点，E为上的

一点，PDJ•平面ABE,P41平面ABC。，且PA=2,AB=1,AC=V5.

(1)求证：AB1AD,

(2)求三棱锥P-ABE的体积.

26.已知在三棱锥P-ABC中，P41平面ABC,PA=4B=2BC=2,AC=曲,E是棱PB的中点,

AF1PC.

(1)求证：BPJL平面AEF-,

(2)求三棱锥P-AEF的体积.

27.在四棱锥P-ABCD中,PC，平面ABCQ,且底面A8C£＞为平行四边形，其中SB=2，AD=2五,

/.BAD=45°,PD=V2.

(1)记。在平面PBC内的射影为M(即DM_L平面PBC),试用作图的方法找到M点位置，并写出

PM的长(要求写出作图过程，并保留作图痕迹，不需证明过程和计算过程)；

(2)求二面角M-84-P的余弦值.

28.如图，在四棱锥P—4BC0中，底面ABCQ是平行四边形，平面BPC_L平面OPC,BP=BC,E,

尸分别是尸C,A。的中点.

求证:(1)BE1CD；

(2)EF〃平面PAB.

29.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABC。为平行四边形，.432.ADl.ADAB(id.PDBD,

且PD，平面ABCD.

(1)证明：平面PBC平面PB。；

(2)若。为PC的中点，求三棱锥D-PBQ的体积.

【答案与解析】

1.答案：c

解析：

设球的半径为R,AB=2x,S到平面ABCD的距离为,20-3,列出半径的表达式，由勾股定理

可得R2=32+2%2,由此求出R,即可求出球的表面积.

本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键.

解：设球的半径为R,AB=2x,=V2x,

则球心到平面为&6。1的距离为3,

几何体是由一个侧棱长为2b的正四棱锥S-4BCO与一个高为6的正四棱柱48C。-4/的。1拼接

而成，

S到平面ABCD的距离为J(2>/5)2-(V2x)2=V20-2x2>

贝！I：V20-2x2+3=/?>

又勾股定理可得R2=32+2x2,

[R=5,x=25/2

二球的表面积为4兀7?2=100TT.

故选：C.

2.答案：D

解析：

本题考查线线垂直，线面垂直，线面所成的角，线线平行，线面平行等，本题设计知识点交点，综

合性强，难度较大.

根据题意，利用逐个检验法，画出图形判断即可.

解:

4Ai

对于A,连接EC,假设DE_L4iC,又•••OE_LEC,

DE_L平面&ECnOE1ArE,而&ED=45°,M错误；

对于B,取。E,DC中点G,F,连接GM,GN,FK,FB.GM//&E,GN//EB,FK“A\D,BF//DE..-.

平面4BE〃平面GMN,平面「长力/平面4即，故能同时做到MN〃平面4/E且BK〃平面ADE.,B

错误；

对于C,连接ME,EN,当MVJ.40时，MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4,

而ME?=EN2=£1MN与ME不垂直，即MN不垂直平面&OE,；.C错误；

对于£>,：为在以CE为直径球面上，球心为G,

••.4的轨迹为ZL41AF外接圆（人与尸不重合，尸为CD的中点），

连接EC,取EC中点7,连接TK、TB,贝ijTK〃/1把，BT//DE,

且NKTB+乙4同=180°,

•••乙

KTB=180°-AArED=180°-45°=135°,

在4K7B中，KT=：AiE=：,BT=-CE=-,

2222

由余弦定理得BK2=BT2+KT2-2BT-KTcosl35°=BK=—.

42

当直线BK与平面8cZ)E所成角取得最大值时，点K到平面BCDE的距离最大，

由于点K为&C的中点，此时，点儿到平面BCOE的距离最大，

由于4E=1,当&E与平面BCDE所成角最大时，点4到平面BCDE的距离最大.

所以，直线&E、BK与平面8CCE所成角能同时取到最大值.

故选D.

3.答案：B

解析：

本题考查空间几何体的结构特征及线面垂直的判定，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

根据几何体的结构特征，确定三棱锥E-BBi。外接球的球心位置，然后运用勾股定理即可解题.

解：设当。中点为尸，易证BDlBBi，5尸1平面331。.

所以三棱锥E-BBi。外接球的球心在EF上,

设正方体棱长为a,球心为。.则OF?+FB；=。闿，

・••(R-亨产+弓以=R2.

解得Q=2.

故选B.

解析：

本题考查了面面平行的性质，属于一般题.

过尸作&E的平行线交GDi于，，连接过E作EG〃B/交力。于G,由比例关系可得AG的长.

解：平面BiEF与平面CGDiD的交线与平行，

即过F作&E的平行线交口劣于H,连接当“，

过E作EG〃B[H交AD于G,

由比例关系，”为GO】的四等分点，

从而6为A。的三等分点，故而4G=|.

故选。.

解析：

本题考查空间几何体的结构特征及线面垂直的判定，考查空间想象能力及计算能力，属于中档题.

根据几何体的结构特征，确定三棱锥E-BBiO外接球的球心位置，然后运用勾股定理即可解题.

解：设当。中点为凡易证BDlBBi，5尸1平面331。.

所以三棱锥E-BBi。外接球的球心在EF上,

设正方体棱长为。，球心为0,

则。片+/母=OB3

・・.&_苧)2+净)2=/?2.

解得a=2.

故选艮

6.答案：D

解析：

本题主要考查三棱锥和三棱柱的体积.根据题意先求四棱谁4-BCGM的体积，再求三棱柱4BC-

4181cl的体积，然后求解即可.

解：将平面4BB14与平面BCC$i放在一个平面内.连接AC],与BBi的交点即为M,比时BM=3.

设四棱谁4-BCG”的体积为匕，匕=：xgx(3+7)x4x3=20,

三棱柱4BC-4B1G的体积为U=|x4x3x7=42.

.一一匕_11

・•匕-10,

故选O.

7.答案：A

解析：

本题主要考查了空间几何中线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理，属于基础题.

从空间中的线、面间的位置关系及平行垂直的判定定理和性质定理入手，判断四个命题的真假即可.

解：对于A,Ila,ILm,则m〃a或mua,又mJ,0,则a10,故正确；

对于B,l//m,mUa=〃/a或2ua,故错；

对于C,，Ua,mca,l//p,rn〃夕=a与夕平行或相交，故错；

对于。，11n,mJ.n,贝!|/与a相交，平行或异面，故错.

故选A.

8.答案：B

解析：

本题考查了直三棱柱的性质、异面直线所成的角、正方体与直角三角形的性质、向量夹角公式，考

查了推理能力与计算能力，属于中档题.

四边形&ACC1与&BCC1均为正方形，二CG，底面ABC.即三棱柱48。一48©为直三棱柱.M,N

分别是必当，公□的中点，GM=；4避1，可得乙416当=90。.设AC=x,根据三棱柱ABC-力

内接于一个半径为次的球，利用勾股定理可得x,建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可得

出.

解：四边形公力CC1与B18CC］均为正方形，CC1_L底面ABC.即三棱柱48c-

力道传1为直三棱柱.

M,N分别是为/，&G的中点，=171181,

・•・ZJ41GBi=90°.

设AC=x,

•・•三棱柱48c-4/iQ内接于一个半径为次的球，

・•・(次尸=(¥％)2+(1%)2,解得％=2.

・・・4(0,—2,0),B(-2,0,0),N(0,-l,2),

・••前=(0,1,2),BM=(l,-l,2),

・••cos(前，丽＞=嬴审

故选:B.

9.答案:AB

解析：

本题考查立体几何中的直线与直线、直线与平面的位置关系以及空间几何体的体积的计算，属于难

题.

分析出&CP是异面直线为G与PC所成角，然后计算即可判断A；取01。的中点M,连接交

平面441GC于。，则NQaP是直线&P与平面4&GC所成角，然后计算即可判断B；分别取为G，

AC的中点S,0,连接SP,0P,则NSP。是二面角4一，一&的平面角，由余弦定理即可计算判断C；

由V四棱锥P-AA、C\C=2'正方体—2xV三棱脚-ABC，计算即可.

解：•：ArCr//AC,

・•.〃CP是异面直线与PC所成角，

连接8。交AC于0,连接0P,

•••AC1BD,AC1BrBnBD,B$,BDu平面

•••AC_L平面B0£>i，

又OPu平面BCD1，

AC1OP,

•••AC=V2.AP=PC=—>

2

CO=—,OP=I---=—,

2y]442

近,—

・・•,“n=今T=—V15,

•smZ-ACP”5

2

故A正确；

取。1。的中点M,连接PM,交平面A&CiC于Q,

则。是矩形441cle的交点，

显然QP平面441GC,连接Q4,

则4Q&P是直线&P与平面4&GC所成角，

41P=AtQ=Y'

叵L

"cos"?!/=*=,=.,

~2

故B正确；

分别取为G，AC的中点S,O,连接SP,OP,

则NSPO是二面角a4的平面角，

连接SO,pliJSO=1,SP=OP=—,

2

-+--11

由余弦定理可得COS乙SP。=亡安逅=

X-TXT

故。错误；

由对称性可知:V四棱脚_AA[C]C=1匕防体一2XI/棱椎p.ABC

1111

=--2x-x-xlxlx-

2322

_1

-3,

故。错误.

故选AB.

10.答案：y7T

解析：

本题考查三棱锥的体积，考查球的表面积，考查锥体的外接球问题，属于难题.

求出A3的长，确定出三棱锥，建立空间直角坐标系，求出半径即可.

解：考虑极限情况，在长方体中，如图所示（48分别为长方体棱上的中点），

BC=AC=BD=AD=3,CD=2遍，则4CBD6CAD,

设。为CD中点，易得C。=0D=遍,OB=0A=卜_（9）2=2，

则在Rt△0AB中，AB=V22+22=2&，

而根据题干信息4B<2鱼，则点8在上图中的Q（不包含端点）上运动，

当运动到三棱锥A-BCD的体积为拶时，此时的三棱锥如图所示（0’8为三棱锥的高）:

由几何关系可得△4CD的面积为SMCD=：|CD|,I。川=2遥，

故匕-seo=1x2V5x\B0'\=弯,解得|8。1=V3）

则在RtAOBO'中，B0=2,\B0'\=V3.贝1」。。'=1,

而。4=2,财40'=1,则8为MN中点（M,N分别为对应长方体棱上的中点），

而在△ACC中，AD=AC,O为CC中点，sinz.DAO=—>COS/.DAO=

33

由二倍角公式可得sin/D4c=延，

9

设小ACD的外接圆半径为r,则利用正弦定理可得2r=

sin^,DAO

解得r=p

而。为CQ中点，所以△4CD的外接圆圆心一定在。4所在的直线上，

而r=[>。力=2,故外接圆圆心在0A的延长线上，

4

设该三棱锥的外接球的球心为P,。1为△4CD的外接圆圆心，则。遇=£

则POi1底面。1CAD,

而。Mu底面。[CAD,故P011。源，

而CD1

设三棱锥外接球的半径为R,

故建立如图所示的空间直角坐标系（01为原点，014为y轴，POi为z轴，8的平行线为x轴）:

设P（0,0,z）则做0,：,0）,B（oj,遮），

则|PB|=\PA\=R,

则II+（Z—遮）2=,+Z?=&,

解得z=-"（说明尸在上图所示的Z轴的负半轴上）,

则/?2=工，

故外接球的表面积S=4兀/?2=?兀.

故答案为：y7T.

11.答案：67r

解析：

本题考查三棱锥的外接球的表面积，涉及余弦定理和解三角形，属于中档题.

由题意结合已知数据由余弦定理可得三棱锥的高，然后由正三棱锥的性质可得棱锥的高，球心在高

线上，由勾股定理得出球的半径可得表面积.

解：由题意可得在侧面△P4B中，AB=2,

设P4=PB=x,则BE=—%.设44EB=a,则NPEB=n-a,

2

在448岳和4PBE中，分别由余弦定理可得4=-+--2----X-cosa，

4422

2X2,5x2Xy[s/、425x2.XV5

=——I-----2n------x-cos（7r—a）=——I-----F2o-----x•cosa，

4422'74422

两式相加可得4+x2=3x2,解得％=V2,

取底面△ABC的中心O,在直角APA。中，PA=x=y/2,AO=2x-x-=—,

233

由勾股定理可得PO=J（a2_（竽）2=与

由题意和正三棱锥的性质可得球心。'在P0上，

在直角△A。。'中，AO'=R,00'=--R，A0=—，

33

由勾股定理可得R2=（？—R）2+（W）2,解得R=日,

所以外接球的表面积S=4TTR2=67r.

故答案为67r.

12.答案：x/iin,

解析：

本题主要考查的是几何体的外接球问题，属于基础题.

可先由条件结合勾股定理得到三棱锥三侧棱两两垂直，再用补形法求解即可.

解：设P4—PB=PC=2x,则PE=x,BE=1PB=y/5x,

所以BE2=PE?+PB2,则APIBP,

又P4=PB=PC,ZkABC是边长为2的正三角形,

所以PA,PB,PC两两垂直,

则三棱锥P-ABC的外接球即为以PA,PB,PC为棱的正方体的外接球,

又P4=V2，正方体体对角线长为伤,

所以球半径为争所以球。的体积为三x

**

故答案为、&7T.

13.答案：然

解析：解：设。为正方形ABCD的中心，A8的中点为例，连接PM,OM,PO,则。M1,

PM=y/PA2-AM2=V10-1=3，P0=V9-1=2迎，

如图，

在截面PM。中，设N为球。i与平面PAB的切点，

则N在上，且OiNIPM,设球01的半径为R,则0]N=R,

因为sin/MPO=等=±所以设=：，则POi=3R,

P0=P0]+。。1=4R=2V2,所以R=日，

设球。1与球。2相切与点。，则PQ=P。-2R=2R,设球。2的半径为r,

同理可得尸Q=4r,所以「="号,

故小球。2的体积V=-nr3=—71>

324

故答案为：—TC-

24

设。为正方形A8CQ的中心，AB的中点为"，连接PM,OM,P0,则0M=1,PM=y/PA2-AM2=

710^1=3,PO=V9^1=2V2,如图，分别可求得大球01与小球。2半径分别为它和四，进而可

24

得小球的体积.

本题考查球的体积公式，考查两圆相切性质，正四棱锥性质的应用，属于中档偏难题.

14.答案：②③

解析：

本题命题真假的判断，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用，

属于基础题.

利用直线与平面垂直的判定定理以及性质定理，结合空间直线与平面的位置关系分析命题的真假即

可.

解：由a,£是两个不同的平面，瓶，”是两条不同的直线，知：

在①中，如果m1a,n//p,贝!ja〃夕，或al夕，或。和£相交，故①不正确；

在②中，m1a,n//a,那么m1n,满足直线与平面垂直的性质定理，故②正确；

在③中，a〃0,mea,那么小〃伙满足直线与平面平行的判断方法，所以③正确；

在④中，平面a内有不共线的三点到平面£的距离相等，如果两个平面相交，也可以满足条件，推出

a//p,不正确，所以④错误；

故答案为②③.

15.答案：12遍

解析：解：一个半径为6的球内切于•个正方体,

可得正方体的棱长为：12,

这个正方体的对角线长为：V122+122+122=12V3.

给答案为：12

求出正方体的棱长，然后求解正方体的对角线长即可.

本题考查几何体的内切球，几何体的空间距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力.

16.答案：冢

解析：

本题考查球的内接体问题，球的体积，考查学生空间想象能力，是基础题.

由题意可知，POABCD,并且P。是球的半径，由棱锥的体积求出半径，然后求出球的体积.

解：如图，正四棱锥P-4BCD底面的四个顶点A,B,C,。在球0的同一个大圆上，点P在球面

上，设球的半径为R,

P

2

PO_L底面ABCD,PO=R,SABCD=^x2Rx2R=2R,

又Up-48CD=

：.--2R2-R=—,

33

解得：R=2,

球O的体积：V=^nR3=yn-,

故答案为：y7T.

17.答案:47r

解析:

本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.

由题意，正方形ABC。是半径为R的圆的内接正方形，方锥P-4BCD的高是R,代入体积公式即可.

解：设球的半径为上

已知球O内接方锥P-ABCC的底面ABCD过球心0,

则正方形ABC。是半径为R的圆的内接正方形，边长为我R,

由条件可知方锥P-4BC0的高是R,

则[x(V2/?)2xR=|，解得R=1,

所以球。的表面积为4兀/?2=47r.

故答案为47r.

18.答案:V2

解析:

本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证

能力、运算求解能力，是中档题.

由4B_L平面BCQBi，得到是AC1与面BBiGC所成的角，从而乙4(7$=30°,进而4cl=2AB=

2,由此能求出力&的长.

解：在长方体ZBCD-4遇停1。1中，AB=BC=1,AQ与面

BBiGC所成的角为30°，

AB1平面BCGB],•••乙4GB是4cl与面BBiQC所成的角，

•••乙4c18=30。，

:.4cl=24B=2,

2

・••AA1—AC^—AC=V4—2=V2.

故答案为鱼.

19.答案：y/6n

解析：略

20.答案：解：证明：(1)设AC与B。交于点G,

因为E/7/4G,且E尸=1,AG=^AC=1,

所以四边形AGEF为平行四边形.所以4F〃EG.

y

因为EGu平面BDE,AF,平面BDE,

所以AF〃平面

(2)因为正方形A8C£＞和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE1AC,

所以CE，平面A8CD.

如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.

则C(0,0,0),A(夜，夜,0),D(V2,0,0),E(0,0,1),F(„l).

所以#=(当年,1),BE=(0,-V2,l)-DE=(-A/2,0,1).

所以次•而=0—1+1=0，CFDF=-1+0+1=0.

所以CF1BE,CF1DE,所以CF_L平面8DE

方=(今4,1),是平面BDE的一个法向量，

设平面48E的法向量元=(%)，，z),则元•丽=0，n-BE=0.

即1(x,y,z)•(短0,0)=0

l(x,y,z)•(0,-V2,1)=0

所以x=0,且z=，?y.令y=l，贝!lz=&,所以n=(0,1,a)，从而cos(H,CF)=二:鼠=4

\n\尸I2

因为二面角为锐角，所以二面角为

4-BE-D4-BE-DIO

解析：本题综合考查直线和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导以及二面角的求法.在证明线

面平行时.，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线.当然也可以用面面平行来推导线面平行.

(1)设AC与BO交于点G,则在平面BDE中，可以先证明四边形AGEF为平行四边形=EG〃AF,

就可证：4/7/平面8DE；

(2)先以C为原点，建立空间直角坐标系C-xyz.把对应各点坐标求出来，先找到请=(弓,弓,1),

是平面BDE的一个法向量，再利用平面ABE的法向量五•R4=0和五•RE=0，求出平面ABE的法

向量元，就可以求出二面角A-BE-。的大小.

21.答案：证明：(1)因为C。=百，PO=2,PC=V7,所以CZ52+PD2=

P*/f\\

所以PDLDC./

因为P。IBC,DCCBC=C,所以PD_L平面A8C£).

(2)因为E为棱AB的中点，所以=r-L----

因为4B=2CD,所以4E=CD,

因为CD〃4B,所以4E〃CD,

所以四边形ABC。为平行四边形，所以CE//4D,所以CE〃平面PAD.

因为E,尸分别为棱A8,P8的中点，所以E/7/P4所以EF〃平面PAD

因为CEnEF=E,CEu平面CEF,EFu平面CEF,

所以平面P4D〃平面CEF.

解析：（1）由CD?+P。2=可得p。1DC.即可证明PDJ_平面A8CD

（2）只需证明CE〃平面PAD.EF〃平面240,即可证明平面P力。〃平面CEF.

本题考查了空间线面垂直，面面平行的判定，属于基础题.

22.答案：解：（I）依题意得，在UMN中，AM=2,AN=1,乙”或由余弦定理得=2?+

12-2X2X1XCOS^=3,即MN=V3.

•••MN2+AN2=AM2,:.ANLMN,即PN1MN

在图2△PNC中，PN=1,NC=2,PC=V5.

PC2=PN2+NC2,：.PN1NC

又•••MNCNC=N,MN,NC些平面BCNM,PN_L平面BCNM

又...pN是平面PMN,.,・平面PMN1平面BCNM

（n）连接BN,由（I）可知PN1BN,

在ABNC中，BN2=BC2+NC2-2BC-NC-cos^=7,BC=V7：

在APBN中，PB2=PN2+NB2=8,PB=2V2

左AF>DMrhnji/cMB2+MP2—PB23.x/7

在^P8M中，cosZ-PMB=-----------------=——，:.sin乙PMB=—

2MBMP44

1V7

AS团PBM=qMB-MP-sin乙PMB=—

又••・S回BMN=Ns回BAN=-X-XABXANXsin-=设点N到平面BMP的距离为d,

33234

由%-BMP=Vp-BMN，可知］XS团BMPxd=§XS^BMNXPN

则d=包警丝=理，...点N到平面BMP的距离为叵.

S^BMP77

解析：本题考查面面垂直的判定和点到平面的距离，属于中档题；

(I)依题意得先证PN1.MN,PN1NC

又MNCNC=N,MN,NC呈平面BCNM,可得PN_L平面8CNM

又PN茎平面PMN,即可得证；

(U)连接BN,由(I)可知PN1BN,^VN_BMP=VP_BMN,利用等体积法即可求解;

23.答案：(1)证明：•••四边形ABC。是矩形，_L8C.

•••平面PBC1平面ABCD,平面PBCn平面4BCD=BC,CDu平面ABCD,

CDPBC,PBu平面PBC,贝UCDJ.PB,

•••PB1PD,CDCPD=D,CD、PDu平面PCD,

PBL平面PCD.

PBu平面PAB,

平面P48_L平面PCD；

(2)解：取BC的中点O,连接OP、OE.

■:PBJL平面PCD,PCu平面PCD,

•••PB1PC,

•：PB=PC,

：.PO1BC,OP=-BC=1,

2

•••平面PBC1平面ABC。，^PBCCt^ABCD=BC,POu平面PBC,

POJ_平面ABCD,

•••AEc^F®ABCD,POLAE.

•：Z.PEA=90°,PE1AE.

•:POCPE=P,POU平面POE,PEU平面POE,

■.AE_L平面POE,

又：OEu平面POE,AE1OE,

•••NC=ND=90°,•••/.OEC=/.EAD,

Rt△OCEsRt4EDA,则普=案，

•••OC=1,AD=2,CE=ED,CE=ED=&，

__1

^A-PED=^P-AED=SAAED,OP

11

=-x—AD-ED•OP

32

=iX-X2XyFZX1=—.

323

解析：本题考查平面与平面垂直的判定，利用等积法求多面体的体积，属于中档题.

（1）由四边形A8C。是矩形，可得CD1BC,再由已知结合面面垂直的性质可得CD，平面PBC,进一

步得到CD1PB.再由PB1PD,利用线面垂直的判定可得PB1面PCD,进一步得到平面P4B1平面

PCD；

⑵取BC的中点O,连接0尸、。立由。8平面PCD,可得PB1PC,求得0尸,可证明AE_L平面POE,

然后由RtaOCEsRtAEZM求解三角形可得E。，再求出三角形AEO的面积，利用等积法即可求得

四面体4—PED的体积.

24.答案：（I）证明：•••&A，底面ABC,ABu面ABC

ArA1AB-

51.ABA.AC,A^OAC=A

：.AB_L面力CG4,

又四边形ACGAi为矩形，

四棱锥8遇CC］为阳马.

（口）解：:AB14C,BC=2,AB2+AC2=4

又,:ArAJL底面ABC,

11

YC^-ABC=g''2AB-AC

11AB2+AC22

二一•AR•ACV---------------------=一

3~323

当且仅当AB=AC=四时，Pq-ABc=\'ab-AC取最大值・

vAB1AC,ArAIjRj®ABC

・•・以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系・

8(迎,0,0),C(0,M0)，4(0,0,2)

硕=(企,0,—2)，BC=(-V2,A/2,0)>A^Ci=(0,\[2,0)

设面A/C的一个法向量用（=y1（zx）

时三营二得苏=（鱼或，1〉

I%•BC=0

设平面G&B的法向量通=（a力，c）,

则(沆•CH,=V26=0,

取a=V2»得相=(V2,0,1)，

(m•C$=y[2a-2c=0

n7,五V15

・•・cos<n^,n^>=

I五I•同广飞-

二面角C—4B-Cl的余弦值为平.

解析：本题考查了线面垂直的判定、棱锥的体积、基本不等式和利用空间向量求面面的夹角，是中

档题.

（I）由久力底面ABC,则Ap4L，13,又ABIAC,所以.43，面4。的公,由阳马定义可得证；

（口）鳖膈。1一48。体积/=^-AB-ACWg."2；4cz=泉此时AB=AC=6'，建立空间直角坐标系，

得出面4BC的一个法向量/=（%,yi，zi）和平面G&B的法向量式=（a"c），由空间向量计算即

可.

25.答案：（1）证明：vPD_1平面ABE,ABu平面ABE,PD1AB.

PA，平面ABCD,ABu平面ABCD,PALAB.

XvPDCiPA=P,ABPAD,ADPAD,.-.ABIAD.

（2）解：由（1）可知：底面ABC。为矩形，ABLAD,AB=1,4C=花，••・AD=2.

••.△PAD为等腰直角三角形，PDLAE,

E为的中点，

•••ADLPA,AD1AB,ADOAB=A,ADiT®PAB.

点E到P平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离的一半,

•••三棱锥P-ABE的体积V=\VD_PAB=|xix|x2xlx2=i.

解析：⑴由PDJ■平面ABE,可得PD1AB.同理可得P414B.再利用线面垂直的判定与性质定理即

可证明结论.

(2)由(1)可知：底面4BCD为矩形，可得力。=2.利用等腰直角三角形的性质可得：PDLAE,E为

PD的中点，利用线面垂直的判定可得4"，平面P4B.点E到P平面PAB的距离等于点。到平面PAB

的距离的一半，三棱锥P—4BE的体积V=号/_「48.

本题考查了线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式.考查了空间想象能力与计算能力，

属于中档题.

26.答案：(1)证明：PA=AB=2BC=2,AC=遍，

所以AC1BC,

因为PA_L平面ABC,PAu平面PAC,

所以平面24cl平面PAC,

因为平面P4Cn平面4BC=AC,

所以8C1平面P4C,所以BC14F,

又因为4F_LPC,PCnBC=C,

则4FL平面PBC,得4FJ.PB,

又因为AEnAF=4,

所以8P1平面AE尸；

(2)解：由(1)得ZMEF为直角三角形，P是三棱锥P-AE尸的高，在RtaP.AC中，P4=2,4C=国,

所以PC=77,4/7=£^£=华=也，在RtAP.AZ?中，PA=AB=2,贝iJPA—AE=；PB—2,,

PCV772

在RtAE/IF中，EF=Vi4E2—AF2=」2一£=所以尸=x人尸=1xx=争

所以三棱锥P-4EF的体积为二x亚xa=2.

3721

解析：本题考查了线面垂直的判定，以及求三棱锥的体积，难度一般.

(1)由条件，得到P41平面A8C,进而推出BCJ.4F,AFPBC,结合已知条件推出4FJ.PB,

从而证出BP，平面AEF；

(2)根据题意，得到相关线段长，利用体积公式，算出体积.

27.答案：解：(1)余弦定理说明ACO3等腰直角.

取2C中点N,连接PN,DN,AP0N为等腰直角三角形，做0MLPN，。在平面PBC内的射影

即为M,

作图如下：

所以PM1.

(2)以。为坐标原点，丽，比，而分别为x,y,z轴建立空间坐标系，如图所示:

则4(2,-2,0),Z?(2.0