高考高中数学必考压轴题答题模板及例题详解

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高考高中数学必考压轴题答题模板及例题详解

第2讲

【模板特征概述】

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题

和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能.目前的高考解答题已经由单

纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题.在高考考场上,

能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题,

是一项重要的内容.本节以著名数学家波利亚的《怎样解题》为理论依据,

结合具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程

序和答题格式，即所谓的“答题模板”.

“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过

程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整

为零.强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最

佳方案，实现答题效率的琼优化.

第2讲

构建答题模板

模板1三角函数的周期性、单调性及最值问题

【例11已知函数/(x)=2cosx・

sinlx+^sin2x+sinxcosx+1.

(1)求函数人")的最小正周期；

(2)求函数作)的最大值及最小值；

(3)写出函数/(x)的单调递增区间.

审题路线图不同角化同角f降解扩角f化fix)=NsinQx+(p)

+//f结合性质求解.

规范解答

第2讲

解=2cosx-sinx+cosx-V3sin2x+sinx-cosx+1

=2sinxcosx+A/3(COS2X-sin2x)+1

=sin2x+\/3cos2x+1

n

=2sin2x+T

（1）函数«r）的最小正周期为彳=?r.

-1Wsin2x+T,

(2)V(J

:.-1^2sin2A-+?+1<3.

TTTT,

.二当2x+§=$+2E,左£Z,即K=夜+女兀，左£Z时，«v）取得最大值3;

兀7T5兀1

当2x+^=-2+2kjt,左GZ,即工=-五+左兀，左£Z时，於）取得最小值-1

第2讲

(3)由一不+2ATT〈2X++2上兀,kb

得一等++力兀，氏GZ.

JL/JL/

・•・函数上)的单调递增区间为

57r.7T.1.

-TT+kn,TT+ZOT(〃£Z).

第2讲

构建答题模板第一步：三角函数式的化简，一般化成卫=

/lsin(wx+(p)+h的形式或y=/cos3x+(/))+h的形式.

如：/(x)=2sin2x+j+1.

第二步：根据人工)的表达式求其周期、最值.

第三步：由sin工、cosx的单调性，将+看作一个整体，转

化为解不等式问题.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

第2讲

模板2与平面向量综合的三角函数问题

【例2】已知向量。=(cosy,siny),/>=(—sinp—cos》其中

工仁生，7r.

(1)若|“+b|=,,求x的值；

(2)函数八》=〃山+|°+。2,若c>/(x)恒成立，求实数c的取值范围.

审题路线图(1)|。+b\=A/3-*A2+lab+〃=3-*三角方程一求不.

(2)化fix)向量表示式为三角表达式一化简fix)=/sin®x+(/>)+

h-\/(x)max-**C^/(X)niax.

规范解答

解(1)Vt7+/?=(cosy-sinI，siny-cos|),

\a+b\=yjcos苧-sin野+giny-cos曾

=，2-2sin2t,

第2讲

构建答题模板第一步：根据向量运算将向量式转化为三角式；

第二步：化简三角函数式，一般化为y=4sin（s，+夕）+〃的形式；

第三步：解三角方程或求三角函数的单调区间、最值；

第四步：明确规范地写出答案；

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范.如本题的易

错点为易忽略汇£去兀这一条件.

第2讲

模板3由数列的前〃项和用与通项〃“的关系求通项明

[例3]已知数列｛斯｝的前n项和为Sn,〃尸1,斯十i=2S“+l(〃eN"),

等差数列｛瓦J中，^>O(/teN*),且儿+岳+必=15,又可+仇、

恁+庆、/+岳成等比数列.

Q)求数列｛%｝、｛小｝的通项公式；

(2)求数列｛明协“｝的前〃项和Tn.

第2讲

第2讲

规范解答

解(1)丁%=1,即+i=2S〃+l(〃£N*),

；・册=25”-i+1(〃£N二九22),

・・%+i—=2(S“—Sn-1)5即时+1—。”=2〃“，

=

，斯+i=3。”(〃£N*,〃22).而。2=2〃I+1=3,/.«23«i.

・•・数列｛斯｝是以1为首项，3为公比的等比数列，

工〃”=3"1(〃£N)./.«!=1,。2=3,〃3=9,

在等差数列出〃｝中，・・・仇+岳+仇=15,・・・必=5.

又・・Zi+M©+劣、的+优成等比数列，设等差数列出〃｝的公差为d

则有3+瓦)3+优)=Q+①丫.

A(1+5-4(9+5+m=64,解得d=-10或d=2,

VZ)„>0(wGN*),I.舍去。=-10,取d=2,

=3,.•・，［=2/+1(〃£N").

第2讲

(2)由(1)知7；=3义1+5X3+7X32+…+(2n-l)3n-2+(2n+

①

・・・37；=3X3+5X3?+7X33+…+(2n-l)3n-1+(2n+1)3”,②

二①一②得一27；=3X1+2X3+2X32+2X33+♦♦♦+2X3〃T-

(2n+1)3〃

=3+2(3+32+33+…+3”T)-(2n+1)3〃

3-3”

=3+-(In+1)3"=3"-(2n+1)3"=-2/r3〃，

/•Tn=nB".

第2讲

构建答题模板第一步：令〃=1,由Sn=/(〃”)求出乐.

第二步：令〃22,构造〃“=S〃-S.1，用即代换S〃-S〃-I(或用S

S〃一I代换恁，这要结合题目特点)，由递推关系求通项.

第三步：验证当H=1时的结论是否适合当心2时的结论.

如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示.

第四步：写出明确规范的答案.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本题的易错点,

易忽略对n=l和n>2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.

第2讲

构建答题模板第一步：利用条件求数列｛为｝的通项公式.

第二步：写出1rt=必+必+•••+bn的表达式.

第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.（例如：公式法、

裂项法，本题用错位相减法）.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在

求厮时，易忽视对〃=1,勿22时的讨论.

第2讲

模板5立体几何中的基本关系与基本景问题

【例5】在如图所示的空间几何体中，平面4CDJ_平面AB=

BC=CA=DA=DC=BE=2fBE和平面ABC所成的角为60°,

且点E在平面ABC上的射影落在N4BC的平分线上.

(1)求证：刀E〃平面4BC；

(2)求多面体/笈CDE的体积.

审题路线图在平面ABC内作辅助线。尸一证明OE〃。尸将多

面体4BCDE分割f分别求两个三棱锥体积之和.

第2讲

第2讲

构建答题模板第一步：画出必要的辅助线，根据条件合理转化.

第二步：写出推证平行或垂直所需条件，注意条件要充分.

第三步：明确写出所证结论.

第四步：对几何体进行合理转化（分割或拼补）.

第五步：分别计算几何体的体积并求和.

第六步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范.

第2讲

模板6空间角或空间距离问题

【例6】如图，在七面体4BCDMN中，四边形4BCD是边长为2

的正方形，M)_L平面ABCDf平面ABCD,且MD=29

NB=1,MB与ND交于尸点.

(1)在棱48上找一点Q,使。尸〃平面力MD,并给出证明

(2)求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.

第2讲

证明：・.・MD_L平面4BCZ>,NB_L平面N8CD,：,MD//NB.

.BPNB1^QB1

,,丽=砺=5•又=1

.QB=BP

・Q一尸M

/.在/\MAB中，QP//AM.

又Q尸(Z面加〃)，力MU面4ATO,

•••QP〃面AMD.

(2)

以。4、DC、DM所在直线分别为；v轴，＞轴，z轴建立空间直角坐

标系如图，

第2讲

则刀(0,0,0),3(2,2,0),C(0,2,0),M(0,0,2),N(2,2,l).

/.O/=(0,-2,2),示=(2,0,1),DC=(0,2,0).

设平面CMN的法向量为〃i=(x,p,z).

2y+2z

则］_

771K=0.2x+z=0.

取XH1,/.7?1-=(1,-2,-2).

又NBL平面ABCD,:・NBLDC,又DC1,BC.

"CJ_平面BNC.

・•・平面BNC的法向量小m虎=(0,2,0),

-42

cos

(人m>=|同网-3X2~"3,

第2讲

第2讲

构建答题模板第一步：作出（或找出）具有公共交点的三条相互垂直

的直线.

第二步：建立空间直角坐标系，写出特殊点坐标.

第三步：求（或找）两个半平面的法向量.

第四步：求法向量〃1，如的夹角或COS〈小，“2〉（若为锐二面角则求

|cos〃2〉I）-

第五步：将法向量的夹角转化为二面角的夹角.

第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范.如本题求得

COS〈〃1，=-弓后易答当二面角的余弦值为-，而出错，一定要

注意这一点.

第2讲

模板7解析几何中的探索性问题

［例7］已知定点。(一1,0)及椭圆f+3/=5,过点C的动直线与

椭圆相交于4,8两点.

(1)若线段中点的横坐标是:,求直线的方程;

(2)在x轴上是否存在点使曲而为常数？若存在，求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由.

审题路线图设的方程j，=A(x+l)f待定系数法求写出

方程;设M存在即为(町0)-求疝•/笳一在疝•浓为常数的条件

下求m.

第2讲

规范解答

解(1)依题意，直线"的斜率存在，设直线N3的方程为

y=k(x+1),

将y=k(x+1)代入x2+3j，=5,