高中数学选修21课时达标训练（十三）圆锥曲线的统一定义

课时跟踪训练(十三)圆锥曲线的统一定义1．双曲线2x2－y2＝－16的准线方程为________．2．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则PM＋PN的最小值、最大值分别为________________．3．到直线y＝－4的距离与到A(0，－2)的距离的比值为eq\r(2)的点M的轨迹方程为________．4．(福建高考)椭圆Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝eq\r(3)(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．5．已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内部的一点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，F为右焦点，M为椭圆上一动点，则MA＋eq\r(2)MF的最小值为________．6．已知椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一点P，到其左、右两焦点距离之比为1∶3，求点P到两准线的距离及点P的坐标．7．已知平面内的动点P到定直线l：x＝2eq\r(2)的距离与点P到定点F(eq\r(2)，0)之比为eq\r(2).(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若点N为轨迹C上任意一点(不在x轴上)，过原点O作直线AB，交(1)中轨迹C于点A、B，且直线AN、BN的斜率都存在，分别为k1、k2，问k1·k2是否为定值？8．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点分别为F1，F2，P是左支上一点，P到左准线的距离为d，双曲线的一条渐近线为y＝eq\r(3)x，问是否存在点P，使d、PF1、PF2成等比数列？若存在，则求出P的坐标，若不存在，说明理由．答案1．解析：原方程可化为eq\f(y2,16)－eq\f(x2,8)＝1.∵a2＝16，c2＝a2＋b2＝16＋8＝24，∴c＝2eq\r(6).∴准线方程为y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(16,2\r(6))＝±eq\f(4\r(6),3).答案：y＝±eq\f(4\r(6),3)2．解析：PM＋PN最大值为PF1＋1＋PF2＋1＝12，最小值为PF1－1＋PF2－1＝8.答案：8,123．解析：设M(x，y)，由题意得eq\f(|y＋4|,\r(x2＋y＋22))＝eq\r(2).化简得eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝1.答案：eq\f(y2,8)＋eq\f(x2,4)＝14．解析：直线y＝eq\r(3)(x＋c)过点F1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，MF1＝c，MF2＝eq\r(3)c，所以该椭圆的离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,c＋\r(3)c)＝eq\r(3)－1.答案：eq\r(3)－15．解析：设M到右准线的距离为d，由圆锥曲线定义知eq\f(MF,d)＝eq\f(\r(2),2)，右准线方程为x＝eq\f(a2,c)＝2eq\r(2).∴d＝eq\r(2)MF.∴MA＋eq\r(2)MF＝MA＋d.由A向右准线作垂线，垂线段长即为MA＋d的最小值，∴MA＋d≥2eq\r(2)－1.答案：2eq\r(2)－16．解：设P(x，y)，左、右焦点分别为F1、F2.由已知的椭圆方程可得a＝10，b＝6，c＝8，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，准线方程为x＝±eq\f(25,2).∵PF1＋PF2＝2a＝20，且PF1∶PF2＝1∶3，∴PF1＝5，PF2＝15.设P到两准线的距离分别为d1、d2，则由eq\f(PF1,d1)＝eq\f(PF2,d2)＝e＝eq\f(4,5)，得d1＝eq\f(25,4)，d2＝eq\f(75,4).∴x＋eq\f(a2,c)＝x＋eq\f(25,2)＝eq\f(25,4)，∴x＝－eq\f(25,4).代入椭圆方程，得y＝±eq\f(3\r(39),4).∴点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，\f(3\r(39),4)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25,4)，－\f(3\r(39),4))).7．解：(1)设点P(x，y)，依题意，有eq\f(\r(x－\r(2)2＋y2),|x－2\r(2)|)＝eq\f(\r(2),2).整理，得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.所以动点P的轨迹C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)由题意，设N(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(－x2，－y2)，eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1.k1·k2＝eq\f(y1－y2,x1－x2)·eq\f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝eq\f(2－\f(1,2)x\o\al(2,1)－2＋\f(1,2)x\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝－eq\f(1,2)，为定值．8．解：假设存在点P，设P(x，y)．∵双曲线的一条渐近线为y＝eq\r(3)x，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，b2＝3a2，c2－a2＝3a2.∴eq\f(c,a)＝2.若d、PF1、PF2成等比数列，则eq\f(PF2,PF1)＝eq\f(PF1,d)＝2，PF2＝2PF1.①又∵双曲线的准线为x＝±eq\f(a2,c)，∴PF1＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0＋2·\f(a2,c)))＝|2x0＋a|，PF2＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x0－2·\f(a2,c)))＝|2x0－a|.又∵点P是双曲线左支上的点，∴PF1＝－2x0－a，PF2＝－2x0＋a.代入①得－2x0＋a＝2(－2x0－a)，x0