双曲线的简单几何性质 选修2-1

2.3.2双曲线的简单几何性质(1)平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。1.双曲线的定义：2.双曲线的标准方程：一、复习回顾：3．前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？关于x,y轴,原点对称(±a,0),(0,±b)(±c,0)A1A2;B1B2

e=x=|x|

a,|y|≤b

椭圆的图形与几何性质

性质yxF1F2A1A2B1B2o标准方程范围对称点定点焦点对称轴离心率渐近线你能类比探究出双曲线的几何性质吗？

2、对称性

一、研究双曲线的简单几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)课堂新授

3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点xyo-bb-aa(3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线。

(2)线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴的长为2a，虚轴的长为2b;a称为半实轴的长，b称为半虚轴的长；;M(x,y)4、渐近线N(x,y’)Qxyoab（1）（2）利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图（3）

双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢?▲思考：▲规定：

双曲线的渐近线②两种双曲线的渐近线方程，怎样统一记忆？

的渐近线.。叫做双曲线直线①双曲线的渐近线方程是什么？

练习：求下列双曲线的渐近线方程

(1)4x2－9y2=36,

(2)25x2－4y2=100.2x±3y=05x±2y=0

双曲线的画法：yB2A1A2B1

xO①定顶点②画矩形③画渐近线④画双曲线结论：5、离心率离心率。c>a>0e>1e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大（1）定义：（2）e的范围：（3）e的含义：（4）等轴双曲线的离心率e=?方程图形顶点对称范围焦点离心率渐近线(±a,0)(±c,0)(0,±a)(0,±c)x轴、y轴、原点（原点是双曲线的中心）|x|≥a|y|≥a6.类比yoxxyo例1.求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.可得实半轴长a=4，虚半轴长b=3焦点坐标为（0，-5）、（0，5）解：把方程化为标准方程例题讲解

归纳例3、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m).

A′A0xC′CB′By131220解：如图，建立直角坐标系xOy,使小圆的直径AA‘在x轴上，圆心与原点重合。这时，上下口的直径CC’,BB’都平行于x轴，且︱CC’︱=13×2,︱BB’︱＝25×2CxyOA’AC’BB’131225用计算器解方程，得b≈25CxyOA’AC’BB’131225例4、点M（x,y）与定点F（5,0），的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点M的轨迹.

xyOlF变式：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线的距离比是常数(c>a>0)，求点M的轨迹.M解：设点M(x,y)到l的距离为d，则即化简得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)设c2－a2=b2，(a>0,b>0)故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.b2x2－a2y2=a2b2即就可化为:M点M的轨迹也包括双曲线的左支.

平面内，与一个定点F(c,0)的距离和它到一条定直线l：的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。

定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.对于双曲线是相应于右焦点F(c,0)的右准线类似于椭圆是相应于左焦点F′(-c,0)的左准线xyoFlMF′l′点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.二、第二定义

想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？xyoF相应于上焦点F(c,0)的是上准线相应于下焦点F′(-c,0)的是下准线F′P61练习P61习题2.3A组3,4当堂检测12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c椭圆双曲线方程abc关系图象椭圆与双曲线的比较yXF10F2MXY0F1F2p小结渐近线离心率顶点对称性范围

准线|x|

a,|y|≤b|x|≥

a，yR对称轴：x轴，y轴对称中心：原点对称轴：x轴，y轴对称中心：原点（-a,0)(a,0)(0,b)(0,-b)长轴：2a短轴：2b(-a,0)(a,0)实轴：2a虚轴：2be=ac(0＜e＜1)ace=(e1)无y=abx±归纳总结1.双曲线的第二定义

平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线。