高中数学苏教版必修四教学案第2章24向量的数量积

包量的数量积

第1课时向量数量积的概念及运算律

入门答辩——辨析问题解疑惑

I

新知自解----自读教材找关键

自主学习梳理主干ziz丘sftutizdu/1

知识点1平面向量的数量积的定义

〃〃〃入门本科，〃〃

问题：一个物体在力尸的作用下位移为s,那么力F所做功lf^\F\|sicos0,。为尸和位

移s的夹角，试想功/是力尸和位移s的乘积吗？

提示：不是.

/〃/,新知育解‘〃〃

1.数量积的定义

两个非零向量a与6,它们的夹角为。，那么把数量lab-cos9叫做a与。的数量积（或

内积）,记作a•6,即a・6=|a161cos0.

2.规定

零向量与任一向量的数量积为0.

知识点2向量的夹角

〃〃〃入n率算〃/

如图，为等边三角形.

问题1：向量A*与向量AC?的夹角的大小是多少？

提示：60°.

问题2：向量A后与向量5d的夹角的大小是多少？

提示：120°.

〃//,新知（解'〃〃

两非零向量的夹角

⑴定义：对于两非零向量a和6,作函=a,OB=b,那么/4仍=，叫做向量a与。的

夹角.

⑵范围：0W夕080°.

（3）当夕=0°时，a与b同向.

当夕=180°时，a与6反向.

当夕=90。时，那么称a与6垂直，记作a_L8.

知识点3平面向量数量积的性质及运算律

入口本舞〃/

向量a和6都是非零向量，。为a与6的夹角.

问题1：假设。=90°,求a・6；假设”6=0,求0.

提示：假设6=90°,那么a•6=|a•\b\cos90°=0；

假设a•6=0,那么a•b\cos9=0,cos8=0.

又・・・0°<8W180°,I.9=90°.

问题2：假设夕=0°,求a•公假设6=180°,求a・b.

提示：假设。=0°,那么a・6=|司•161cos0°=|a|•\b\；

假设。=180°,那么a•b=a•Ib\cos180°=—\a9\b\.

//////|豫'〃〃/

L两个向量的数量积

(1)当a与5同向时，a*b=\ab\；

⑵当a与6反向时，a•b=~\ab；

(3)a•a=Ia『或|a|=yja•a.

2.数量积的运算律

(l)a•b=b,a；

⑵(4a)•b=a(Xb)=4(a•8)=Xa•b；

(3)(a+6)•c=a•c+b•c.

［归纳,升华■领悟］-------------------------

1.两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，

符号由夹角的余弦值的符号打算.

2.向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值.这

个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数.

3.数量积的运算只适合交换律，加乘安排律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即

(a・6)•c手a•(A•c),这是由于a•b,b•c都是实数，(a•b)•c与向量c方向相同或相

反.a•(b•c)与向量a方向相同或相反，而H与。不肯定共线，就是a与c共线，(a,6)•c

与a・(8・c)也不肯定相等.

课

堂

突破考点一总结规律

互

I

动I

高考为标提炼技法

区把握热点考向贵在学有所悟

师生共研突破重难shiskenggongyantupozkongnan

考点1求平面向量的数量积

［例1］正方形四切的边长为2,分别求：

(1)AB•CD；(2)AB-AD；(3)DA-AC.

［思路点拨］求数量积时，利用定义要留意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来.

［精解详析］⑴：AB,CD的夹角为n,

AB•CD=ABCD|cosn=2X2X(—1)=-4.

(2)VAB,4力的夹角为方，

:.AB,AD—IABIIAD\cos-^-—2X2X0=Q.

(或•.•A4,通的夹角为三,；.4公，砺，故•4•通=0)

-''二3五

(3)VDA,4C的夹角为了，

DA•AC\DA\\AC|cos^=2X2^X(—^)=—4.

［一点通］求平面对量的数量积时，常用到以下结论：

⑴/=a2；

(2)(xa+yb){mc+nd)=xma•c+xna•d+y/nb•c+ynb,d,其中x,y,m,〃£R,类似于多

项式的乘法法那么；

(3)(a+6)'=a+2a•b~\-b；

(4)(a+Z>+c)2=a2+Z?J+c2+2a•b+2b•c+2a•c.

〃〃/题俶条钝么〃

1.假设|a|=4,|6|=6,a与，的夹角为135°,那么a・(-6)=.

解析：a*(—b)=—a*b=~\ab|cos135°

=-4X6Xcos135°=124.

答案：12小

2.设正三角形的边长为，AB=c,BC—a,CA—b,那么a•6+b•c+c•a=

解析：a•b+b•c+c,a=yf2•4cos120°+yf2•y[2•cos120°+yf2,/cos120°=

—3.

答案：一3

3.在园中，"是州的中点，4Q3,BC=10,求•衣的值.

解：：2AM=AB+AC,BC=AC-AB,

：.(2AM尸=(AB+AC产，BC2=(AC-AB}2,

：AAB•4d=4A/一般=-64,

AB-AC=-16,

信图31求向量的模

［例2］向量O7(=a,OB=b,N4仍=60°,且|a|=6|=4.求a+6,|a—6|,|3a+

b\.

［思路点拨］依据条件将向量的模利用|a|=而7转化为数量积的运算求解.

［精解详析］Va•b—\a\•bcosZ?16!ff=4X4X^=8,

/.a+b=y/~a+b~'=.才+2己•b~\~£

=:16+16+16=473,

a~b=«~a-b~2a,b-\-if

=，16—16+16=4,

3a+/>=7_3a+6~'=^9a"+6a,b+tf

=：9X16+48+16=4713.

［一点通］关系式才=以「可使向量的长度与向量数量积相互转化，利用数量积求解长度问

题是数量积的重要应用，要把握此类问题的处理方法，特殊留意不要遗忘开方.

〃〃，强辑靠钝'〃〃

4.向量a,6夹角为45°,且la|=l,2a-b\=y［10,那么|引=..

解析：依题意，可知|2a—6'=41a--4a•6+/'=4—4；ab,cos45°+Ib\2—4—2y［2

b\+\b\:=10,即|引2—245|引一6=0,.•.引=当空遮=3也(负值舍去).

答案：3^2

5.向量a、Z?满意!a|=2,b=3,a+b\=4,那么己一力|=.

解析：由/a+6|=4,

得|a+"=42

/.a'+2a•b+t)=\&.①

a\=2,b=3,

.・.#=|a|2=4,8=|引2=9,

代入①式得/1+24・6+9=16,

BP2a•b=3.

(a—8)2=6—2a•6+8=4—3+9=10,

/.|a-b

答案：瓜

6.a=2,|引=4,a,b的夹角为?，以a,6为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条

对角线中较短一条的长度.

解：・・,平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为la—引，

/.Ia—b=yj~a~b_3=yja:—2a•b~\~b

=^\^4—2X2X4Xcos-+16=2^3.

考点3向量的夹角问题

[例3]a,力是非零向量，且(a—2b)J_a,bl.(b—2a),求a与，的夹角.

a.•h

［思路点拨］依据向量的数量积公式变形为cos9=』，从而可求火

[精解详析]v(a-2b)_La,b-L(6—2a),

a—2b•a=0,

b•b—2a=0,

\a/=2a,b、

a—b\.

Ib\2=2a,b.

设a与6的夹角为e,

1||2

,,QIAI

,a•ba•b/1

那么cos

夕=1^?=百=廿二2,

又丁J£[0,n],/.8=±

o

［一点通］向量的数量积公式a•6=1a||Reos0不仅可以用来求数量积，也可以用来求

a♦b

模与夹角，即cosg工.在依据三角函数值求角时，要留意角的范围确实定.此夕卜，要留

意假设两非零向量a,6的夹角为锐角・力0且a•6W|ab；两非零向量a,6的夹角为钝

角•ZKO且a•6W—IaIb\.

〃〃,题俶家钝“^

7.|a|=l,|A|=6,a•(A—a)=2,那么向量a与向量力的夹角为_______.

解析：由条件得a・A-I/=2,设a与b的夹角为。，那么a・6=2+a「=3=a|b|cos

a=lX6Xcos。.所以cos。=：，所以67=*.

乙o

yqIl

答案：

㈤

8.非零向量a,b,满意且a+26与a—26的夹角为120°,那么Xb\~

解析：(a+2b)•(&-26)=/一46，Va±A,

；・Ia+2b=yja+4b~fa~2b\=*\/#+4尻

.a+26•a—2ba'-4b

；.cos120=―2ba—2bl^/7+4p-

a—4Z>2]_

~a+4b'2,

.£_4.|a|2。

,,Z>2-3,"\b\~3-

答案.为叵

9.单位向量8,。的夹角为60°,求向量a=&+e2,6=史一2e的夹角.

解：设2方的夹角为明:单位向量8,。的夹角为60°,

/.a•e>=|ei|\e>\cos60°=~

Aa•b=(ei+ft)•忌一2e)

=e•改+/一2/一2e)•e乙

13

=送-2.-8•包=]-2-5=一亍

Ia\=y[^=yj~&+氏~\

=、看+&+2ei•员

=弋1+1+1=镉,

Ib\=乖=«~e—2e\一'

4e•改+4e；

=JL4X.+4=*

_3

.ca、b21

••cose=：7~~―尸产=-77*

ab小•小2

__2兀

6W［O,n］,0=—.

o

［方法.规律.小结］-------------------------'

1.向量数量积的性质及作用

设a和6是非零向量，a与6的夹角为0.

(l)a±/^a-6=0,此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系.

(2)当a与6同向时，a•b—a\\b\,当a与6反向时，a-b=~\a\\b\,即当a与b共线

时，\a-b\=\a6,此性质可用来证明向量共线.

(3)a・a=#=|ar或㈤=迎，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的

相互转化.

a・b

(4)cos9=-、~rr-jT-此性质可求a与6的夹角.

\a\\b\

2.求向量夹角的一般步骤

(1)求两向量的模；

(2)计算两向量的数量积；

(3)计算夹角的余弦值；

(4)结合夹角的范围［0,页］确定所求的夹角.

训

练

随堂练课下练

提

能课堂8分钟对点练，让课下限时检测，提速

区学生趁热打铁消化所提能，每课一检测，步

学，既练速度又练准度步为营步步赢

课下力量提升(二十)

一、填空题

1.假设ai=2,|引a与b的夹角为60°,那么a•6等于

解析：a•b=a\\6|cos^=2x|x|=1.

1

答案：2

2.△46C是等腰直角三角形，C=90°,AB=2p,那么等于

解析：由题意知I/?Cl=2/X乎=2.

：.AB-BC^\AB\-\BC|cos135°=2yf2X2X=-4.

答案：一4

3.设〃和h是两个单位向量，其夹角是60。，那么向量a=2〃+〃与5=2〃一3〃的夹角为

解析：设a,b的夹角为夕.

由于®=1,〃|=1,m,〃夹角为60°,所以

所以IH=yj_2m+n~电+4^*n+n=干，

!b\=y1_2/7—32Z7~5=y/4d-12m・〃+9、=木,

.7

a,b—(2zff+z?)•(2〃-3。)=zz?•〃-6229f+2〃~=—5.

1

a・

夕-

a2

又由于0°<94180°,所以，=120°,即48的夹角为120°.

答案：120。

4.向量a,8满意(a+28)•(a—8)=-6,且a=1,\b\=2,那么a与b的夹角为

解析：设&与力的夹角为夕，

由于(a+2b)•(a—b)=—6,

且|a|=Lb\=2,

所以aa•Z?—2Zr=-6,

即「+iX2cos。-2X2?=-6,

化简得cos0=^,

又,:0G[0。，180°],

，。=60°.

答案：60°

5.在边长为1的正三角形中，设6C=28。，C4=3C£,那么4。•BE=

解析：

A

A

B«D

如下图，•••5C=25D,

是比1的中点.

AD=1(AB+AC).

：CA^3CE,

*--1-2’一

二BE^BA+AEAB+-AC.

：.AD-BE=4(AB+AC)•[-AB+|AC

N\J

=；(-Ai?」-：AB•AC+|A。)

\(1八…2

=d-1--X1X1XCOS60°+-X1

JJ

=-7

答案：一；

二、解答题

6.|a=4,\b\=5,当(l)a〃队(2)aJ_b；(3)&与8的夹角为60°；(4)a与力的夹角为

150时.分别求，与8的数量积.

解：令&与b的夹角为

(1)由于3〃。，那么当a与方同向时，0=0。，

a•b—\a\|A|cos0°=20；

当a与b反向时，。=180。，

a,b=\a\\b\cos180°=—20.

(2)当8_1_6时，夕=90°,a•b=abcos90°=0.

⑶当夕=60°时，a*b=\a\\2?|cos60°=4X5X2=10.

7.\a=1,a•6=；,(a-b)•(a+b)=1.

(1)求a与8的夹角为0.

(2)求|a+b|.

解：(1)V[a—6)•(a+b)=a'—l)=^Ia=1,

1

a*b2

Acos8=尸=,又夕e[0,n],

㈤㈤T~=IX孚o2

，夕=?.故a与b的夹角为1.

（2）|a+b='_a+b_5=yja~+2a•b-\-l）

8.la=5,I引=12,当且仅当勿为何值时，向量&+帅与a—帅相互垂直?

解：假设向量〃+/〃，与a—泌相互垂直，

那么有（a+/〃b）•（a-mb）=0.

=0.Va=5,Ib\=12,

5

Aa2=25,8=144..,.25—144/»=0.・••加=±R.

5

当且仅当m=土瓦时，

向量a+/与a—就相互垂直.

第2课时平面对量数量积的坐标表示

预

习

入门答辩——辨析问题解疑惑

导

引4

区新知自解——自读教材找关键

梳理主干ziz(iuK_ue)i«s(iu(izkugan

知识点1平面向量数量积的坐标表示

勿%</入口答料”

两个向量8=（汨，yi）,6=（x2,%）,那么a+b=（汨+入2,必+%），a—b=（xi—入2,切一%）.

问题1：你认为a・6=（xiX2,切%）对吗？为什么？

提示：不对.由于两个向量的数量积a-6是一个实数，而不是一个向量.

问题2：如何用坐标表示a・入呢？

提示：a•b—X\X2"Vy\Y'^

//////a豫“〃/

平面对量数量积的坐标表示

假设两个向量a=（X1,71）,b=（如72），那么a•6=为M+/任.

知识点2向量的模、夹角、垂直的坐标表示

〃〃〃入门答料〃//

由前面的学习，我们知道，la=后£cos。=备耳T（。为非零向量&6的夹角）;

aVb^a-6=0.（其中a,6为非零向量）

问题1：你能用坐标求|a|,cos〃的值吗？

提不：能.

问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？

提示:能.

/〃/〃新知由*7〃〃

1.向量的模

假设a=（x,力，那么|a|

2.向量的夹角

X\X2~\~y\y2

设两个非零向量8=（£,力），6=（X2,度），它们的夹角为0,那么cos

3.两向量垂直的条件

两非零向量3=（X1,71）,6=（X2,㈤，假设aJ_6,那么汨总+中丫2=0.反之,假设不热+巾度

=0,那么a,Lb.

［归纳■升华■领悟］-------------------------

1.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和.〃

小数十%刑=0是判定两个非零向量垂直的特别好用的条件.

课

堂

突破考点总结规律

互

动II

高考为标提炼技法

区

把握热点考向贵在学有所悟

考点1平面向量数量积的坐标运算

［例1］⑴向量a=(―1,2),b=(3,2),求a•6和a•(a-6).

(2)假设a=(2,-3),b=(%,2x),且a•6=4,求x的值.

［思路点拨］直接利用平面对量数量积的坐标表示求解即可.

［精解详析］⑴a♦6=(-1,2)•(3,2)

-(-1)X3+2X2=1,

a,(a—/二(—1,2),［(—1,2)—(3,2)］

=(-1,2)•(-4,0)=4.

(2)Va,b=(2,—3),(x,2x)=2x—6x=4,

x=-1.

［一点通］进行平面对量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法那么和运算性质.解题时

通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算

律将原式绽开，再依据计算.

41做靠钝'〃〃，

1.a=(l,3),6=(—2,-1),那么(3a+26)•(2a+5b)的值为一

解析：；a=(l,3),6=(—2,—1),

：.3a+2b=(3,9)+(-4,-2)=(-1,7),

2a+5b=(2,6)+(-10,-5)=(—8,1),

二(3a+2b)•(2a+5b)=(-l,7)•(-8,1)=8+7=15.

答案：15

2.a—(3,—1),b—(1,2),假设x・a=9,x-b=—\,那么向量入的坐标为

x,a=9,f31—5=9,

解析：设x=(t,s),由得

x,bt——4〔t+2s=-4,

t—2

**•x=(2,—3).

{s=—3.

答案：(2,-3)

3.向量a与b同向，b=(1,2),a•b=10,求：

(1)向量a的坐标；

(2)假设c=(2,-1),求(a・c)•b.

解:(1)・・,牛与b同向,且6=(1,2),

：.a="=(4，24)(4>0).

又■a・8=10,/.A+4A=10,A=2,Aa=(2,4).

⑵:a・c=2X2+(-1)X4=0,

(a•c)・b=0•b=0.

向量的夹角问题

［例2］1(16,12)、5(-5,15),0为坐标原点,求的大小.

［思路点拨］求/的占的大小转化为求向量4。与A5的夹角的大小，所以需要求A0与

4后二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可.

［精解详析］由得到：

y

8(-5弋7^(16,12)

O~

AO=—OA=—(16,12)

=(-16,—12),

AB=OB-OA=(-5,15)-(16,12)=(-21,3),

AIAO|=y]-162+~-122=20,

\AB\=yT-21'+3^15^2.

AO-AB=(-16,-12)•(-21,3)

=(-16)X(-21)+(-12)X3=300,

A。•4B300书

cosZ.0AB—

AO|【4520X15蛆—2

VO°W/A4店180°,；./6M6=45°.

［一点通］依据向量的坐标表示求a与6的夹角时，需要先求出6及|a6,再由夹角

的余弦值确定。.其中，当a・6>0时，a与6的夹角0e［0,—）；当a•沃0时，a与6的夹角

6G4，"］；当a・6=0,a与6的夹角为直角.

〃/〃/獗做条例'〃〃/

4.a—(3,0),b=(—5,5),那么a与6的夹角为.

解析：a•Z>=-15,\a\=3,b=5^/2,

./>a。b—15y[2

"C0S.a\b\-3X5^2-2，

又；OG[0,JT],。=牛.

答案:V

5.a=(—2,2),6=(1,y),假设a与b的夹角。为钝角，求了的取值范围.

解：由ZKO得一2Xl+2jK0,

又设a=46,A<0,那么(-2,2)=4(1,y)=(4,Ay),

.•・H=-2且4y=2,y=—1,

・・・片(-8,-1)u(-1,1).

考点3平面向量的垂直

[例3]三点4(2,1),庾3,2),2)(-1,4).

⑴求证：AB_LAD；

(2)要使四边形48切为矩形，求点C的坐标并求矩形力仍9的对角线的长度.

［思路点拨］(1)求出A5,4万的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边

形46(力为矩形，只需45=DC,利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点C的坐标，最终

利用长度公式求对角线长度.

［精解详析］(1)证明：..3(2,1),6(3,2),〃(一1,4),

4B=(1,1),4万=(-3,3).

那么A*•AD=1X(-3)+lX3=0,

AABIAD,即

(2)VABIAD,四边形4腼为矩形，.•.4*=。。.

设，点的坐标为(x,力，那么。d=(x+l,y-4),

x+1=1,［x=0,

从而有即

y—4=1,ly=5,

二•C点的坐标为(0,5).

VBD=(-4,2),BD|=2^5,

即矩形4?5的对角线的长度为24

［一点通］

(1)向量的数量积是否为零，是推断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法.

(2)向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可.

〃〃,题做条例'〃〃

6.a—(3,4),b—(2,—1),假如向量a+46与一b垂直，那么久的值为.

解析：a+46=⑶4)+4(2,—1)=(3+2几，4—4)，

—b=(—2,1).

(a+4方)_1_(—b)9.*•—2(3+24)+(4—4)=0.

2

答案：一E

5

7.设向量a=(1,2加)，b=(/zz+l,1),c=(2,m).假设(a+c)_L8,那么/a/=.

解析：a+c=(3,3z»),由(a+c)J_6,可得(a+c)・8=0,即3(加+1)+3%=0,解得力=一；,

那么a—(1,-1),

故a|=镜.

答案：72

8.在△力力中，力(2,4),夕(一1,-2),。(4,3),外边上的高为力〃

(1)求证:ABVAC\

⑵求点。和向量通的坐标；

⑶设N应?，=。，求cos0.

解:⑴证明:AB—(—1,—2)—⑵4)=(—3,一6),

AC=(4,3)-(2,4)=(2,-1).

VAB,AC——3X2+(—1)X(—6)=0,

J.ABLAC.

(2)设〃点的坐标为(x,力，那么4D=(x-2,y-4),

5。=(5,5),

'：ADVBC,

/.AD•bd=5(x—2)+5(y—4)=0.①

又丽=(x+Ly+2),

而BD与bd共线，...5(x+1)-5(y+2)=0.②

75

联立①②，解得x=~,y=~,

故〃点坐标为$|),

AD=修一2,|一4)=$-0

..BA-BC3X5+6X53诉

⑶c°s京|前厂即•即=10-

［方法.规律.小结］-------------------------、

L两向量平行、垂直的坐标表示的区分

(1)非零向量a=(小，yi),b—(A2,%),那么向量a与b垂直=a•6=00%及+必必=0；向

量a与6平行=存在AGR,使6=480小%一生％=0.

(2)向量垂直的坐标表示为及及=0与向量共线的坐标表示汨放一在必=0很简单混淆，应

认真比拟并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a•6=0,而共线是方向相同或相反.

2.向量的坐标运算的应用

利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等

位置关系的推断.其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，

然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合.

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练

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