北师大版版高考数学一轮复习第八章立体几何直线平面垂直的判定与性质教学案理

一、知识梳理

1.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面

内的两条相交直线都

判定定理错误!

垂直，则该直线与此7

平面垂直

垂直于同一个平面的

性质定理错误!=3llb

两条直线平行

2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一个平面过另一^平

判定定理面的垂线,则这两个£匕错误！今a_l_£

平面互相垂直

两个平面互相垂直，

则一个平面内垂直于

性质定理错误!n/_ia

交线的直线垂直于另£

一个平面

3.空间角

(1)直线与平面所成的角

1定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的鲤叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，

组Q就是斜线/户与平面。所成的角.

2线面角8的范围：先错误！.

(2)二面角

1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半

平面叫做二面角的面.

如图的二面角，可记作：二面角一/■£或二面角P-AB-Q.

2二面角的平面角

如图，过二面角的棱/上一点。在两个半平面内分别作BOW,AOVI,则N/O6就叫做二面

角？/-£的平面角.

3二面角的范围

设二面角的平面角为8,则先［0,川.

4当8=错误!时,二面角叫做直二面角.

常用结论

1,线线、线面、面面垂直间的转化

判定

线线J直面垂直翳面面土直

性质

2.两个重要定理

(1)三垂线定理

在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

(2)三垂线定理的逆定理

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.

3.重要结论

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重

要方法).

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直.

二、教材衍化

1,下列命题中错误的是_______(填序号).

1如果平面a，平面£,那么平面a内一定存在直线平行于平面£

2如果平面。不垂直于平面£,那么平面。内一定不存在直线垂直于平面£

3如果平面平面y,平面艮L平面y,413=/,那么/_!"平面/

4如果平面平面£,那么平面。内所有直线都垂直于平面£

解析：对于4,若平面a_L平面夕，则平面a内的直线可能不垂直于平面夕，即与平面夕的关系还可

以是斜交、平行或在平面月内，其他选项均是正确的.

答案：4

2.在三棱锥2/6。中，点Q在平面Z6C中的射影为点O.

(1)若必1=%=PC,则点。是必交的心；

(2)若以6,PBrPC,PCVPA,则点。是“8c的心.

解析：(1)如图1,连接3,OC,OP,

在^POA,RtAPO6和RtAQOC中，PA=PC=PB,

所以04=OB=OC,即。为“8G的卜心.

(2)如图2,延长Z。，80,CO分别交6C,AC,Z6于点9，D,G.

因为PC,PA,PBlPC,PA(\PB=P,

所以PUL平面以18,又28平面以6,所以QCLZ8,

因为Z6，/7。，POC\PC=P,

所以平面PGC,又CG平面PGC,

所以Z8JLCU,即CG为边Z6上的高.

同理可证BD,分别为6c边/C,6U上的高，即。为A/aS的垂心.

答案：(1)外(2)垂

:走出误区；

一、思考辨析

判断正误(正确的打"V",错误的打"x")

(1)直线/与平面。内的无数条直线都垂直，则Aa()

(2)垂直于同一个平面的两平面平行.()

(3)直线a_La,6_La,则()

(4)若a_L3，贝!]alia()

(5)若直线孔平面a,直线6ua,则直线a与。垂直.()

(6)若平面a内的一条直线垂直于平面尸内的无数条直线，则a邛I)

答案：(l)x(2)x(3)V(4)x(5)V(6)x

二、易错纠偏

错误!错误！(1)忽略线面垂直的条件致误；

(2)忽视平面到空间的变化致误.

1直线a与平面炳的无数条直线都垂直"是"直线a与平面a垂直"的条件.

解析根据直线与平面垂直的定义知"直线a与平面a内的无数条直线都垂直"不能推出"直线a与

平面a垂直"，反之则可以，所以应是必要不充分条件.

答案：必要不充分

2.已知直线a,6,c,若,6,c,贝Ua与c的位置关系为.

解析：若a,。，c在同一个平面内，由题设条件可得aiic;若在空间中，则直线a与c的位置关系不

确定，平行，相交，异面都有可能.

答案：平行，相交或异面

＞遢®考点，合您剖析明考向•直击考例考法一

考点n

线面垂直的判定与性质（多维探究）

角度一线面垂直的证明

tan-1］如图

所示，在四棱锥2/6。中,Z牝平面PAD,ABWCD,PD=AD,£是外的中点，尸是。。上的

点，且。尸=错误!Z8,如为△分1。中，。边上的高.

求证：（1）平面Z8C。；

（2）Ed平面PAB.

【证明】（1）因为Z8_L平面外。，也平面以1。，所以勿_LZS.

因为/W为△必I。中/。边上的高，所以PH1AD.

ABC\AD=A,AB平面，平面26。，所以。“1平面Z8C2

（2）如图，取外的中点M,连接MD,胸因为F是分的中点，所以/I小触错误!26.

又因为DF触错误!AB.

所以府触。尸，

所以四边形例是平行四边形，

所以EFWMD.

因为PD=AD,所以MD工PA.

因为26,平面PAD,所以MD±AB.

因为PA（\AB=Z,所以平面PAB,

所以Ed平面PAB.

角度二线面垂直性质的应用

网1-2］如图，在三棱锥A-BCD中，AB±AD,BC^BD,平面26。，平面BCD，点巳尸(F与/,

。不重合)分别在棱，6。上，目EFVAD.

求证：(1)EFwW^ABC',

(2)ADVAC.

【证明】(1)在平面28。内，因为/18，/1。，££1/1。，所以£771〃6.

又因为占错误!平面ABC,AB平面ABC,

所以仔I平面28c

(2)因为平面平面BCD,

平面/6Z5TI平面BCD=BD,

BCW^BCD,BCVBD,

所以平面Z8A

因为47平面/瓦?,

所以BCYAD.

5LAB^AD,BO\AB=B,AB平面26C,6c平面Z6C,

所以Z/ZL平面Z8C

又因为ZC平面Z6C,

所以Z/ZLZC

错误！

(1)判定线面垂直的四种方法

方法――同用线面垂餐的判强尼理\

阿甫N而卓芥反审而二家营至盲尾量：而冥；

方法二一I一条也与这个平面垂直”

谢席“一泰?存平®¥山二木］

方法三则与另一个也垂直”

方法四-►：利用面面垂直的性质定理：

(2)判定线线垂直的四种方法

方华一国诬分除函亥+74A=i孤］庵亚］宜

角梯形的垂直关系:

方法二―；菊而零腰三角戒底豆中暖而桂旋；

方法三•*；利用勾股定理的逆定理进行H算证明；

方法四利用直线与平面垂直的性质；

画变式训练

如图所示，在四棱锥

P-ABCD中,必底面ABCD,AB^AD,AC1.CD,^ABC=60°,d=AB=BC,F是PC的中点.

证明：(1)CDVAE\

(2)Q。，平面ABE.

证明：(1)在四棱锥P-Z6C。中，

因为外，底面ABCD,CD平面ABCD,

所以PAA.Q7.因为ACVCD,PA(\AC=Z,

所以。，平面PAC.

而平面以C,所以

(2)由%=AB=BC,/ABC=60°,可彳导AC=PA.

因为F是QC的中点，所以AE1.PC.

由(1)知AE1.CD,且P6CD=C,

所以/口平面户。

而PD平面PCD,

所以/口么?.

因为必I，底面ABCD,所以PAYAB.

又因为ABVAD^.PA(\AD=A,

所以平面PAD,而户/上平面PAD,

所以ABV自。.又因为ABC\AE=A,

所以平面

考点2

面面垂直的判定与性质（典例迁移）

施I刃（一题多解）如图，四棱锥P-ABCD中，ABX.AC,ABvPA,AB\\CD,AB=2CD,E,

G,M,/V分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.

（1）求证：CQl平面PAD;

（2）求证：平面厅平面EMN.

【证明】（1）法一：取必I的中点H,连接EH,DH.

又£为分的中点，

所以附触错误!26.

又。触错误!Z8,

所以EH糠CD.

所以四边形。金〃是平行四边形，

所以CEWDH.

又DH平面PAD,谕误!平面PAD.

所以由1平面PAD.

法二：连接因为尸为的中点，所以/尸=错误!28.

又。=错误!28,

E

/I岑/…般

nc

所以AF=CD.

又AFWCD,所以四边形ZFCO为平行四边形.

因此CFWAD.

又gf误!平面以。，2。平面必I。，

所以芋I平面外O.

因为巳尸分别为PB,的中点，所以EFWPA.

又£7错误!平面分1。，以平面必。，

所以仔I平面PAD.

又因为CAEF=£故平面m平面PAD.

又因为CF平面上,

所以平面PAD.

(2)因为巳尸分别为PB,的中点，

所以EF\\PA,又ABVPA,所以ABX.EF.

同理可得26,FG

又EZFG=F,比平面EFG,

FG平面“G,

因此Z&L平面EFG.

又M,/V分别为PD,%的中点，所以MNWCD.

又AB\\CD,所以MNWAB,所以例/\小平面EFG.

又MN平面£7MV,

所以平面斤G,平面EMN.

【迁移探究1】(变问法)在本例条件下，证明：平面£M/V，平面PAG

证明：因为,AB^AC,且PA(\AC=A,

所以Z8JL平面以C

又MNWCD,CDWAB,所以MN\\AB.

所以4/V，平面PAC.

又MN平面£7MV,

所以平面£71〃/\小平面PAC.

【迁移探究2](变问法)在本例条件下，证明：平面仔斜平面PAC.

证明：因为E,F,G分别为PB,AB,6c的中点,

所以EG必I,FGWAC,

又日错误!平面PAC,PA平面PAC,

所以EG平面PAC.

同理，尸GII平面PAC.

又EZFG=F,所以平面房GII平面PAC.

错误！

证明面面垂直的两种常用方法

(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.

(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为

证明平面角为直角的问题.

变式训练，如图，在四棱锥228。中，底面28。为矩形，平面以。，平面28。，必1JLP。,

必I="，F"分别为AD,国的中点.

(1)求证：PEA.BC-,

(2)求证：平面必18,平面PCD;

(3)求证：仍1平面PCD.

证明：(1)因为以=E为4?的中点，

所以因为底面28。为矩形，所以BCWAD.

所以

(2)因为底面26。为矩形,所以力近/。.又因为平面以。，平面ABCD,所以Z牝平面PAD.

所以又因为PA'PD,所以QD，平面必16.所以平面必16,平面PCD.

(3)取QC的中点G,连接FG,DG.

因为，G分别为阿，PC的中点，

所以尸Gil跋，%=错误！跋

因为四边形Z6U。为矩形，且E为力。的中点,

所以。G8C,错误!6c

所以。国FG,DE=FG.

所以四边形。斤G为平行四边形.

所以EF\\DG.

又因为日错误!平面PCD,DG平面PCD,

所以仍|平面小A

3

垂直关系中的探索性问题(师生共研)

施1引如图，在三棱柱26号Zi&G中，侧棱441，底面Z6C,M为棱ZC的中点.AB=BC,/C

=2,力4=错误！.

(1)求证：81。1平面46例;

(2)求证:〃1，平面46例；

(3)在棱6历上是否存在点/V,使得平面ACx/V，平面ZZiCiC?如果存在，求此时错误!的值；

如果不存在，请说明理由.

【解】(1)证明：连接力员与Z16,两线交于点。，连接0M

在ASIZC中，因为例，。分别为ZC,Z81的中点，

所以。例1历C,

又因为。例平面46/U,阴津误!平面46例，

所以历G平面

(2)证明：因为侧棱底面Z8C,BM平面Z8C,

所以16例，

又因为例为棱ZC的中点，AB=BC,所以BMX.AC.

因为A4in/C=Z,A41,/C平面ZCC1Z1,

所以6A近平面ZCG4,

所以8/IR_ZCi.

因为ZC=2,所以/1例=1.

又因为24=错误！，所以在Rt“CG和RtMiZ"中，

tan/ZGC=tanN4/VM=错误！,

所以NZCC/VM,

BPz/lCiC+^CiAC=^AyMA+^CiAC=90°,

所以4S/Q.

0^]BM^\AxM=M,BM,AXM平面48例,

所以ZG，平面46以

(3)

A

当点N为8历的中点，即错误！=错误!时，

平面ACiA/_L平面AArCiC.

证明如下：

设ZG的中点为D,连接DM,DN.因为D,M分别为ZG,ZU的中点，

所以DM\\CCi,且DM=错误！CCi.

又因为N为6瓦的中点，所以DMWBN,且DM=BN,

所以四边形为平行四边形，

所以6A%O/V,

因为6例，平面ACCiAi,所以。/V，平面Z/1CiC.

又因为O/V平面ZG/V,

所以平面ACx/V，平面AAxC^C.

错误！

(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定

理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.

(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手.一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方

程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.

变式训练如图所示，平面26。，平面比已四边形Z8C。为矩形，BC=CE,点F为々的

中占

I八、、•

(1)证明：/日平面BDF-,

(2)点例为。上任意一点，在线段ZF上是否存在点Q,使得PMVBE?若存在，确定点P的

位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

解：(1)证明：连接zc交6。于点。,连接OF.

因为四边形28。是矩形，

所以。为/C的中点.

又尸为乙的中点，所以。尸1〃£

又。尸平面6。尸，

Z碎t误!平面8。尸，

所以Z以平面BDF.

(2)当点P为的中点时，

有PM1BE,证明如下：

取6F的中点H,连接DP,PH,CH.

因为P为ZF的中点，H为85的中点，所以PHWAB.

又/例。，所以/WIIC。，

所以Q,H,C,。四点共面.

因为平面平面BCE,且平面Z66平面BCE=BC,CD^BC.

CD平面ABCD,所以CD1.平面BCE.

又BE平面6跳,所以巳

因为BC=CE,且H为族的中点，

所以。七

又CHT\CD=C,且CH,CD平面DPHC,

所以6口平面DPHC.

又PM平面DPHC,所以PMLBE.

⑤合素养，领尊培优提素养•拓展解题思路上

党施蝎国逻辑推理平面图形折叠问题的解题技巧

一、将平面图形折叠成立体图形

m如图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段26,CD,房和GA在原正方体中相

互异面的有对.

【解析】平面图形的折叠应注意折前折后各元素相对位置的变化.画出图形即可判断，相互异面的

线段有Z8与。，EF与GH,AB与GH,共3对.

E

【答案】3

错误！

画折叠图形一般以某个面为基础，依次将其余各面翻折还原，当然，画图之前要对翻折后形成的立体

图形有所认识，这是解答此类问题的关键.

二、折叠中的"变"与"不变"

砌如图1,在等腰直角三角形Z6。中，NZ=90°,8c=6,。，F分别是ZC,28上的点，CD

=BE=错误！，。为死的中点.将必。£沿止折起，得到如图2所示的四棱锥A—BCDE,其中40=

错误!.

(1)证明：4。，平面BCDE-,

(2)求二面角4—06的平面角的余弦值.

【解】(1)证明：在题图1中，易得。。=3,ZC=3错误！，AD=2错误!.

连接OD,OE,在A。。中，由余弦定理可得

错误！=错误!.

由翻折不变性可知4。=2错误！，

所以A。2+。。2=,所以A(9±OD,

同理可证4OVOE,XO£X}OE=O,

所以4。，平面BCDE.

(2)过。作0HLCD交。的延长线于H,连接AH,因为4。，平面BCDE,所以AHvCD,

所以为二面角4—8—6的平面角.

结合题图1可知，〃为ZC的中点故OH=错误！从而AH=错误！=错误！所以cos^AHO=错误!

=错误！，

所以二面角/'一。一6的平面角的余弦值为错误!.

错误！

折叠问题的关键有二：1画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；2分析好两个关系

折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化，哪些没有改变.一般地，在同一半平面内的几何元素之间

的关系是不变的.涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的.分别位于两个半平面内但垂直于

折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱.

三、立体图形的表面展开图的应用

施叵I在一个底面直径是5cm,高为2Tlem的圆柱形玻璃杯子的上沿6处有一只苍蝇,而恰好在

相对的底沿/处有一只蜘蛛，蜘蛛要想用最快的速度捕捉到这只苍蝇，蜘蛛所走的最短的路程是_______.

【解析】利用侧面展开图，如图，蜘蛛所走的最短的路程是线段Z6的长，ZC=错误!x2ITx错误!

错误!ncm,8C=2TTcm,则28=错误！=错误!ITcm,即蜘蛛所走的最短的路程是错误!ITcm.

【答案】错误!ncm

错误！

求从一点出发沿几何体表面到另一点的最短距离问题：通常把几何体的侧面展开，转化为平面图形中

的距离问题.

＞陶电演练，③停突破-----------------------尊史题.突破高―一.［基础题

组练］

1.（2020•辽宁大连模拟）已知直线/和平面a,夕，且/a,则"近夕是"红夕的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析：选A.由面面垂直的判定定理可得，若/a,江氏则a邛,充分性成立；若/a,a邛,

则/与月平行或相交或垂直，必要性不成立.所以若/a,则"近夕是"a邛的充分不必要条件，

故选A.

2.（2020・河北唐山模拟）如图，在以下四个正方体中，直线Z8与平面COF垂直的是（）

A.12B.24

C.13D.23

解析：选B.对于1,易证Z8与&所成角为45°,则直线Z8与平面COF不垂直；对于2,易证

AB^CE,AB^ED,目的&?=巳则/近平面CDE;对于3,易证26与3所成角为60°,则直线

26与平面不垂直；对于4,易证平面ABC,^\\EDYAB,同理ECvAB,可得26,平面CDE.

故选B.

3.（2020•黑龙江鹤岗模拟）如图，在三棱锥A/6U中，依，平面ABC,O&CD,以=",

2。=BD,则下列结论中不一定成立的是（）

v

A.ZC=BC

B.ABA.VC

C.VC1.VD

D.51veerAB=Si.ABCVO

解析：选C.因为VOl-W^ABC,AB平面Z6C,所以.因为1Z4=VB,AD=BD,所以

⑷，28.又因为VOC\VD=I/,所以28,平面心.又因为CD平面VCD,所以ABA.。.又因为AD=

6。，所以故A正确.

又因为VC平面％Z5,所以ABV七，故B正确；

因为£心=错误！心。，S、ABC=错误!AB-CD,所以£VCDAB=S、ABC依，故D正确.由题中条

件无法判断心⑷故选C.

4.如图，在斜三棱柱Z8G481G中,N8ZC=90°,BC^AC,则G在底面Z歌上的射影H

必在（）

A.直线Z6上

B.直线BCh

C.直线/「上

D.内部

解析：选A.由AC^AB,,得Zd平面

因为ZC平面Z6C,

所以平面Z6G，平面ABC.

所以G在平面Z6C上的射影〃必在两平面的交线26上.

5.如图，在正四面体P-Z8C中,D,E,尸分别是28,BC,C4的中点，下面四个结论不成立的是

)

A.8G平面也尸

B.。乩平面PAE

C.平面也4平面PAE

D.平面也£L平面ABC

解析：选D.因为BCWDF,DF平面PDF,

8津误!平面PDF,

所以平面PDF.故选项A正确；

在正四面体中，AErBC,PEVBC,AK\PE=E,

且ZF,PE平面PAE,

所以6d平面PAE,

因为DF\\BC,所以0£L平面PAE,

又DF平面户D,

从而平面也平面PAE.

因此选项B,C均正确.

6.如图，在中，NZC6=90°,26=8,^ABC=60°,QUL平面ABC,PC=4,"是边AB

上的一个动点，则。例的最小值为.

解析：作CHVAB^-H,连接因为PCA.^ABC,所以PHlAB,PH为Q/M的最小值，等于

2错误!.

答案：2错误!

7.如图所示，在四棱锥2/6。中，必1，底面ABCD,且底面各边都相等，例是边QC上的一动点，

当点例满足时，平面"6。，平面PCD只要填写一个你认为是正确的条件即可）

解析:

连接AC,BD,则ACA.BD,因为必1，底面ABCD,所以PAlBD又PA（\AC=A,所以82L平面

必1C,所以60LQC所以当DMLPC（或BM工PC）时,即有Pd平面MBD.

而PC平面PCD,所以平面例8。,平面PCD.

答案：DMVPC［或BM±PC）

8.如图，必_1。。所在平面，Z8是。。的直径，。是。。上一点，AEVPC,ZELP8,给出下歹IJ

结论：1/口8「；2EF，PB;3AFYBC-,42□平面%U,其中正确结论的序号是_______.

解析：1AE平面PAC,BC^AC,BC^PA^AE^BC,故1正确；2AELPC,AE^BC,PB平

面PBCnAElPB,AFS,PB,EF平面AEMEFlPB,故2正确；3若Zd8az£1平面PBC,则

AFW与已知矛盾，故3错误；由1可知4正确.

答案：124

9.如图，在多面体ABCDPE中,四边形Z6。和。国都是直角梯形，AB\\DC,PE\\DC,ADV

DC,Q。，平面ABCD,/6=PD=DA=2PE,CD=3PE,F是CF的中点.

E

(1)求证：6G平面/。户；

(2)已知。是6。的中点，求证：6。，平面AOF.

证明：

(1)如图，取夕。的中点为G,连接FG.AG,

因为尸是上的中点，所以七是梯形。国的中位线，

因为CD=3PE,所以FG=2PE,

FGWCD,因为CDWAB,AB=2PE,

所以尸G,AB=FG,

即四边形28%是平行四边形，

所以6G/G,

又为错误!平面ADP,AG平面ADP,

所以6G平面力。氏

(2)延长力。交。于点例，连接BM,FM,

因为BAVAD,CDLDA,AB=AD,。为6。的中点，

所以Z8以。是正方形，则BDVAM,MD=2PE.

所以FMWPD,因为户。,平面ABCD,

所以初L平面ABCD,所以FMLBD,

因为AM(\FM=M,所以a?_L平面AMF,

所以60,平面/。月

10.（一题多解）如图1,在等腰梯形PDCB中,PB\\DC,PB=3,PC=1,乙DPB=45°,04

，所于点4将A必1。沿，。折起，构成如图2所示的四棱锥P-ABCD,^例在棱PB上，且户"=错误!

MB.

(1)求证：Q0II平面MAC-,

(2)若平面必I。，平面ABCD,求点/到平面Q8c的距离.

图2

解：(1)证明：在四棱锥226。中，连接BD交ZC于点/V,连接MN,

依题意知/例CD,

所以“BNsCDN,

所以错误！=错误！=2,

因为PM=错误!例6,

所以错误！=错误！=2,

所以在人自叨中，MNWPD,

又夕。错误!平面MAC,MN平面MAC.

所以平面/W4c

(2)法一：因为平面以1。，平面ABCD,且两平面相交于AD,PAVAD,PA平面PAD,

所以必1J_平面28。,

所以依45■错误!£"纥勿=错误！x错误！xl=错误!.

因为28=2,ZC=错误！=错误！，

所以％=错误！=错误！，QC=错误！=错误！，6C=错误！=错误！，

所以PB2=PC2+BC2,故乙PCB=90°,

记点力到平面Q8C的距离为h,

所以以户蛇=错误!\户始/7=错误！x错误！力

=错误!九

因为Vp-ABC-VA-PBC,

所以错误！=错误!力，解得力=错误!.

故点力到平面回。的距离为错误!,

法二：

因为平面外。_L平面ABCD,且两平面相交于AD,PAVAD,PA平面PAD,

所以以，平面26。，

因为踩平面26。，

所以必|J_跋，

因为26=2,错误！=错误！，

8C=错误！=错误！，

所以NZ3=90°,即BCVAC,

XPA（\AC^A,PA,AC平面外C,

所以平面PAC,

过点力作2口%于点巳贝U6—力巳

因为P6BC=C,PC,BC平面PBC,

所以/口平面演C,

所以点Z到平面Q8C的距离为，£=错误！=错误！=错误!.

［综合题组练］

1.如图，边长为a的等边三角形Z&7的中线/尸与中位线交于点G,已知△/'£?£是A/OP绕

OF旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（）

1动点4在平面上的射影在线段，尸上；

2601平面ADE-,

3三棱锥4-任。的体积有最大值.

A.1B.12

C.123D.23

解析：选C.1中由已知可得平面4柘，平面，6C,

所以点4在平面Z6C上的射影在线段Z尸上.

2BCWDE,根据线面平行的判定定理可得8G平面ADE.

3当平面4。口平面/6U时，三棱锥的体积达到最大，故选C.

2.如图，梯形26。中，ADWBC,^ABC=90°,AD-BC:AB=2:3:4,尸分别是Z8,

。的中点，将四边形力。岳沿直线）进行翻折,给出下列四个结论:\DF1BC;2BDLFC：3平面

BDFV平面BCF]4平面DCFV平面BCF,则上述结论可能正确的是（）

A.13B.23

C.24D.34

解析：选B.对于1,因为BCWAD,2。与。尸相交但不垂直,所以BC与。尸不垂直，则1不成立;

对于2,设点。在平面66上的射影为点P,当夕LC厂时就有BD^FC,而Z。：6C:/6=2:3:4

可使条件满足，所以2正确；对于3,当点。在平面66上的射影。落在8尸上时，DP平面BDF,从

而平面平面BCF,所以3正确；对于4,因为点。在平面8c尸上的射影不可能在FCh,所以4

不成立.

3.在矩形Z8。中，AB<8C,现将沿矩形的对角线8。所在的直线进行翻折，在翻折的过

程中，给出下列结论：

1存在某个位置，使得直线ZU与直线6。垂直；

2存在某个位置，使得直线Z8与直线。垂直；

3存在某个位置，使得直线2。与直线6C垂直.

其中正确结论的序号是.（写出所有正确结论的序号）

解析：1假设ZC与6。垂直，过点/作/口6。于点E,连接8则错误!今80,平面2g60,

CE,而在平面6。中，EC与8。不垂直，故假设不成立，1错.

2隹艮设AB1.CD,因为ABVAD,所以26,平面ACD,所以ABVAC,由AB<6c可知，存在这样

的等腰直角三角形，使ABVCD,故假设成立，2正确.

3假设

因为DCVBC,所以6cL平面ADC,

所以BCA.AC,即A/WC为直角三角形,且Z8为斜边，而AB<BC,故矛盾，假设不成立，3错.综

上，填2.

答案：2

4.如图，直三棱柱28Gzi81G中，侧棱长为2,/1C=BC=1,90°,。是