第1讲 三角形-人教版八年级数学上册暑假班教学案

三角形

多大脑体操）

字作业完成情况）

多教学目标）

1.认识三角形的概念及基本要素，并能用符号语言表示三角形及其基本要素教学难点；

2.能正确区分锐角三角形，直角三角形和钝角三角形；

3.理解三角形三边之间的关系，并能用于解决相关的问题；提高自主探.究的能力，增强学好数学的

信心。

至趣味引元）

■知识梳理）

1.三角形的定义：

由3条不在同一直线上的线段，首尾组成的封闭图形称为三角形。如下的图形就是一个三

角形。

2.三角形的各组成部分：

（1）边：组成三角形的三条线段如右所示：就是三角形的三条边；

（2）顶点：三角形任意两边的交点如右所示：均为三角形的顶点；

（3）通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△：'来表示一个三角形，在表示三角形时，

三个字母之间并无顺序关系如上图中，此三角形可以表示为,或或

(4)内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角。例如△ABC中，都是三

角形的内角。

3.三角形的分类：

［直角三角形

(1)按角分：三角形＜

斜三角形

不等边三角形

(2按边分：三角形4等腰三角形［腰"底

.(腰=底)

4.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

5.三角形重要线段：

(1)从三角形一个顶点向它的对边画______,以和为端点的线段叫做三角形这边上

的高.如图，若CD是△ABC中A3边上的高，则NAZJC_____NBDC=，C点到对边

AB的距离是的长。

(2)连结三角形的一个顶点和它.叫做三角形这边上的中线.

如右图，若8E是△ABC中AC边上的中线，则AE-EC=

(3)三角形一个角的与这个角的对边相交，以这个角的和为端点的线段叫做三

角形的角平分线.

一个角的平分线与三角形的角平分线的区别是。

如图，若AO是△4BC的角平分线，则______ZCAD^-或/BAC=2

2

2.

6.三角形内角和、外角性质

(1)三角形的内角和性质是o

(2)外角性质。

典例讲练)

1.三角形三边关系

【例1】有两根长度分别为4c>n和7cm的木棒，

①用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？

②长度为11cm的木棒呢？③长度为4c"7的木棒呢？

④什么长度范围的木棒，能与原来的两根木棒摆成三角形？

【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可

知①不能；②不能；③可以；④第三边长度<11CTO

答案：①不能；②不能；③可以；④3"〈第三边长度<11£772

练1.下列各组线段能组成一个三角形的是().

(A)3cm,3cm,6cm(B)2cm,3cm,6cm

(C)5cm,Scm,12cm(D)4cm,7cm,Wcm

【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可

知选C.

答案：C.

练2.若三角形的两边长分别为3和5,则其周长/的取值范围是().

(A)6</V15(B)6</<16

(Qll</<13(D)10</<16

【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

可得第三边长度的取值范围是3-7,所以周长的最小值是3+3+5=11；最大值是3+5+7=15。

答案：D.

【例2】若三角形三条边的长分别是7,10,x,求x的范围。

【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得

3Vx<17。

答案;3Vx<17

练3.已知：如图，尸是△ABC内一点.请想一个办法说明AB+AOP8+PC.

【解析】延长8P交AC于。.

•.•在中，AB+AD>BD=BP+PD,①

在△。尸C中，DP+DOPC,②

由①、②,

：.AB+(AD+DQ+DP>BP+PC+DP.

即AB+AC>PB+PC.

练4.下列长度的各组线段能否组成一个三角形？

(1)15cm、10cm>7cm；(2)4cm、5cm>10cm；

(3)3cm、8cm^5cm；(4)4cm、5cm、6cm.

【解析】根据三角形边的性质即：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

答案：(1)(4)

2.三角形有关线段

【例3】己知：如图，CE_LAB于E,AD_LBC于£>,N4=30。，求NC的度数.

【解析】在图中找出8字形，我们发现对顶角相等，都有90度，那么剩下两个角也相等。

答案:30°

练5.填空：

三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形

高在三角形内部的数量

高之间是否相交

高所在的直线是否相交

垂心的位置

【解析】根据三角形做高的方法可知。

答案：311

相交相交不相交

相交相交相交

内部直角顶点外部

练6.根据所给图形填空:

(1)在AA8C中，BC边上的高是.

(2)在AAEC中，AE边上的高是.人

(3)在△尸EC中，EC边上的高是.

(4)AB=S=2c,〃,AE=3c〃?。贝ijAAEC面积S=,CE=。冲

【解析】根据高的定义是从一个顶点到对边的垂线可知。

答案：(1)A5;(2)C£>;(3)AB;⑷3cm2,3cm,

【例4】已知：如图，在△ABC中，A£>、AE分别是△ABC的高和角平分线.

(1)若NB=30。，ZC=50°,求/D4E的度数.

(2)试问ZDAE与ZC-NB有怎样的数量关系?说明理由

【解析】根据三角形内角和180度能得出角8AC是100度，因为AE是角分线所以角E4C等

于50度，因为角D4C等于90度减去角C等于40度所以NOAE等于30-20=10度。

答案：(1)10°；(2)ZDAE=-i(ZC-ZB).

练7.下列说法正确的是()

人三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部

B.直角三角形只有一条高

C.三角形的三条高至少有一条在三角形内

D.钝角三角形的三条高均在三角形外

【解析】考察不同三角形的高线，中线，角平分线的位置，三角形的中线角平分线都在部；

锐角三角形高线在内部，直角三角形只有一条在内部，钝角三角形只有•条在内部。

答案：C

练8.下列说法正确的是()

A.三角形的中线就是过顶点平分对边的直线

B.任何三角形都有三条高.

C.三角形的角平分线就是三角形内角的平分线

。.任何三角形的三条高必交于一点

【解析】A中线为线段；B任何三角形都有三条高；C角的平分线为射线，三角形的平分线为

线段；钝角三角形的高不相交，高所在直线相交。

答案：B

【例5】如图，

(1)当_____=时，AO是三角形ABC的中线；

(2)当_____=时，EQ是三角形BEC的角平分线；

(3)当时，8。是4_____的高，又是△______的高。

【解析】考察三角形高线，中线，角平分线的定义。A

答案：(1)8。CD;⑵NBEDCED;(3))ABC,BEC.//T\\

BDC

3.三角形的内角和性质

练9.已知：如图，ZVIBC中，ZABC^ZC^ZBDC,ZA^ZABD,则/A=。

【解析】•J△ABC中，NABC=NC=NBDC,

：.AA8C和ABC。都是等腰三角形。

又•••NA=NABD,

，可设/A=x,ZC-2x,根据三角形内角和180度，可解得％=36。。

答案：36°

【例6】ZXA8C中，若/A+NC=2N8,则NB=.

【解析】根据三角形内角和180。可解。

答案：60°

练1O.Z\ABC中，若NA:NB:NC=1：2：3,则它们的相应邻补角的比为。

【解析】根据三角形内角和可求出三个内角为30。，60°,90。.则邻补角分别为150。，120。，90°.

答案：5：4：3

练12.如图，把矩形A8CQ沿EF对折后使两部分重合，若Nl=50。，则.

【解析】•/Z1—50°

ZBFE=ZEF8'=(180°-50°)/2=65°

-,-AD//BC

：.NBFE=NAEF=65。

答案:65°

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1.下列各组长度的3条线段，不能构成三角形的是（）

A,3an5cmiOcmB,5cm5cm9cm

C・4cm60n9cmD.2cm3cm4cm

2.l@］一个三角形，使它的三条边长分别为3cm、4cm、6cm.

A

3.如图，以NC为内角的三角形有和。在这两个三角形中，NC的对边分别为和

4.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长是5cm,则它的第三边长为。

5.如图，由12个边长为1有小正方形拼成1个长方形，过点A、B、C、D、E中的任意3点画

三角形，其中等腰三角的个数（）

A.1个8.2个C.3个D.4

6.一个等腰三角形的两边长分别是6cm和9cm,则它的周长是。

1.过直线外一点，如何画这条直线的垂线？你能通过折纸的方法得到这条垂线吗？如何画已

知角的角平分线？你能通过折纸的方法得到这个角的角平分线吗？

■当堂总胤

童家庭作豆

1.一个三角形的三个内角中（）

A.至少有一个钝角B.至少有一个直角C.至多有一个锐角D至少有两个锐角

2.下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,4,88.5,6,11C.1,2,3D.5,6,10

3.如图在△ABC中，NACB=90°,CO是边AB上的高。图中与N4相等的角是（）

A.ZBB.ZACDC.ZBCDD.NBDC

C

ZK

ADB

4.如图，AC±BD,DE±ABf下列叙述正确的是（）

A.ZA=ZBB./B=/DC.NA=N。D.ZA+ZD=90°

5.如图,NA+NB+NC+ND+NE+/”的和为（）

4.180。及360。C.540。0.720。

RFA

0

6.等腰三角形两边长分别为3,7,则它的周长为（）

A.13B.17C.13或17D不能确定

7.如图所示，在aABC中,NB=NC,FCBC,OEJ_AB,/AF£>=158。，则/ED尸=度.

A.58°B.68°C.78°D.32°

8.一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）

A.三角形A四边形C.五边形。.六边形

9.能将三角形面积平分的是三角形的（）

4角平分线8.高C.中线。.外角平分线

10.如图，AB//CD,NA=700,ZB=40°,则NACD=（）

A.55°B.700C.400D.110°

11.长为II,8,6,4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是。

12.一个多边形的内角和是外角和的3倍，它是（）边形；一个多边形的各内角都等于1200,它

是（）边形。

13.已知AABC为等腰三角形，①当它的两个边长分别为8a〃和3cm时，它的周长为；

②如果它的周长为18CM,一边的长为4cm,则腰长为.

14.如果一个多边形的每一外角都是24°,那么它边形

15.如图，Zl=Z2=30°,Z3=Z4,乙4=80°,则》=,y=

16.如图飞机要从A地飞往8地,因受大风影响，一开始就偏离航线（48）18。（即/A=18。）,飞到了C地,

已知NABC=10。，现在飞机要达到2地需以的角飞行（即N8CD的度数）.

18题图1?题图”

17.如图，△ABC中，高