初中数学案例分析

初中数学案例分析（一）

把活动还给学生

案例简述：

在讲授探索三角形全等的条件这一部分的内容时，新课改要求学生在实

际动手过程中思考，并最终得出三角形全等的条件，教材中设置了几个做一

做，已知几个边角条件，组织学生作出三角形，通过观察测量最后得出结论。

以此作为本节内容的探索过程。

在上本节内容之前，我有幸听了几位老师讲授关于探索三角形相似的课,

之后，我发现几节课存在着一个共同的问题：学生在老师的组织下作三角形,

之后在老师的要求下测量了三角形三边的长度，然后老师对测量的结果进行

了分析并做了总结，整个过程，学生动手的主动性没有充分调动，学生的思

维也非常压抑，使得学生对于老师得出的结论云里雾里，随声附和，整个探

索的活动过程不像是学生的学习过程，更像是课堂的一个组成部分。活动的

主体不是学生而是老师。

活动的主体应该是学生，活动过程中的思考空间也应该属于学生，其中最

关键的步骤是要让学生明白：自己现在正在做什么，为什么要这么做，下一

步要做什么，最终我们要通过活动得出什么结论。基于上述思考，对于探索

全等三角形全等的条件这一节内容，授课时在组织探索过程进行之前，我详

细有条理的说明了我们要做什么，为什么要这么做，最终要得到什么。具体

为：两个三角形三角相等三边相等，那么两个三角形全等，如果运用定义来

说明三角形全等非常麻烦，能不能运用尽可能少的条件证明两个三角形全等

呢？这几句话说出来很简单，但一定要取得学生的认同，达到思维上的共识。

之后告诉学生：如果我们利用已知条件作出的三角形一模一样，那么就可以

说明已知的条件可以证明三角形全等，如果作出的三角形不一样，那么已知

的条件不足以证明三角形全等，在学生认同了这一点之后再进行探索活动。

我想如果把这个活动看作是一个游戏的话，在游戏之前让每一个学生都明白

这个游戏的游戏规则非常重要，只有这样才会有更多的学生真正地参与到活

动中来。这样的活动才是属于学生的，这样的课堂也才会属于学生。

初中数学案例分析（二）

把思维的权力留给学生

案例简述：

在讲授一元一次方程的应用时有这样一道题目：一个角的补角比这个角大

40度，这个角是多少度？这道题的解题步骤是：设这个角为X,则这个角的

补角为：180°—x,根据等量关系列方程得：180°-x-x=40°o学生听完部分

学生说懂了，还有一部分学生沉默不语，我正准备再讲一边，一位学生在下

面喊道：''老师，我还有一种方法〃。我点头，这位同学随即上黑板写出方程：

x+x+40°=180°o我还没有说话，下面很多同学喊道：''老师，我也是这样列

的〃。上黑板列方程的那位同学是这样说的：''设这个角为x,那么它的补角为

x+40°,根据等量关系列方程得：x+x+40°=180°\说罢，很多同学附和着：

''这种方法简单〃。

我很迷惘，补角表示为180°—x,与表示为x+40。，这两者到底有着怎样

的区别？，前者要求学生用字母表示未知量，与后者相比前者对学生的思维

要求更高一点。于是我想：对于一道针对新知识的应用题目，学生运用已有

知识可以解决，再要求学生运用对于他们来说陌生的复杂的思维去思考是没

有必要的，这样的题目无益于对新知识的理解掌握，相反会让学生无所适从,

练习的过程是学生思维提升的过程，而这样的题目显然有碍于学生思维的发

展，我想在学生原有知识的基础上符合学生思维习惯的题目更有益于学生思

维的提升和知识的建构。所以在教给学生知识之前应该下大功夫去研究学生

的知识体系。以便更加有效的调动学生的思维，更快更好的促进学生的发展。

回想那一节课，如果我稍微急躁就变成了课堂的霸王和思维的镇压者。我

深深的意识到：在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际

关系氛围。尊重是进行一切活动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才

能做到平等，学生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚

至被耻笑的现象。在课程实施中学生能够平等地参与，学生不应该是老师教

会的，而是他们自己学会的。否则知识永远不是他们自己的，迟早要还给老

师。民主是现代课程中的重要理念，如果没有民主，学生的参与就不是主动

性参与，而是被动的、消极的参与。

以学生为主体的课堂不应该只停留在形式上,更应该从思想上达到真正的

转变，把课堂那一片天空留给学生，让他们有更多机会展翅翱翔。

初中数学案例分析（三）

学生积极参与教学的感悟

【案例简述】

我在进行数学七年级上册一元一次不等式的应用教学时，在拓展思维环节

举出了下面这样一个例题，随着教学过程的深入，很有感想：……

例题：在一个双休日，某公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船

游园，公司先派一个人去了解船只的租金情况，这个人看到的租金价格如下

表所示：船型每只船载人数租金大船53元小船32元请你帮助设计

一下：怎样的租船才能使所付租金最少？（严禁超载）……

师：谁能公布一下自己的设计方案？（学生都在紧张的思考中）（突然

间，我发现一名平时学习较困难的学生这次第一个举起了手，很惊奇，便马

上让他发言了。也有了我思想上的一次飞跃。）

生：我认为可以租大船，可以租小船，也可以大船和小船合租！（这时,

教室里哄堂大笑，这位学生顿时有些难堪，想坐下去，我赶紧制止。）

师：很好！你为他们设计了三种方案。那你能不能再具体为他们计算出租

金呢？

生（一下子来劲了）：如果租大船，则需要船只数为48/5=9.6只，因为

不能超载，所以租大船需10只，则所付租金要3x10=30元。如果租小船，

则需要船只数为48/3=16只，则所付租金要16x2=32元。如果既租大船又租

小船……（说到这里，该生卡了壳）

（我边认真听，边将他的方案结论板书在黑板上，看见卡了壳，便赶紧答

上话）

师：刚才XXX同学真的不错，不但一下子设计了三种方案，还差不多完成

了全部租金的计算，我和全班同学都为你今天的表现感到非常高兴（教室里

响起一片掌声）。要有勇气展示自己，你今天的表现就非常非常地出色，你今

后的表现一定会更出色。好，下面我就让我们一同把剩下的一种方案的租金

来完成吧。

（在师生的共同研讨中得出）：设租用X只大船，Y只小船，所付租金

为A元。则：5X+3Y=48A=3X+2Y得至I」：A=1/3X+32因为：0<5X

<48且X为正整数所以：X=9时，A最小值=29即租用9只大船和1

只小船时，所付租金最少，最少租金为29元。此时有45人（5x9）坐大船，

有3人坐小船。……师：今天的课程内容还有一项，那就是请xxx同学（示

意刚才的同学）谈谈这堂课的感想。生：……以前我不敢发言，我怕说的不

对会被同学们笑话，而今天的游船题目恰好是我前几天才去坐过的，所以一

下子……我今天才发现不是这样……我今后还会努力发言的……

【案例分析】

从这一个学生的举手发言到说得头头是道的“意外”中，让教师明白了：学

生需要一个能充分展示自我的自由空间，作为老师，我们需要给学生一个自

由的民主的氛围，能充分培养学生的自信，使“学困生”也能产生发言的欲望，

也能对问题畅所欲言，教师还应能及时捕捉到这一闪光点，给每一位学生都

有展示的机会。也就是说要使学生全部积极参与教学，因为它集中体现了现

代课程理念：活动、民主、自由。

1、民主是现代课程中的重要理念。民主最直接的体现是在课程实施中学

生能够平等地参与。没有主动参与，只有被动接受，就没有民主可言。相反,

如果没有民主，学生的参与就不是主动性参与，而是被动的、消极的参与。

在课程进行中，教师应形成一种有利于学生主动参与的人际关系氛围。尊重

是进行一切活动的前提，只有尊重学生，才能理解学生，才能做到平等，学

生才会感到安全，才不会出现有的学生被冷落，被讽刺，甚至被耻笑的现象。

2、在提问时，应设计开放性的问题，如：“请你帮助设计一下，怎样租

用，才能使所付租金最少？”这样才没有限制学生的思维，给学生创设一个自

由的空间，学生在这个空间中可以按自己的方式展开想象，才能畅所欲言。

3、在课堂上，老师应不只关注“优等生”，而应平等地对待每一个学生，

让学困生”和“学优生”同时享有尊严和拥有一份自信。特别是发现到一个学困

生在举了手时，应及时给“学困生”展示的机会，让他们发言，学生在发言中，

虽然有时不能把问题完全解决，老师也要充分的肯定这个学生的成绩和能够

大胆发言的勇气。

《圆周角》教学一一利用多媒体技术进行的探索发现学习

【案例实录】

教学过程：

1.习旧引新

(1)在。。上，任到三个点A、B、C,然后顺次连接，得到的是

什么图形？这个图形与。0有什么关系？

⑵由圆内接三角形的概念，能否得出什么叫圆的内接四边形呢(类

比）?

2.概念学习

（1）什么叫圆的内接四边形？

（2）如图1,说明四边形ABCD与。0的关系。

3.探讨性质

⑴前面我们已经学习了一类特殊四边形--平行四边形，矩形，菱

形，正方形，等腰梯形的性质，那么要探讨圆内接四边形的性质，一般要

从哪几个方面入手？

⑵打开《几何画板》，让学生动手任意画。0和。0的内接四边形

ABCDo（教师适当指导）

⑶量出可测量的所有值（圆的半径和四边形的边，内角，对角线，

周长，面积）,并观察这些量之间的关系。

（4）改变圆的半径大小，这些量有无变化？由（3）观察得出的某些关

系有无变化？

⑸移动四边形的一个顶点，这些量有无变化？由（3）观察得出的某

些关系有无变化？移动四边形的四个顶点呢？移动三个顶点呢？

（6）如何用命题的形式表述刚才的实验得出来的结论呢?（让学生回

答）

4.性质的证明及巩固练习

⑴证明猜想

已知：如图1,四边形ABCD内接于OO-求证：NBAD+N

BCD=180°,NABC+NADC=180°。

⑵完善性质

①若将线段BC延长到E（如图2）,那么，NDCE与ZBAD又有

什么关系呢？

②圆的内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任

何一个外角都等于它的内对角。

⑶练习

①已知：在圆内接四边形ABCD中，已知ZA=50°,ZD-ZB=40°,

求ZB,ZC,ZD的度数。

②已知：如图3,以等腰AABC的底边BC为直径的OO分别交

两腰AB,AC于点E,D,连结DE,

求证：DE〃:BCo（演示作业本）

5.例题讲解

引例已知：如图4,AD是4ABC中ZBAC的平分线，它与△

ABC的外接圆交于点D。

求证：DB=DC0（引例由学生证明并板演）

教师先评价学生的板演情况，然后提出，若将已知中的“AD是△

ABC中的ZBAC的平分线”改为“AD是4ABC的外角ZEAC的平

分线”，又该如何证明？引出例题。

例已知：如图5,AD是AABC的外角ZEAC的平分线，与△

ABC的外接圆交于点D,

求证：DB=DCo

6.小结：为了使学生对所学的内容有一个完整而深刻的印象，让学生

组成小组，从概念，性质，方法，特殊性进行讨论，然后对讨论的结果进

行归纳。

⑴本节课我们学习了圆内接四边形的概念和圆内接四边形的和要性

质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形的外接圆的概念，理解圆内接

四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关命题的证明和计算。

⑵我们结合《几何画板》的使用导出了圆内接四边形的性质，在这一

过程中用到了许多数学方法（实验，观察，类比，分析，归纳，猜想等）,

同学们要逐步学会用并关于应用这些方法去探讨有关的数学问题，提高我们

的数学实践能力与创新能力。

7.作业

（1）如图6,在等腰直角AABC中，NC=90。，以AC为弦的分

别交BC,AB于D,E,连结DE。求证：ABDE是等腰直角三角形。

⑵已知：。0和OO'相交于A,B两点，经过A,B两点分别作直

线CD和EF,CD交。0,。0'于C,D,EF交。0,。0'于E,F,连结

CE,AB,DF0

问：当CD和EF满足怎样的条件时，四边形CEDF是怎样的特殊

四边形？并证明所得的结论。（选做）

【案例分析】

这一教学案例当然不能被看作是培养学生创新意识的初中数学课堂教

学的范例，其中许多环节还需要进一步改进完善。但其较为真实地反映了目

前数学课堂教学的一些情况，一些教学环节的处理还是值得肯定的。

1.突出了数学课堂教学中的探索性

关于圆的内接四边形性质的引出，在本教学案例上没有像教材那样直

接给出定理，然后证明；而是利用《几何画板》采取了让学生动手画一画，

量一量的方式，使学生通过对直观图形的观察归纳和猜想，自己去发现结

论，并用命题的形式表述结论。关于圆内接四边形性质的证明，没有采用教

师给学生演示定理证明，而是引导学生证明猜想，并做了进一步的完善。这

种探索性的数学教学方式在其后的例题讲解中亦得到了进一步的贯彻。这样

既调动了学生学习数学的积极性和主动性，增强了学生参与数学活动的意

识，又培养了学生的动手实践能力。同时，也向学生渗透了实践--认识

--再实践--再认识的辩证观点。一方面，使数学不再是一门单调枯燥，

缺乏直观印象的高度抽象的学科，通过提供生动活泼的直观演示，让学生

多角度，快节奏地去认识教学内容，达到事半功倍的教学效果；另一方面，

计算机所特有的，对数学活动过程的展示，对数学细节问题的处理可以使

学生体验到用运动的观点来研究图形的思想，让学生充分感受到发现总是代

和解决问题带来的愉悦，培养学生的数学创新意识。

2.引进了计算机《几何画板》技术

本课例在引导学生得出圆内接四边形的性质时，通过使用《几何画板》，

从而实现了改变圆的半径，移动四边形的顶点等，从而使初中平面几何教

学发生了重大的变化，那就是让图形出来说话，充分调动学生的直觉思维。

这样一来不仅极大地激发了学生学习的兴趣，而且比过去的教学更能够使学

生深刻地理解几何。当然，本教学案例在这方面的探索还是初步的，设想今

后通过计算机技术的进一步开发与应用，初中平面几何课能够给学生更多动

手的机会，让学生以研究的方式学习几何，进一步突出学生在学习中的主

体地位。

3.引入了数学开放题

本教学案例在增大数学课堂教学的探索性，计算机技术进入数学课堂

的同时，在学生作业中还增加了开放题（作业2）,为学生创造了更为广阔

的思维空间，对此应大力提倡。目前，世界各国在数学教育改革中都十分强

调高层次思维能力的培养，这些高层次思维能力包括了推理，交流，概括

和解决问题等方面的能力。要提高学生这种高层次的思维，在数学课堂教学

中引进开放性问题是十分有益的。我国的数学题一直是化归型的，即将结论

化归为条件，所求的对象化归为已知的结果。这种只考查逻辑连接的能力固

然重要，并且永远是主要部分，但是，它不能是惟一的。单一的题型已经严

惩阻碍了学生数学创新能力的培养。

在数学教学中还可将一些常规性题目发行为开放题。如教材中有这样一

个平面几何题“证明：顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行

四边形。”这是一个常规性题目，我们可以把它发行为“画一个四边形是什

么样的特殊四边形，并加以证明。”我们还可用计算机来演示一个形状不断

变化的四边形，让学生观察它们四条边中点的连线组成一个什么样的特殊四

边形，在学生完成猜想和证明过程后，我们进而可提出如下问题：”要使顺

次连接四条边的中点所得的四边形是菱形，那么对原来的四边形应有哪些新

的要求？如果要使所得的四边形是正方形，还需要有什么新的要求？”通

过这些改造，常规题便具有了“开放题”的形式，例题的功能也可更充分地

发挥。

在此，我们进一步强调培养学生创新意识的数学课堂教学，不应仅仅

把开放题作为一种习题形式，而应作为一咱教学思想。这种教学思想反映了

数学教学观的转变，这主要反映在开放性问题强调了数学知识的整体性，

数学教学的思维性，数学解决问题的过程性，强调了学生在教学活动中的

主体作用于以及有利于提高学生学习的乐趣，提高了学生学习的内在动力

4.学生学习方式被确定为“发现学习”

在学习理论上，按不同的学习方式，可分为接受学习(reception

learning)和发现学习(discoverylearning)。所谓接受学习，是指学习者将别

人的经验变成自己的经验的时候，所学习的内容是以定论或确定的形式通过

传授者的传授，不需要自己任何方式的独立发现；发现学习则是由学习者

自己发现问题和解决问题的一种学习方式，在课堂教学中则主要是指发现学

习。尽管发现学习效率比接受学习的效率低，但却十分有利于培养学生发现

与创新的意识，鉴于初中学生的身心与教学内容特点，发现学习应是培养

创新意识的初中数学课堂教学中学生学习的主要方式。本教学案例中学生的

学被确定为发现学习，那么教师的教学行为就应根据学生的这一学习特点来

设计相应的教学方法以及教学的组织形式。即教师在指导学生学习概念和原

理时，只给他们一些事实和问题，让学生积极思考，独立探索，自己发现

并掌握相应的原理和规则。对此本教学案例中圆的内接四边形的概念、性质

等均没有直接给学生，而是在教师创设的问题情境中让学生发现而获得。但

不足的是本案例似乎在这方面还不够典型，学生学习积极性的发挥与调动亦

没有充分反映出来。这些问题都有待于我们继续进行深入的研究。

“有理数运算”应用题教学

【案例简述】

案例呈现问题情境：某股民在上星期五以每股27元的价格买进某股票

1000股。该股票的涨跌情况如下表（单位：元）。

星期--二三四五

每股涨跌+4+4.5-1-2.5-6

师：星期四收盘时，每股多少元？

提问生1、2：（疑惑不解状）。

生3：27-2.5=25.5（元）。

师：星期四收盘价实际上就是求有理数的和，应该为：（元）。

师：周二收盘价最高为35.5元；周五最低为26元。

师：已知该股民买进股票时付出了3%。的交易税，卖出股票时需付成效

额3%。的手续费和2%。的交易税，如果该股民在星期五收盘前将全部股票卖出，

他的收益情况如何？

提问生4、5（困惑状）。

生6：买入：27x1000x（1+3%。）=27081（元）；

卖出:26xl000x（l+3%o+2%o）=26130（元）；

收益：26130-27081=-951（元）。

师：生6的解答错了，正确解答为：

买入股票所化费的资金总额为：27x1000x（1+3%o）=27081（元）；

卖出股票时所得资金总额为：26xl000x（l-3%o-2%o）=25870（元）；

上周交易的收益为：25870-27081=-1211（元），实际亏损了1211元。

师：请听明白的同学举手。

此时课堂上约有三、四个学生举起了手，绝大部分学生眼中闪烁着疑惑

之意。有些学生在窃窃私语，有一学生轻声道：“老师，我听不懂！”……少部

分学生烦燥之意露于言表。

【案例分析】

1、《新课程标准》要求教师在教学时更关注学生的体验，要求问题的创

设揭示数学与生活实际密切相关，让学生认识到数学就在自己身边，数学与

人们的生活密不可分，从而激发学生学习数学的深感兴趣。本案例教师力图

贯彻新课程理念，试图联系生活，尝试在提出问题时逐步深入的基础上培养

学生用数学的意识，但实际上是“东施效颦”，形式上的一串串问题及解答让新

课程理念远离了课堂教学实际，教师虽对本题求解准确，但学生的接受与沟

通的效率低下，仅仅是教师用了自己在生活实践经验体会去审视数学问题。

教师感觉容易理解，而事实恰好相反，教师的讲述没有激化学生的思维活动,

一些在教师眼里显而易见的问题，对于学生来说很难。新课程理念倡导的是

改变教学内容机械化的呈现方式，应放手让学生自主探求，真正让学生在课

堂上的主体地位得到落实，教师的主导作用表现在组织者和引导者。

2、案例中学生数学“视界”的困惑

学生没有感知现实生活中的股票买进卖出，对教师在处理数学信息时认

为“自然”和“显然”的合情合理的推断存在的“症结”如下：

<1）表格中有理数正负号的实际意义如：+4表示每股涨了4元；一1

表示每股跌了1元。教师没有交待分析，学生理解较为困难。

(2)周四收盘时的股价是(元)，如何理解27元的概念？为什么不能

理解为：27—2.5=24.5(元)，周四的股票与前三天的股票涨跌存在什么关系？

〈3〉股票卖出时的26元数据是哪里来的？

(4)买入交易时交易税是付出3%。，卖出时付出的成交额的3%。和手续

费2%。，同是“付出了”，为什么理解的数学意义截然相反？

〈5〉如何理解一周股票收益的一1211元的实际意义？

3、案例启示

(1)关注课堂，走近学生

教师在授课时，不能照本宣科，每个学生的家庭背景、生活经验、数学