2025届新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直课件新人教A届选择性必修第一册

1．4空间向量的应用1．4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直素养目标•定方向

1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系．(重点、难点)

借助用空间向量证明线面和面面垂直的学习，提升数学运算和逻辑推理素养.必备知识•探新知

空间中垂直关系的向量表示知识点设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线垂直l1⊥l2⇔______________⇔__________________线面垂直l1⊥α⇔______________⇔__________________________面面垂直α⊥β⇔______________⇔__________________u1⊥u2u1·u2＝0u1∥n1∃λ∈R，u1＝λn1n1⊥n2n1·n2＝0思考：怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系？提示：(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行；(3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直．做一做：1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(

)(2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.(

)(3)两个平面垂直，则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直．(

)(4)若两平面α，β的法向量分别为μ1＝(1,0,1),μ2＝(0,2,0)，则平面α，β互相垂直．(

)×√×√提示：(1)两条直线可能异面垂直．(2)根据线面垂直的定义可知．(3)也可能平行．(4)由μ1·μ2＝0知μ1⊥μ2，从而α⊥β.C关键能力•攻重难1.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．求证：无论点E在边BC上的何处，都有PE⊥AF.题型探究题型一利用向量方法证明线线垂直[分析]

只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可．[规律方法]

利用向量方法证明线线垂直的方法(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．(2)基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直．

如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．求证：EF⊥BC.对点训练❶题型二利用向量方法证明线面垂直2．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱AB，BC，B1B的中点．求证：D1M⊥平面EFB1.[规律方法]

坐标法证明线面垂直的两种思路(1)根据线面垂直的判定定理证明：求出直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，并分别求出表示它们的方向向量，计算两组向量的数量积为0，得到该直线与平面内的两条相交直线都垂直．(2)法向量法：求出直线的方向向量与平面的法向量，向量法判断直线的方向向量与平面的法向量平行．

如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.对点训练❷[证明]

如图所示，取BC的中点O，连接AO.因为△ABC为正三角形，所以AO⊥BC.因为正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，题型三利用向量方法证明面面垂直3．如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.[分析]

建立空间直角坐标系，求出相应的坐标．思路一：在平面BDE内找到AS的平行线，根据AS⊥平面ABCD可得结论；思路二：分别求出平面BDE，平面ABCD的法向量，证明两个法向量垂直．[规律方法]

证明面面垂直的三种方法(1)证明其中一个平面过另一个平面的垂线，即转化为证明线面垂直．(2)证明两平面的法向量垂直．(3)证明一个平面的法向量平行于另一个平面．

如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.对点训练❸[证明]

由题意得AB，BC，B1B两两垂直．以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．课堂检测•固双基1．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么(

)A．l⊥α B．l∥αC．l⊂α D．l与α斜交[解析]

∵a·b＝－4＋4＝0，∴a⊥b，又∵l⊄α，∴l∥α.B2．若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2,0)