备考2025届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合

突破2概率与统计的综合1.第31届世界高校生夏季运动会（简称“成都大运会”）于2024年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关学问，营造良好的赛事氛围，某学校实行“大运会百科学问”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示（分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]）.（1）求频率分布直方图中a的值及这20名学生得分的80％分位数；（2）若从样本中任选2名得分在[50，70）内的学生，求这2人中恰有1人的得分在[60，70）内的概率.解析（1）由频率分布直方图知（2a＋0.020＋0.025＋0.035）×10＝1，所以a＝0.010.设80％分位数为x，由题图可知前3组的频率之和为0.65，前4组的频率之和为0.9，所以x∈[80，90），且x＝80＋0.8－0故这20名学生得分的80％分位数为86.（2）由已知可得得分在[50，60）内的学生人数为0.01×10×20＝2，得分在[60，70）内的学生人数为0.02×10×20＝4.解法一（列举法）记得分在[50，60）内的学生为a，b，得分在[60，70）内的学生为c，d，e，f.则全部的样本点为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15个.其中恰有1人的得分在[60，70）内的样本点为{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，共8个.故这2人中恰有1人的得分在[60，70）内的概率P＝815解法二（排列组合法）从这6人中任选2人，全部基本领件种数为C62＝15，满意题意的基本领件种数为C41C21＝8，故这2人中恰有1人的得分在[602.在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的宠爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试.已知A校接受大单元复习教学法，B校接受传统的复习教学法.在阅历两个月的实践后实行了考试，现从A，B两校高三年级各随机抽取100名学生，统计他们的数学成果（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：[0，90）[90，110）[110，130）[130，150]A校6145030B校14263822（1）若把数学成果不低于110分评定为数学成果优秀，低于110分评定为数学成果不优秀，完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关；单位：人数学成果不优秀数学成果优秀总计A校B校总计（2）在A校抽取的100名学生中按分层随机抽样的方法从成果在[0，90）和[90，110）内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成果在[0，90）内的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.010.001xα2.7066.63510.828解析（1）由题意完成2×2列联表如下：单位：人数学成果不优秀数学成果优秀总计A校2080100B校4060100总计60140200零假设为H0：复习教学法与评定结果无关.则χ2＝200×（20×60－40故依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）按分层随机抽样的方法从成果在[0，90）和[90，110）内的学生中随机抽取10人，则成果在[0，90）内的人数为3，成果在[90，110）内的人数为7，故X的全部可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C30C73C103＝724，P（X＝1）＝C31C72C103＝2140，P（X＝故X的分布列为X0123P72171E（X）＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×13.[2024广西玉林模拟]2024年5月10日，长征七号遥七运载火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运输补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探究宇宙奇异供应强有力的后援支持.5月30日，神舟十六号放射胜利.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺当进入太空，开启为期5个月的太空科研之旅.某校部分学生特殊关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下表所示：单位：人航天达人非航天达人合计男8040120女305080合计11090200（1）依据小概率值α＝0.01的2独立性检验，能否认为是否为“航天达人”与性别有关联？（2）①从随机抽取的这200名学生中接受分层随机抽样的方法抽取20人，再从这20人中随机抽取3人.记事务A＝“至少有2名是男生”，事务B＝“至少有2名既是‘航天达人’又是男生”，事务C＝“至多有1名既是‘航天达人’又是女生”.试计算PAPBAPC②由①中P（ABC）与P（A）P（B｜A）P（C｜AB）的大小关系能否推广到更一般的情形？请写出结论，并说明理由.参考公式及数据：χ2＝n（ad－bc）2（a＋bα0.100.050.01xα2.7063.8416.635解析（1）零假设为H0：是否为“航天达人”与性别无关联.依据表中数据计算得2＝200×（80×50－40×所以依据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，我们推断H0即认为是否为“航天达人”与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）由题意可知：抽取的20人中，男“航天达人”有8人，男“非航天达人”有4人，女“航天达人”有3人，女“非航天达人”有5人.①事务ABC表示“抽取的3人为2名男生1名女生，男生都是‘航天达人’”和“抽取的3人为3名男生，其中至少2人是‘航天达人’”，设D＝“抽取的3人为2名男生1名女生，男生都是‘航天达人’”，E＝“抽取的3人为3名男生，其中至少2人是‘航天达人’”，P（D）＝C82（C31＋C51）C所以P（ABC）＝P（D）＋P（E）＝56285＋1495＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝C122C81＋C所以P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.②由①中P（ABC）与P（A）P（B｜A）P（C｜AB）相等的关系可以推广到更一般的情形，即对于一般的三个事务A，B，C，有P（ABC）＝P（A）P（B｜A）P（C｜AB）.理由是：P（A）P（B｜A）P（C｜AB）＝P（A）·P（AB）P（A）·4.[2024河南驻马店6月模拟]2024年是充溢挑战的一年，为应对困难的经济形势，各地出台了促进经济发展的各项政策，并取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销活动，活动之初，利用各种媒体进行了大量的广告宣扬，为了解传媒对本次促销活动的影响，在本市内随机抽取了6个大型零售卖场（分别编号为1，2，3，…，6），得到其宣扬费用x（单位：万元）和销售额y（单位：万元）的数据如下：123456x/万元2356812y/万元303440455060（1）求y关于x的阅历回来方程，并预料当宣扬费用至少多少万元时（结果取整数），销售额能突破100万元.（2）经济活动中，人们往往关注投入和产出比值，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣扬费用的比值为λ，若λ＞10，称这次宣扬策划是高效的；否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家.①若抽取的3家中含有宣扬策划高效的卖场，求抽取的3家中恰有一家是宣扬策划高效卖场的概率；②若抽取的3家卖场中宣扬策划高效的有X家，求X的分布列和数学期望.附：参考数据∑i=16xiyi＝1752，阅历回来方程y＝b^x＋a中b^和a的最小二乘估计分别为b^＝∑i解析（1）x＝2+3+5+6+8+126＝6y＝30+34+40+45+50+606＝259∑i=16xi2＝22＋32＋52＋62＋82所以b^＝∑i=16xa＝y－b^x＝2596－3×6＝1516，所以y＝3令3x＋1516＝100，解得x＝44918故预料当宣扬费用至少为25万元时，销售额能突破100万元.（2）①记事务A为“抽取的3家中含有宣扬策划高效的卖场”，事务B为“抽取的3家卖场中恰有1家为宣扬策划高效卖场”，由已知数据，卖场1，2的宣扬策划是高效的，卖场3，4，5，6的宣扬策划是非高效的，P（A）＝C42C21＋C41C22C63＝45，P（故所求概率为34②由题意知X的全部可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝C43C63＝15，P（X＝1）＝C42C21C6故X的分布列为X012P131所以E（X）＝0×15＋1×35＋2×1（【另解】X听从超几何分布H（6，2，3），所以E（X）＝3×265.某次考试中500名学生的物理成果（满分为150分）听从正态分布N（100，17.52），数学成果的频率分布直方图如图所示.（1）假如成果大于135分为特殊优秀，那么本次考试中物理、数学特殊优秀的学生大约各有多少人？（2）假如物理和数学两科都特殊优秀的学生共有6人，从（1）中的这些学生中随机抽取3人，设3人中两科都特殊优秀的学生有X人，求X的分布列和数学期望.（3）依据以上数据及小概率值α＝0.001的独立性检验，是否可以认为物理特殊优秀的学生，数学也特殊优秀？附：①若X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545.②χ2＝n（ad－bc）2（a＋b③α0.010.0050.001xα6.6357.87910.828解析（1）因为物理成果（记为Y）听从正态分布N（100，17.52），所以物理特殊优秀的概率为P（Y＞135）≈（1－0.9545）×12＝0.02275数学特殊优秀的概率为0.0016×20×34＝0.024故物理特殊优秀的学生大约有500×0.02275≈11（人），数学特殊优秀的学生大约有500×0.024＝12（人）.（2）物理和数学两科都特殊优秀的学生有6人，则由（1）可知只有一科特殊优秀的学生有11人.X的全部可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C113C173＝33136，P（X＝1P（X＝2）＝C111C62C173＝33136，P（所以X的分布列为X0123P3333331则E（X）＝0×33136＋1×3368＋2×33136＋3×1（3）填写2×2列联表如下：单位：人物理特殊优秀物理不特殊优秀合计数学特殊优秀6612数学不特殊优秀5483488合计11489500零假设为H0：物理特殊优秀与数学特殊优秀独立.依据列联表中数据，得χ2＝500×（6×483－6依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为物理特殊优秀的学生，数学也特殊优秀，该推断犯错误的概率不大于0.001.6.[2024广东七校联考]规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回地任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮.假如每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为胜利，否则记为失败.在抽取过程中，假如某一轮胜利，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断接着下去，直至胜利.（1）某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不胜利，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.（2）为验证抽球试验胜利的概率不超过12，有1000名数学爱好者独立进行该抽球试验，记t表示胜利时抽球试验的轮次数，yt12345y23298604020求y关于t的阅历回来方程y＝b^t＋a，并预料胜利的总人数（精确到1（3）证明：122＋（1－122）132＋（1－122）（1－132）142＋…＋（1－122）（1－附：阅历回来方程y＝b^x＋a的系数b^＝∑i=1nxi参考数据：i=15xi2≈1.46，x≈0.46，x2≈0.212（其中xi＝1t解析（1）由题意知，X的全部可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝（1C21）2P（X＝2）＝[1－（1C21）2]（1C3P（X＝3）＝[1－（1C21）2][1－（1C31所以X的分布列为X123P112所以X的数学期望E（X）＝1×14＋2×112＋3×23＝3+2+24（2）令xi＝1ti，由题知，∑i=15xiyi＝∑i=1所以b^＝∑i=15xiy所以a＝90－270×0.46＝－34.2，y＝270x－34.2，故所求的阅历回来方程为y＝270t－34.2所以