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文档简介
第6讲空间角和空间距离1.[2024广西联考]如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是(C)A.π6 B.π4 C.π3 解析解法一(几何法)如图1,将直三棱柱补形为正方体ACBD-A1C1B1D1,连接BD1,AD1,则D1B∥A1C,所以异面直线A1C与AB所成的角即直线D1B与AB所成的角,在三角形D1AB中,D1A=BD1=AB=2,所以异面直线A1C与AB所成的角为π3.故选C. 图解法二(坐标法)如图2,以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,1),AB=(-1,1,0),A1C=(-1,0,-1),所以异面直线A1C与AB所成角的余弦值为cosα=|A1C·AB||A1C|×|AB|=12(α为异面直线A1C与AB所成的角),所以异面直线A1C与解法三(基底法)设CA=a,CB=b,CC1=c,则A1C=-a-c,AB=-a+b,因为|A1C|2=(-a-c)2=a2+c2=2,所以|A1C|=2,同理|AB|=2,又A1C·AB=(-a-c)·(-a+b)=1,所以异面直线A1C与AB所成角的余弦值为cosα=|A1C·AB||A1C|2.[2024河北邢台南宫中学模拟]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PB⊥底面ABCD,AC=8,BD=PB=4,E为棱PB的中点,F为线段CE的中点,则点F到平面PAD的距离为(B)A.53 B.2 C.73 解析设AC与BD交于点O,连接DF.由底面ABCD为菱形,知AC⊥BD,以O为坐标原点,以OA为x轴,OD为y轴,过O点且垂直于底面ABCD的直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(4,0,0),C(-4,0,0),D(0,2,0),P(0,-2,4),E(0,-2,2),AD=(-4,2,0),PA=(4,2,-4).设平面PAD的法向量为m=(x,y,z),则m·AD=-4x+2y=0,m·PA=4x+2y-4z=0,令x=1,得m=(1,2,2)是平面PAD的一个法向量.易知点F的坐标为(-2,-1,1),所以DF3.[2024湖北罗田一中模拟]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,E为CC1的中点,则点E到直线AC1的距离为(D)A.233 B.33 C.35解析设AB=a,AD=b,AA1=c,因为AB=AD=AA1=1,∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=60°,所以a·b=a·c=b·c=1×1×12=12,因为AC1=AB+BC+CC1=a+b+c,CC1=c,所以AC1·CC1=(a+b+c)·c=a·c+b·c+c2=12+12+1=2,|AC1|=(a+b+c)2=a2+b2+所以点E到直线AC1的距离为|EC1|sin∠AC1C=12×334.[2024青岛市检测]如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BB1=2,BC=4,AB1与A1B交于点E,点F为BC的中点.(1)求证:AE⊥平面A1BC.(2)求平面AEF与平面AA1C的夹角的余弦值.解析(1)因为BC⊥平面ABB1A1,AE⊂平面ABB1A1,所以BC⊥AE.因为四边形ABB1A1为正方形,所以AE⊥A1B,又BC∩A1B=B,BC,A1B⊂平面A1BC,所以AE⊥平面A1BC.(2)以A为坐标原点,AB,AD,AA1的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0A1(0,0,2),E(1,0,1),C(2,4,0),F(2,2,0).AE=(1,0,1),AF=(2,2,0),AA1=(0,0,2),AC=(2,4,0设平面AEF的法向量为n=(x1,y1,z1),则n·AE=x1+z1=0,n·AF=2x1+2y1=0,取x1=1,则y1=-1设平面AA1C的法向量为m=(x2,y2,z2),则m·AA1=2z2=0,m·AC=2x2+4y2=0,取x2=2,则y2=-1,|cos<m,n>|=|2+1|3所以平面AEF与平面AA1C的夹角的余弦值为1555.[2024新高考卷Ⅱ]如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点.(1)证明:BC⊥DA.(2)点F满意EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.解析(1)如图,连接DE,AE,因为DC=DB,且E为BC的中点,所以DE⊥BC.因为∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,DC=DB,所以△ADB≌△ADC(SAS).可得AC=AB,故AE⊥BC.因为DE∩AE=E,DE,AE⊂平面ADE,所以BC⊥平面ADE.又DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA.(2)由(1)知,DE⊥BC,AE⊥BC.不妨设DA=DB=DC=2,因为∠ADB=∠ADC=60°,所以AB=AC=2.由题可知△DBC为等腰直角三角形,故DE=EB=EC=2.因为AE⊥BC,所以AE=AB2-在△ADE中,AE2+ED2=AD2,所以AE⊥ED.以E为坐标原点,ED所在直线为x轴,EB所在直线为y轴,EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则E(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0),A(0,0,2),DA=(-2,0,2),BA=(0,-2,2).设F(xF,yF,zF),因为EF=DA,所以(xF,yF,zF)=(-2,0,2),可得F(-2,0,2).(速解:因为EF=DA,所以四边形EDAF为平行四边形,可得F的坐标)所以FA=(2,0,0).设平面DAB的法向量为m=(x1,y1,z1),则DA·m=0,BA·m=0,即-2x1+2z1=0,-2y1+2z1设平面ABF的法向量为n=(x2,y2,z2),则FA·n=0,BA·n=0,即2x2=0,-2y2+2z2=0,得x2=0所以cos〈m,n〉=m·n|m|·|n|=23×2=63.记二面角D-AB-故二面角D-AB-F的正弦值为33.6.[2024安徽六校联考]如图,圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1ACC1,AC=2AA1=2A1C1=4,B为下底面圆周上异于A,C的点.(1)点P为线段BC的中点,证明:直线PC1∥平面AA1B.(2)若四棱锥B-A1ACC1的体积为23,求直线AB与平面C1CB夹角的正弦值.解析(1)如图1,取AB的中点H,连接A1H,PH,则PH∥AC,PH=12AC,在等腰梯形A1ACC1中,AC=2A1C1,所以HP∥A1C1,HP=A1C1,则四边形A1C1PH为平行四边形,所以C1P∥A1H,又A1H⊂平面A1AB,C1P⊄平面A1AB, 图1所以C1P∥平面A1AB.(2)过点B作BO'⊥AC,交AC于点O',易知BO'⊥平面A1ACC1.因为在等腰梯形A1ACC1中,AC=2AA1=2A1C1=4,所以该梯形的高h=3,所以等腰梯形A1ACC1的面积S=12×(2+4)×3=33所以四棱锥B-A1ACC1的体积V=13S×BO'=13×33×BO'=23,解得BO'=2所以点O'与O2重合.连接O1O2,以O2为坐标原点,O2B,O2C,O2O1的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图则C(0,2,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),A1(0,-1,3),C1(0,1,3),AB=(2,2,0),CC1=(0,-1,3),BC=(-2,2,0设a=AB,平面C1CB的法向量为b=(x,y,z),则CC1·b=0,BC·b=0,即-y+3z=0,-2x+2y=0,设直线AB与平面C1CB的夹角为α,则sinα=|cos<a,b>|=|a·b||故直线AB与平面C1CB夹角的正弦值为4277.[2024济南市摸底考试]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AD=3,点F是棱PD的中点,点E是棱DC上一点.(1)证明:AF⊥EF;(2)若直线BP与平面AEF所成角的正弦值为2211,求点B到平面AEF的距离解析(1)在正方形ABCD中,有AD⊥CD.因为PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD.又AD∩PA=A,AD,PA⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,所以CD⊥AF.因为PA=AD,点F是棱PD的中点,所以AF⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PDC,所以AF⊥平面PDC,又EF⊂平面PDC,所以AF⊥EF.(2)如图,以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(3,0,0),P(0,0,3),F(0,32,32),AF=(0,32,32),BP=(-3,0,设点E(m,3,0),0≤m≤3,则AE=(m,3,0).设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则n·AE令x=3,可得n=(3,-m,m).设直线BP与平面AEF所成的角为θ,则sinθ=|cos<BP,n>|=|BP·n|BP||n化简可得m2-22m+21=0,即(m-1)(m-21)=0,所以m=1或m=21(舍),所以点E(1,3,0).由m=1可得,n=(3,-1,1).又AB=(3,0,0),所以点B到平面AEF的距离d=|n·AB8.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]如图,在四棱锥E-ABCD中,BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,BE=3,AE=10,C,D都在平面ABE的上方.(1)证明:平面BCE⊥平面ABCD.(2)若BC⊥BE,且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为34646,求四棱锥E-ABCD解析(1)BC//ADAB⊥AD⇒AB因为AB2+BE2=10=AE2,所以AB⊥BE,又BC∩BE=B,BC,BE⊂平面BCE,所以AB⊥平面BCE,又AB⊂平面ABCD,所以平面BCE⊥平面ABCD.(2)因为BC⊥BE,结合(1)易得AB,BC,BE两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,1),E(3,0,0),CE=(3,0,-1).设AD=t(t>0),则D(0,1,t),所以CD=(0,1,t-1).设平面CDE的法向量为n=(x,y,z),由CE得3x-z=0,y+(t-1)z=0,令z=3,得x=1,y=3-3t,则因为CB⊥平面ABE,所以平面ABE的一个法向量为m=(0,0,1).记平面CDE与平面ABE所成锐二面角为θ,则cosθ=|cos<n,m>|=|n·m|n||m解得t=3或t=-1(舍去),即AD=3,所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD=2.因为BE⊥AB,BE⊥BC,AB∩BC=B,AB,BC⊂平面ABCD,所以BE⊥平面ABCD,所以BE为四棱锥E-ABCD的高,所以四棱锥E-ABCD的体积V=13S四边形ABCD·BE=13×2×3故四棱锥E-ABCD的体积为2.9.[2024西安检测]如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,AA1⊥平面ABC,将梯形AA1C1C绕AA1旋转至梯形AA1D1D的位置,使二面角D1-AA1-C1的大小为30°.(1)若A1B1=2AB,证明:BC1⊥A1B1.(2)若AA1=A1C1=2AB=4,设G为DD1的中点,求直线BB1与平面AB1G所成角的正弦值.解析(1)如图1,取A1B1的中点M,连接MC1,MB,依题意得△A1B1C1是等边三角形,所以MC1⊥A1B1.因为A1B1=2AB,所以AB=A1M,又AB∥A1B1,所以四边形ABMA1是平行四边形,所以AA1∥BM.依题意知,AA1⊥平面A1B1C1,又A1B1⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥A1B1,所以BM⊥A1B1. 图1又MC1∩BM=M,MC1,BM⊂平面BMC1,所以A1B1⊥平面BMC1.又BC1⊂平面BMC1,所以BC1⊥A1B1.(2)因为AA1⊥平面A1B1C1,所以旋转后A1,B1,C1,D1四点共面,且A1C1⊥AA1,A1D1⊥AA1,所以∠C1A1D1是二面角D1-AA1-C1的平面角,所以∠C1A1D1=30°,又∠B1A1C1=60°,所以∠B1A1D1=90°
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