充要条件高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.2充要条件

情

境

导

入主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭,时间到了,只有张三、李四准时赴约,王五打电话说:“临时有急事,不能去了.”主人听了,随口说了句:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉,起来一声不吭地走了.主人愣了片刻,又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒,拂袖而去.

问题

(1)张三为什么走了?(2)李四为什么走了?

知识点一

逆命题

将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换,就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.1.“若x＞2,则x2-3x+2＞0”的逆命题是()A.若x2-3x+2＜0,则x≥2,B.若x≤2,x2-3x+2≤0C.若x2-3x+2≤0,则x≥2,

D.若x2-3x+2＞0,则x＞2,2.命题“如果a+b=0，那么a、b互为相反数”的逆命题为____命题.（填“真”或“假”）真知识点二充要条件命题真假如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p

”均是真命题推出关系既有p⇒q,又有q⇒p，记作_p⇔q条件关系

p既是q的充分条件，也是q的必要条件结论p是

q的__________条件，简称为______条件充分必要充要对充要条件的两点说明(1)p是q

的充要条件意味着“p成立，则q一定成立”；p不成立，则q一定

不成立.(2)p是q

的充要条件,q

也是p的充要条件

1.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里?提示:(1)p是q的充要条件说明p是条件,q是结论.(2)p的充要条件是q,说明q是条件,p是结论.2.在△ABC中,AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当B＝90°或C＝90时,△ABC为直角三角形,但不能推出AB2＋AC2＝BC2,故选A.题型一充要条件的判断例1

判断下列各题中,p是

q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).(1)p:｜x｜＝｜y｜,q:x3＝y3;解

(1)因为｜x｜＝｜y｜时,x＝±y,不一定有x3＝y3,而x3＝y3时一定有x＝y,必有｜x｜＝｜y｜,所以p是q的必要不充分条件.(2)p:△ABC中,AB＞AC,q:△ABC中,∠C＞∠B;解

由三角形中大边对大角,大角对大边的性质可知p是q的充要条件.(3)p:A⊆B,q:A∪B＝B;解

若A⊆B,则一定有A∪B＝B,反之,若A∪B＝B,则一定有A⊆B,故p是q的充要条件.(4)p:两个三角形全等,q:两个三角形面积相等.解

若两三角形全等,则面积一定相等,若两三角形面积相等(只需高和底边的乘积相等即可),却不一定有两三角形全等,故p是q的充分不必要条件.题型二充要条件的证明例2

求证:△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.(这里a,b,c是△ABC的三边边长)证明

必要性:因为△ABC是等边三角形,所以a＝b＝c,所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2,所以必要性成立;充分性:由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得,2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc,即(a-b)2＋(b-c)2＋(c-a)2＝0,所以a＝b＝c,所以△ABC是等边三角形,所以充分性成立.综上,△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.通性通法充要条件的证明策略(1)要证明p是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真;(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的.提醒

证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.

证明:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根.所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根.设方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1,x2,必要性:因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根,所以Δ＝b2-4ac＞0,所以ac＜0.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.题型三充分、必要及充要条件的应用例3已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).因为p是q的必要不充分条件,所以q是p的充分不必要条件,即{x｜1-m≤x≤1＋m}⫋{x｜-2≤x≤10},又m＞0,所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}1.(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).因为p是q的充分不必要条件,设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以A⫋B.即实数m的取值范围为{m｜m≥9}2.(变设问)本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.解

p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1＋m(m＞0).若p是q的充要条件,方程组无解.故不存在实数m,使得p是q的充要条件.1.“x2＋(y-2)2＝0”是“x(y-2)＝0”的(

)A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由x2＋(y-2)2＝0,得x＝0且y＝2,x(y-2)＝0.反之,x(y-2)＝0,即x＝0或y＝2,x2＋(y-2)2＝0不一定成立.故选B.2.设A,B,C是三个集合,则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件由A∩B＝A∩C,不一定有B＝C,反之,由B＝C,一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B.3.(多选)使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是(

)A.x≥0B.x＜0或x＞2C.x∈{-1,3,5}D.x≤0或x＞2解析:

从集合的角度出发,在选项中判断哪个是题干的真子集,只有B,C满足题意,选项A为题干成立的既不充分也不必要条件,D为题干成立的充要条件.由x∈B,可得x∈(A∪B);反之,因为A⊆B,A∪B＝B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件.5.实数a,b中至少有一个不为零的充要条件是(

)A.ab＝0B.ab＞0C.a2＋b2＝0D.a2＋b2＞0由“a,b中至少有一个不为零”可知,a,