2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区南汇中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1+i(i是虚数单位)的共轭复数z−在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知l是平面α的一条斜线，直线m⫋α，则(

)A.存在唯一的一条直线m，使得l⊥m B.存在无限多条直线m，使得l⊥m

C.存在唯一的一条直线m，使得l/​/m D.存在无限多条直线m，使得l/​/m3.折纸发源于中国.19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起成为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支.我国传统的一种手工折纸风车(如图1)是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则下列结论成立的个数为(

)

①EH//FC

②AH⋅BE=0A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。4.在空间，已知直线l及不在l上两个不重合的点A、B，过直线l作平面α，使得点A、B到平面α的距离之比为1：2，则这样的平面α不可能有(

)A.无数个 B.1个 C.2个 D.3个三、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。5.对于复数z=1+2i(i是虚数单位)，Imz=______．6.二面角的取值范围是______.(用区间表示)7.化简：AB+BC−AD8.已知α∈(π2,π)，sinα=45，则9.已知向量 a=(3,1)，b=(t,2)，若a/​/b，则实数t=10.若−2+i(i为虚数单位)为方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的一个根，则n=______．11.如图△O′B′C′是水平放置的△OAB的直观图，其中O′A′=3，O′B′=2，∠A′O′B′=45°，则△OAB的周长为______．

12.在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1的13.若平面内不共线的四点O，A，B，C满足OB=13OA+214.在△ABC中，已知a、b、c分别为角A、B、C的对边，且∠A=60°，若S△ABC=332，且15.点P是△ABC所在平面外一点，PC=6，底面△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，且BC=6，AC=8，点P到△ABC三边的距离相等，且点P在平面ABC上的射影落在△ABC内，则直线CP与平面ABC所成角的大小为______．16.在平面内，若有|a|=2，|b|=a⋅b四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是BB1和BC的中点．

(1)画出直线MN与平面A1B1C1D18.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，点B(−35,45)在单位圆上，∠AOB=θ(0<θ<π)．

(1)若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；

(2)若点A，B，P三点共线，且19.(本小题10分)

已知向量a−=(sinx,1)，b−=(1,sin(π3−x))，f(x)=a−⋅b−．

(1)求函数f(x)20.(本小题12分)

《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的空间几何体中，四边形ABCD为矩形，点P为四边形ABCD所在平面外一点，且PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．

(1)证明：DE⊥平面PBC.试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，请说明理由；

(2)若PD=CD=22，BC=2，点F在BD上运动，试求△EFC21.(本小题14分)

通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)看作一个向量，记a=(z1,z2)，则称a为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于a=(z1,z2)，b=(z3,z4)，z1、z2、z3、z4、λ∈C，我们有如下运算法则：

①a±b=(z1±z3,z2±z4)；

②λa=(λz1,λz2)；

参考答案1.D

2.B

3.C

4.BD

5.2

6.[0,π]

7.DC

8.−49.6

10.5

11.12

12.4

13.2

14.715.arccos16.217.解：(1)图形如下，

(2)连接B1C，

则B1C//MN，

又DC⊥平面BCC1B1，

所以DC⊥B1C

所以∠DB1C是异面直线B1D与MN所成角．

又B1B=1518.解：(1)如图：

设D点坐标为(a,b)，因为四边形OADB是平行四边形，所以BD=OA，

所以(a+35,b−45)=(1,0)⇒a=25b=45，

所以D点坐标为(25,45)；

(2)因为点A，B，P三点共线，且AB=2AP，

所以AB=2AP或AB=−2AP，

①当AB=2AP时，OP19.解：(1)因为f(x)=a⋅b=sinx+sin(π3−x)=12sinx+32cosx=sin(x+π3)，

所以函数f(x)的最小正周期T=2π；

因为函数y=sinx的单调增区间为[−π2+2kπ,π2+2kπ]，k∈Z，

所以−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−5π6+2kπ≤x≤π620.(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，PD=CD，点E是PC的中点，

可得DE⊥PC，而BC⊂平面ABCD，

所以PD⊥BC，

又因为BC⊥CD，PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD，

所以BC⊥DE，

又因为BC∩PC=C，

所以DE⊥平面PBC；

(2)解：因为PD=CD=22，BC=2，点F在BD上运动，

可得CE=12PC=12PD2+CD2=2，为定值，且DE⊥CE，

当FE⊥CE时，则EF最小，此时△EFC的面积最小，

即F与D重合时，EF⊥CE21.解：(1)因为a=(i,1+i)，b=(2,2−i)，

所以a+b=(2+i,3)，

a⋅b=2i+(1+i)(2+i)=1+5i．

(2)设a=(z1,z2),b=(z3,z4),c=(z5,z6