高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)2.2充分条件、必要条件、充要条件(原卷版+解析)

2.2充分条件、必要条件、充要条件TOC\o"1-4"\h\z\u2.2充分条件、必要条件、充要条件 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1充分条件与必要条件 2知识点2充要条件 3二、典型题型 3题型1充分不必要条件的判定及性质 4题型2必要不充分条件的判定及性质 6题型3充要条件的判定及性质 7三、难点题型 7题型1根据充分不必要条件求参数 8题型2根据必要不充分条件求参数 9题型3根据充要条件求参数 10四、活学活用培优训练 19一．基础知识点知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．例1“0<x<2”成立是“”成立的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要例2（多选题）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（

）A． B． C． D．例3指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：，q：；(2)p：或；q：；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．知识点2充要条件：(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；②如果p⇔q,q⇔s，则p⇔s；(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．例1“”的充要条件是（

）A．有 B．或C．且 D．或例2（多选题）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（

）A． B．C． D．例3指出下列命题中，是的什么条件？（1）：或；：；（2）：与都是奇数；：是偶数；（3）：；：方程有两个同号且不相等的实根.二．典型题型题型1充分不必要条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1已知a∈R，则“a＞3”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件例2（多选题）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（

）A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0例3下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？（1）p：，q：；（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；（3）p：同位角相等，q：两条直线平行；（4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分.题型2必要不充分条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2（多选题）p是q的必要条件的是（

）A． B．C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．，q：关于x的方程有唯一解例3集合．(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．题型3充要条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件例2（多选题）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（

）A．“”是“”的充要条件B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的必要条件例3求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．三．难点题型题型1根据充分不必要条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．例2（多选题）已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．例3已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．题型2根据必要不充分条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．例2（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（

）A． B． C．1 D．4例3已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．题型3根据充要条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（

）A． B． C． D．例2（多选题）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（

）A．是的必要条件 B．是的充分条件C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件例3设全集为R，，．(1)若a=5，求，；(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．四．活学活用培优训练一、单选题1．设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．设为任一实数，表示不小于的最小整数，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件3．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个4．已知是的必要不充分条件，是的充分且必要条件，那么是成立的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题7．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（

）A．存在一个数，使得B．对于任意一个数，都能使成立C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件D．“整数，满足，”的必要条件是“”8．已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件三、填空题9．对于任意实数a，b，c，有以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中正确命题的序号是__.10．设，一元二次方程有实数根的充要条件是__．11．已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.四、解答题12．设为的三边，求证：方程与有公共根的充要条件是13．设p：x＞a，q：x＞3.(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围.14．设集合，集合．(1)若，求，；(2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围．2.2充分条件、必要条件、充要条件TOC\o"1-4"\h\z\u2.2充分条件、必要条件、充要条件 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1充分条件与必要条件 2知识点2充要条件 3二、典型题型 3题型1充分不必要条件的判定及性质 4题型2必要不充分条件的判定及性质 6题型3充要条件的判定及性质 7三、难点题型 7题型1根据充分不必要条件求参数 8题型2根据必要不充分条件求参数 9题型3根据充要条件求参数 10四、活学活用培优训练 19一．基础知识点知识点1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系p⇒qpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件“p⇒q”含义的理解：一方面，一旦p成立，q一定也成立．即p对q的成立是充分的；另一方面，如果q不成立，那么p一定不成立；即q对p的成立是必要的．例1“0<x<2”成立是“”成立的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用充分不必要条件的定义判断得解.【详解】解：“0<x<2”成立时，“”一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的充分条件；“”成立时，“0<x<2”不一定成立，所以“0<x<2”成立是“”成立的非必要条件.所以“0<x<2”成立是“”成立的充分不必要条件.故选：A例2（多选题）已知集合，集合，能使成立的充分不必要条件有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根据集合间的关系可得的取值范围，再根据命题的充分必要性判断各选项正误.【详解】由得，即，故能使成立的充分不必要条件有CD.故选：CD.例3指出下列各组命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：，q：；(2)p：或；q：；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．【答案】(1)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件(2)p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件(3)p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件【分析】（1）根据集合的交、并运算以及利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.（2）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.（3）由利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.(1)若，可以推出，反之不一定成立，即，.所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件

，(2)或，推不出，反之成立，即，，所以p是q的必要非充分条件，q是p的充分非必要条件(3)a能被6整除，推出a能被3整除，反之不一定成立，即，.所以p是q的充分非必要条件，q是p的必要非充分条件.知识点2充要条件：(1)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件．为了方便起见，p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”或“p等价于q”．“⇒”和“⇔”都具有传递性，即①如果p⇒q，q⇒s，则p⇒s；②如果p⇔q,q⇔s，则p⇔s；(2)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．例1“”的充要条件是（

）A．有 B．或C．且 D．或【答案】D【分析】充要条件即为等价命题.【详解】因为则或故选：D.例2（多选题）设全集为，在下列选项中，是的充要条件的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】结合图即可得出结论.【详解】由图可知，B，C，D都是的充要条件，故选：BCD．例3指出下列命题中，是的什么条件？（1）：或；：；（2）：与都是奇数；：是偶数；（3）：；：方程有两个同号且不相等的实根.【答案】（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件.【分析】（1）先对化简，然后由充分条件和必要条件的定义判断即可，（2）直接利用充分条件和必要条件的定义判断即可，（3）由方程有两个同号且不相等的实根求出的范围，然后由充分条件和必要条件的定义判断即可【详解】（1）∵，∴或不能推出，而能推出或，∴是的必要不充分条件；（2）∵.都是奇数能推出为偶数，而为偶数不能推出.都是奇数，∴是的充分不必要条件；（3）∵有两个同号不等实根，∴，∴，∴，∴是的充要条件.二．典型题型题型1充分不必要条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1已知a∈R，则“a＞3”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解出不等式的解集，可解决此题.【详解】解：解不等式得：a＜0或a＞3，所以a＞3是的充分不必要条件.故选：A.例2（多选题）下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（

）A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0【答案】ABC【分析】根据充分条件的定义逐一判断即可.【详解】由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意；由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以选项B符合题意；由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意；由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本选项不符合题意，故选：ABC例3下列所给的各组p，q中，p是q的充分条件的有哪些？（1）p：，q：；（2）p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形；（3）p：同位角相等，q：两条直线平行；（4）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分.【答案】（1）p是q的充分条件；（2）p不是q的充分条件；（3）p是q的充分条件；（4）p是q的充分条件.【分析】（1）（3）（4）直接利用充分条件的定义判断；（2）可以通过举反例判断.【详解】解（1）因为，所以p是q的充分条件.（2）对角线相等的四边形可以是等腰梯形，所以，p不是q的充分条件.（3）因为，所以p是q的充分条件（4）因为，所以p是q的充分条件.题型2必要不充分条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理．由此可得，“积跬步”是“至千里”的（

）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据描述知：要达成目标必须一点一点积累，结合必要条件的定义判断关系.【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以“积跬步”是“至千里”的必要条件.故选：B例2（多选题）p是q的必要条件的是（

）A． B．C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．，q：关于x的方程有唯一解【答案】CD【分析】A选项解出不等式即可得到关系；B选项举出反例即可判定；CD说法满足题意.【详解】对于A，，，∴p推不出q，q推不出p，p是q既不充分也不必要条件；对于B，；当时，满足但q推不出p，故p是q的充分不必要条件；对于C，若“两条对角线互相垂直平分”成立推不出“四边形是正方形”；反之，若“四边形是正方形”成立“两条对角线互相垂直平分”成立，故p是q的必要条件；对于D，关于x的方程有唯一解，故p是q的充分必要条件.故选：CD.例3集合．(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）将的值代入集合，然后根据交集与并集的定义即可求解；（2）由题意，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.(1)解：当时，，又，所以，；(2)解：因为是的必要条件，所以，即，所以有，解得，所以实数m的取值范围为.题型3充要条件的判定及性质解题技巧：(1)确定谁是条件，谁是结论．(2)尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件．(3)尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件．例1“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案【详解】由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；求解，得到，故“”是“”的不必要条件；故选：A例2（多选题）对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（

）A．“”是“”的充要条件B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的必要条件【答案】BD【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断【详解】解：“”“”为真命题，但当时，“”“”为假命题，故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；“是无理数”“a是无理数”为真命题，“a是无理数”“是无理数”也为真命题，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；“”“”为假命题，“”“”也为假命题，故“”是“”的即充分也不必要条件，故C为假命题；，故“”是“”的必要条件，故D为真命题.故选：BD.【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，考查推理能力例3求关于x的方程有一个正根和一个负根的充要条件．【答案】或【分析】充要条件问题解决，第一步需要充分性，第二步必要性.二次函数有一个正根和一个负根，先判断二次函数与y轴交点，再判断开口是最便捷的思路.【详解】当开口向上，，所以,当开口向下，，所以满足充要条件故答案为：或.三．难点题型题型1根据充分不必要条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据充要条件与集合的包含关系可得.【详解】因为是的充分不必要条件，所以，即.故选：D.例2（多选题）已知集合，，则是的真子集的充分不必要条件可以是（

）A． B．m∈C．m∈ D．【答案】AD【分析】根据集合是集合的真子集，求出的所有可能的值，再根据充分不必要条件的概念即可得到结果.【详解】因为集合若集合是集合的真子集，当时，即集合，显然成立；当时，则或，所以或所以若集合是集合的真子集，则；所以是的真子集的充分不必要条件可以是或.故选：AD.例3已知集合，．若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】【分析】由题设A是的真子集，结合已知集合的描述列不等式求a的范围.【详解】由“”是“”的充分不必要条件，即A是的真子集，又，，所以，可得，则实数a的取值范围为．题型2根据必要不充分条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1“”是“”的必要不充分条件，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将条件转化为集合关系即可求解.【详解】由题意得，是的真子集，故.故选：B例2（多选题）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数k的值可以是（

）A． B． C．1 D．4【答案】ACD【分析】由题得或，化简即得解.【详解】若“或”是“”的必要不充分条件，所以或，所以或.故选：ACD例3已知集合，，全集．(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据补集与交集的运算性质运算即可得出答案.（2）若“”是“”的必要条件等价于.讨论是否为空集，即可求出实数的取值范围.(1)当时，集合，或，．(2)若“”是“”的必要条件，则，①当时，；②，则且，.综上所述，或．题型3根据充要条件求参数解题技巧：(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．例1设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式可得、的值，即可得解.【详解】解不等式可得，由题意可知，，因此，.故选：C.例2（多选题）设是的必要条件，是的充分条件，是的充分必要条件，是的充分条件，则下列说法正确的有（

）A．是的必要条件 B．是的充分条件C．是的充分必要条件 D．是的既不充分也不必要条件【答案】BC【分析】根据条件得到可判断每一个选项.【详解】由题意，，则.故选：BC.例3设全集为R，，．(1)若a=5，求，；(2)若，且“”是“”的______，求实数a的取值范围．请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中选一个填在横线上，并解答问题．【答案】(1)，或；(2)答案见解析.【分析】（1）确定集合A,B，根据集合的运算即可求得答案；（2）选①，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．选②，则，列出不等式组求得实数a的取值范围．选③，则，结合题意判断，确定实数a的取值范围．（1）当a=5时，，因为需满足，解得，所以，所以，或．（2）若选择①充分不必要条件，则，因为，故，不等式无解，故，若选择②必要不充分条件，则，所以，解得，所以实数a的取值范围为．若选择③充要条件，则A＝B，由题意，故．四．活学活用培优训练一、单选题1．设：实数，满足且；：实数，满足；则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先考查是否成立，再考查是否成立,即可得结论.【详解】解：因为且，所以，即成立；反之若，满足，如，但不满足且，即不成立，所以是的充分不必要条件.故选：A.2．设为任一实数，表示不小于的最小整数，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据必要不充分条件的定义判断可得答案.【详解】当，时，满足，但，，即；当时必有，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：C．3．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】就5个命题逐个分析后可得正确的选项.【详解】对于①，即为，故符合；对于②，即为，故不符合；对于③，结合图可得即为，故符合；对于④，即为，故可得，但得不到，故不符合；对于⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价，故五个命题中，与等价的有2个，故选:B.4．已知是的必要不充分条件，是的充分且必要条件，那么是成立的（

）A．必要不充分条件 B．充要条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分，必要条件的关系，即可判断选项.【详解】由条件可知，，所以，，所以是的充分不必要条件.故选：C5．设，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当时，，则成立，而当时，或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选：A6．已知，，若P是Q的必要条件，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题可得，列出不等式组，解之即可得解.【详解】因为P是Q的必要条件，∴，又，，∴，解得.故选：B.二、多选题7．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（

）A．存在一个数，使得B．对于任意一个数，都能使成立C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件D．“整数，满足，”的必要条件是“”【答案】CD【分析】对A，假设存在一个数，使得，从而推出矛盾即可；对B，举反例判断即可；对C，设整数，属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判断即可；对D，设，，，判断即可.【详解】对于A，假设存在一个数，使得，则，，，显然不成立，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，若整数，属于同一“类”，则整数，被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数，被6除所得余数相同，故“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，故C正确；对于D，若整数，满足，，则，，，，所以，，所以，故D正确．故选：CD．8．已知是实数集，集合，，则下列说法正确的是（

）A．是的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件C．是的充分不必要条件 D．是的必要不充分条件【答案】AD【分析】根据题意得到，且，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，集合，，可得，且，所以是的充分不必要条件，且是的必要不充分条件成立.故选：AD.三、填空题9．对于任意实数a，b，c，有以下命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.其中正确命题的序号是__.【答案】②④【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条