备考2025届高考数学一轮复习讲义第六章平面向量复数第6讲复数

第6讲复数课标要求命题点五年考情命题分析预料1.通过方程的解，相识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义.3.驾驭复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.复数的概念2024全国卷乙T1；2024全国卷甲T2；2024全国卷乙T2；2024全国卷甲T1；2024新高考卷ⅠT2；2024浙江T2；2024全国卷甲T3；2024新高考卷ⅡT1；2024全国卷ⅠT1；2024全国卷ⅢT2；2024全国卷ⅡT2本讲每年必考，主要考查复数的有关概念和运算，复数的几何意义，一般以选择题的形式出现，属于送分题.预料2025年高考命题稳定，常规备考的同时要留意对复数几何意义的理解和应用.复数的运算2024新高考卷ⅠT2；2024全国卷甲T1；2024新高考卷ⅠT2；2024新高考卷ⅡT2；2024新高考卷ⅠT2；2024新高考卷ⅡT1；2024全国卷乙T1；2024全国卷甲T3；2024新高考卷ⅡT2；2024全国卷ⅢT2复数的几何意义2024新高考卷ⅡT1；2024新高考卷ⅡT1；2024全国卷ⅡT15；2024北京T2；2024全国卷ⅠT2；2024全国卷ⅡT21.复数的有关概念名称含义复数的定义形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中实部为①a，虚部为②b，i为虚数单位且i2＝③－1.复数分类a＋bi为实数⇔b＝0；a＋bi为虚数⇔b≠0；a＋bi为纯虚数⇔④a＝0且b≠0（a，b∈R）.复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）.留意实数能比较大小，虚数不能比较大小.共轭复数a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔⑤a＝c且b＝－d（a，b，c，d∈R）.复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做⑥实轴，y轴叫做⑦虚轴.说明实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数.复数的模设OZ对应的复数为z＝a＋bi，则向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模或确定值，记作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝⑧a2＋2.复数的几何意义思维拓展（1）r1≤｜z｜≤r2表示以原点O为圆心，以r1和r2为半径的两圆所夹的圆环；（2）｜z－（a＋bi）｜＝r（r＞0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆.3.复数的四则运算（1）复数的运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R）.运算法则运算形式加法z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝⑨（a＋c）＋（b＋d）i.减法z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝⑩（a－c）＋（b－d）i.乘法z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝⑪（ac－bd）＋（ad＋bc）i.除法z1z2＝a＋bic＋di＝（a＋bi（2）复数的运算律对随意的z1，z2，z3∈C：加法运算律交换律：z1＋z2＝⑫z2＋z1.结合律：（z1＋z2）＋z3＝⑬z1＋（z2＋z3）.乘法运算律交换律：z1z2＝z2z1.结合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）.支配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.（3）复数加、减运算的几何意义：复数的加、减法可以依据向量的加、减法来进行若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为两邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数；复数z1－z2是OZ1－1.下列说法正确的是（D）A.复数z＝a－bi（a，b∈R）中，虚部为bB.复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小C.已知z＝a＋bi（a，b∈R），当a＝0时，复数z为纯虚数D.复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模2.[2024南京市六校联考]复数z＝1+i1+2i（i为虚数单位），则｜z｜＝（DA.25 B.23 C.103 解析解法一z＝1+i1+2i＝（1+i)(1－2i）（1+2i)(1－2i）＝解法二｜z｜＝｜1+i1+2i｜＝｜1+i｜｜1+2i｜＝13.[2024新高考卷Ⅰ]已知z＝2－i，则z（z＋i）＝（C）A.6－2i B.4－2i C.6＋2i D.4＋2i解析因为z＝2－i，所以z（z＋i）＝（2－i）（2＋2i）＝6＋2i，故选C.4.[2024合肥市二检]设i是虚数单位，复数z＝2i1－i，则在复平面内z所对应的点位于（A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析因为z＝2i1－i＝2i（1+i）（1－i)(1+i）＝－1研透高考明确方向命题点1复数的概念例1（1）[全国卷Ⅲ]复数11－3i的虚部是（A.－310 B.－110 C.110 解析11－3i＝1+3i（1+3i)(1－3i）（2）[2024全国卷甲]设a∈R，（a＋i）（1－ai）＝2，则a＝（C）A.－2 B.－1C.1 D.2解析∵（a＋i）（1－ai）＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋（1－a2）i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C.（3）[2024全国卷甲]若z＝1＋i，则｜iz＋3z｜＝（D）A.45 B.42C.25 D.22解析因为z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22＋（－2）2方法技巧1.求解与复数有关概念问题的技巧：将复数化为z＝a＋bi（a，b∈R）的形式，然后依据复数的有关概念求解即可.2.若两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.3.复数的概念中的常用性质（1）z1±z2＝z1±z2；z1·z2＝z1·z（2）｜z｜＝｜z｜，｜z2｜＝｜z｜2＝z·z，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，｜z1z2｜训练1（1）[2024全国卷乙]设z＝2+i1+i2＋i5，则A.1－2i B.1＋2iC.2－i D.2＋i解析z＝2+i1+i2＋i5＝2+i1－1+i＝－i（2+i（2）[2024全国卷乙]已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b为实数，则（A）A.a＝1，b＝－2 B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析由题意知z－＝1＋2i，所以z＋az－＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a＋b（3）[2024武汉市5月模拟]设复数z满意z－1z+1为纯虚数，则｜z｜＝（A.1 B.2 C.3 D.2解析因为z－1z+1为纯虚数，所以可设z－1z+1＝bi（解法一因为z＝（1+bi）2（1－bi)(1+bi）＝1解法二｜z｜＝｜1+bi1－bi｜＝｜命题点2复数的运算例2（1）[2024新高考卷Ⅰ]已知z＝1－i2+2i，则z－z＝（A.－i B.iC.0 D.1解析因为z＝1－i2+2i＝（1所以z＝12i，所以z－z＝－12i－12故选A.（2）[2024全国卷甲]若z＝－1＋3i，则zzz－1＝（A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析zzz－1＝－1+3i（－1+方法技巧1.复数运算的解题策略（1）复数的加法、减法、乘法运算类比多项式的运算.（2）复数的除法运算是分子、分母同乘分母的共轭复数，即分母实数化.2.复数运算中的常用结论（1）（1±i）2＝±2i，1+i1－i＝i，1（2）a＋bii＝（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N）.训练2（1）[2024新高考卷Ⅰ]若i（1－z）＝1，则z＋z＝（D）A.－2 B.－1C.1 D.2解析因为i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故选（2）[2024重庆二调]已知复数z满意z＋3＝4z＋5i，i是虚数单位，则z2＝（B）A.－2i B.2iC.1＋i D.1－i解析令z＝a＋bi（a，b∈R），则a＋bi＋3＝4a－4bi＋5i，即3a－3＋（5－5b）i＝0，∴3a－3＝0，5－5b＝0，解得a＝1，b＝1，∴z＝1＋i，∴z2＝2i.故选B.命题点3复数的几何意义例3（1）[2024新高考卷Ⅱ]在复平面内，（1＋3i）·（3－i）对应的点位于（A）A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限解析因为（1＋3i）（3－i）＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为（6，8），位于第一象限，故选A.（2）[全国卷Ⅱ]设复数z1，z2满意｜z1｜＝｜z2｜＝2，z1＋z2＝3＋i，则｜z1－z2｜＝23.解析如图所示，设复平面内复数z1，z2所对应的点分别为Z1，Z2，O为原点，则OP＝OZ1＋由题知｜OP｜＝3+1＝2＝｜OZ1｜＝｜OZ2｜，所以平行四边形OZ1PZ2为菱形，且△OPZ1，△OPZ2都是正三角形，所以∠OZ2Z1＝30°，｜Z1Z2｜＝2｜OZ2｜·cos30°＝23，所以｜z1－z2｜＝｜Z1Z2｜＝23.方法技巧1.依据复数、点、向量之间的一一对应关系，把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时运用数形结合的方法，可以更加直观地解决问题.2.思维拓展｜z－z0｜表示在复平面内复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离；｜z－z0｜＝r（r＞0）表示在复平面内复数z对应的点在以复数z0对应的点为圆心、r为半径的圆上；｜z－z1｜＝｜z－z2｜表示在复平面内复数z对应的点在复数z1，z2对应点所连线段的垂直平分线上.训练3（1）[2024湖北十一校联考]复数z满意｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，则｜z｜＝（C）A.10 B.13C.32 D.5解析解法一由｜z－5｜＝｜z－1｜，得复数z对应的点到点（5，0）和到点（1，0）的距离相等，所以复数z对应的点在直线x＝3上；由｜z－1｜＝｜z＋i｜，得复数z对应的点到点（1，0）和到点（0，－1）的距离相等，所以复数z对应的点在直线y＝－x上.因为直线x＝3和直线y＝－x的交点为（3，－3），所以z＝3－3i，所以｜z｜＝32＋（－3）2解法二设z＝a＋bi（a，b∈R），由｜z－5｜＝｜z－1｜＝｜z＋i｜，得｜a－5＋bi｜＝｜a－1＋bi｜＝｜a＋（b＋1）i｜，得（a－5）2＋b2＝（a－（2）[多选/2024石家庄市三检]已知复数z1＝1＋2i，复数z满意｜z－z1｜＝2，则下列说法正确的有（AD）A.z1·z1＝B.5－2＜｜z｜＜5＋2C.复数z1在复平面内所对应的点为（－1，2D.若复数z在复平面内所对应的点为Z（x，y），则（x－1）2＋（y－2）2＝4解析因为复数z1＝1＋2i，所以z1＝1－2i，其在复平面内所对应的点为（