新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第二讲空间位置关系空间角与空间距离-小题备考微专题2空间角

微专题2空间角常考常用结论1．直线与直线的夹角若n1，n2分别为直线l1，l2的方向向量，θ为直线l1，l2的夹角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.2．直线与平面的夹角设n1是直线l的方向向量，n2是平面α的法向量，直线与平面的夹角为θ.则sinθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.3．平面与平面的夹角若n1，n2分别为平面α，β的法向量，θ为平面α，β的夹角，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.1．[2024·辽宁大连一模]如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为()A.B．C．D．2．[2024·安徽滁州一模]如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为()A．B．C．D．3．[2024·辽宁丹东二模]如图，电商平台售卖的木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把该升斗看作一个正四棱台，该四棱台侧棱与底面所成角的余弦值为________．2.(1)已知三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，点P在底面上的射影为底面的中心，且三棱锥PABC外接球的表面积为18π，球心在三棱锥PABC内，则二面角PABC的平面角的余弦值为()A．B．C．D．(2)[2024·浙江联考二模]如图，在平行四边形ABCD中，角A＝，AB＝，AD＝1，将三角形ABD沿BD翻折到三角形A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD.记线段A′C的中点为M，那么直线A′D与平面BDM所成角的正弦值为()A．B．C．D．技法领悟1．用几何法求空间角时，关键要找出空间角，再在三角形中求解．2．用向量法求空间角时，要熟记公式，还要正确建立空间直角坐标系．[巩固训练2](1)一个正方体的平面绽开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC的中点为M，则二面角AEGM的余弦值为()A．B．C．D．(2)[2024·全国乙卷]已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角CABD为150°，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为()A．B．C．D．微专题2空间角保分题1．解析：正方体中，A1B∥D1C，所以A1D与A1B所成的角即异面直线A1D与D1C所成的角，因为△A1BD为正三角形，所以A1D与A1B所成的角为，所以异面直线A1D与D1C所成的角为.故选C.答案：C2．解析：设AC＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)，∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．由＝(－，0)，＝(，0，－)，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，)，∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，∴tan〈n，〉＝.故选D.答案：D3．解析：如图所示，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，O，O1分别是上下底面的中心，过点A1作A1E⊥AC，垂足为E，由于A1E∥OO1，所以A1E⊥底面ABCD.所以该四棱台侧棱与底面成角为∠A1AE.由题得C1A1＝22，CA＝40，∴AE＝＝9.所以cos∠A1AE＝＝，所以该四棱台侧棱与底面所成角的余弦值为.答案：提分题[例2](1)解析：如图，设正△ABC的中心为O，有OA＝OB＝OC，而PO⊥平面ABC，则PA＝PB＝PC，延长CO交AB于点D，则点D为AB的中点，有PD⊥AB，CD⊥AB，即∠PDC为二面角PABC的平面角，由AB＝2，得OC＝2OD＝2，明显三棱锥PABC为正三棱锥，其外接球的球心M在线段PO上，由三棱锥PABC的外接球的表面积为18π，则该球半径MC＝，由MC2＝MO2＋OC2，解得MO＝，PO＝2，PD＝3，所以cos∠PDC＝＝，所以二面角PABC的平面角的余弦值为.故选B.(2)解析：A＝，AB＝，AD＝1，由余弦定理，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝()2＋12－2××1×cos＝1，则BD＝AD＝1，∠DBA＝∠A＝，∠ADB＝，平面A′BD⊥平面BCD，∠A′DB＝∠ADB＝，DC＝AB＝，A′D＝AD＝BD＝1，以D为原点，DB所在直线为y轴，平面ABD内垂直于DB的直线为x轴，垂直于平面ABD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(，－，0)，B(0，1，0)，C(－，0)，A′(0，－)，M(－)，＝(0，－)，＝(0，1，0)，＝(－)，设平面BDM的一个法向量为n＝(x，y，z)，则有，令x＝1，有y＝0，z＝1，即n＝(1，0，1)，cos〈n，〉＝＝＝，所以直线A′D与平面BDM所成角的正弦值为.故选A.答案：B答案：A[巩固训练2](1)解析：以D为坐标原点，分别以方向为x，y，z轴建立空间坐标系如图：设AD＝2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，A(2，0，0)，则＝(2，－2，0)，＝(－1，0，2)，设平面EGM的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝2，得n＝(2，2，1)．＝(0，0，2)，＝(－2，2，0)，设m＝(a，b，c)是平面AEG的一个法向量，则，即，令a＝1则m＝(1，1，0)．则cos〈m，n〉＝＝＝＝.二面角AEGM的余弦值为.故选B.(2)解析：如图所示，取AB的中点为M，连接CM，DM，则CM⊥AB，DM⊥AB，又CM，DM⊂平面CMD，CM＝M，于是AB⊥平面CMD，∠CMD即为二面角C－AB－D的平面角，于是∠CMD＝150°.设AB＝2，则CM＝1，MD＝，在△CMD中，由余弦定理可得CD＝＝.延长CM，过点D作CM的垂线，设垂足为H，则∠HMD＝30°，D