2024-2025学年新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系第2课时空间中直线平面的垂直分层作业新人教A版选择性必修第一册

第2课时空间中直线、平面的垂直A级必备学问基础练1.已知直线l的方向向量为a=(1,1,2),平面α的法向量为n=(2,2,4),则()A.l∥α B.l⊥αC.l⊂α D.l与α相交2.已知m=(-2,2,5),n=(3,-2,2)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.重合3.已知直线l的一个方向向量a=(1,2,m),平面α的一个法向量n=(-1,-2,3),若l⊥α,则m= ()A.-3 B.-1C.0 D.14.若空间两直线l1与l2的方向向量分别为a=(a1,a2,a3)和b=(b1,b2,b3),则两直线l1与l2垂直的充要条件为()A.a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)B.存在实数k,使得a=kbC.a1b1+a2b2+a3b3=0D.a·b=±|a||b|5.(多选题)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是()A.AB⊥ACB.与AB同向的单位向量是255,C.AB和BCD.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)6.(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,若AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则下列结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.AP7.已知三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),则α,β两个平面的位置关系是,α,γ两个平面的位置关系是,γ,β两个平面的位置关系是.

8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,AD=22,P为棱C1D1的中点,M为棱BC的中点,则直线AM与PM的位置关系是.

B级关键实力提升练9.(多选题)如图所示,在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则(A.EF⊥A1DB.EF⊥AD1C.EF∥BD1D.EF与BD1是异面直线10.(多选题)给出下列命题,其中是真命题的是()A.若a=(-1,1,-2)是直线l的方向向量,b=-2,-1,12是直线m的方向向量,则直线l与m垂直B.若a=(1,1,-1)是直线l的方向向量,n=(0,-1,-1)是平面α的法向量,则l⊥αC.若n1=(1,0,3),n2=(0,1,2)分别为平面α,β的法向量,则α⊥βD.若存在实数x,y,使MP=xMA+yMB,则P,M,A,B四点共面11.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠ADC=90°,且AA1=AD=DC=2,M∈平面ABCD,当D1M⊥平面A1C1D时,DM=.

12.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,A1C的中点.(1)求EF的长;(2)证明:EF⊥平面A1CD.13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:(1)EF⊥DA1;(2)DA1⊥平面ABC1.

参考答案第2课时空间中直线、平面的垂直1.B因为n=(2,2,4),a=(1,1,2),故可得n=2a,即n∥a,则直线l⊥α.故选B.2.B因为m=(-2,2,5),n=(3,-2,2),所以m·n=-2×3+2×(-2)+5×2=0,故m⊥n,所以α⊥β.故选B.3.A∵l⊥α,∴a∥n,则m3=-1,∴m=-3.故选A4.C由l1⊥l2可得a⊥b,则a·b=0,即a1b1+a2b2+a3b3=0.同理,由a1b1+a2b2+a3b3=0可得a·b=0,进一步可得l1⊥l2,所以a⊥b,所以a1b1+a2b2+a3b3=0是l1⊥l2的充要条件,C正确.故选C.5.ABD空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),对于A,AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),∴AB·AC=2×(-1)+1×2+0×1=0,∴AB⊥AC,即对于B,AB=(2,1,0),AB|AB|=25对于C,AB=(2,1,0),BC=(-3,1,1),∴AB和BC夹角的余弦值cos<AB,BC>=对于D,设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则n·AB=2x+y=0,n·AC=-x+26.ABC∵AP·AB=-2-2+4=0,∴∴AP⊥AB,故A正确;∵AP·AD=-4+4+0∴AP⊥AD,∴AP⊥∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,∴AP是平面ABCD的一个法向量,故C正确;BD=AD-AB=(2,3,4),设即2=-λ,3=27.α∥βα⊥γβ⊥γ三个互不相同的平面α,β,γ的法向量依次是m=(2,-4,6),n=(-1,2,-3),k=(-1,4,3),所以m=-2n,即m∥n,所以α∥β.又m·k=(2,-4,6)·(-1,4,3)=-2-16+18=0,则m⊥k,所以α⊥γ.同理,n·k=(-1,2,-3)·(-1,4,3)=1+8-9=0,则n⊥k,所以β⊥γ.8.PM⊥AM以D点为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.可得D(0,0,0),P(0,1,3),C(0,2,0),A(2∴PM=(2,1,-3),AM=(-2,2,0).PM·AM=(2,1,-3)·(-2,2,0)=-2×2+1×2+0×(-3)=0,即PM9.AC如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,3),A(3,0,0),A1(3,0,3),B(3,3,0),E(1,0,1),F(2,1,0),EF=(1,1,-1),A1D=(-3,0,-3),AD1=(-3,0,3),BD1=对于A,EF·A1D=-3+0+3=0,则EF⊥A1对于B,EF·AD1=-3对于C,EF=-13BD1,则EF10.AD对于A,因为a·b=(-1)×(-2)+1×(-1)+(-2)×12=0,可知a⊥b,所以直线l与m对于B,因为a·n=1×0+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,可知a⊥n,所以l⊂α或l∥α,故B错误;对于C,因为n1·n2=1×0+0×1+3×2=6≠0,所以平面α,β不相互垂直,故C错误;对于D,若存在实数x,y,使MP=xMA+yMB,则MP,MA,MB为共面对量,所以P,M,A,B11.22如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A1(2,0,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).由题意可设M(a,b,0),则D1M=(a,b,-2),DA1=(2,0,2),若D1M⊥平面A1C1D,则D1M·DA1=2a故DM=22+2212.(1)解以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(2,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,2),D(0,0,0).∵E,F分别为AB,A1C的中点,∴E(2,1,0),F(1,1,1),则EF=(-1,0,1),∴|EF|=1+0+1=2,即EF的长为(2)证明由(1)可得CD=(0,-2,0),A1D=(-2,0,-∵CD·EF=0,EF·A1D=0,∴EF⊥CD又CD∩A1D=D,CD,A1D⊂平面A1CD,∴EF⊥平面A1CD.13.证明(1)如图所示,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为2,则D(0,0,0),E(2,2,1),F(1,1,2),A1(2,0,2),所以EF=(-1,-1,1),DA1=(