2025届高考数学冲刺复习 导数与函数的极值、最值

2025届高考数学冲刺复习导数与函数的极值、最值⁠1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.3.体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系.CONTENTS010203/目录

知识·逐点夯实考点·分类突破课时·过关检测01⁠1.函数的极值与导数条件f'（x0）＝0x0附近的左侧f'（x）

＞

⁠0，右侧f'（x）

＜

⁠0x0附近的左侧f'（x）

＜

⁠0，右侧f'（x）

＞

⁠0＞

＜

＜

＞

图象⁠形如山峰⁠形如山谷极值f（x0）为极

大

⁠值f（x0）为极

小

⁠值极值点x0为极

大

⁠值点x0为极

小

⁠值点大

小

大

小

提醒

f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但x＝0不是极值点.2.函数的最值与导数（1）如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条

连续不断

⁠的曲线，那么它必有最大值和最小值；（2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）为函数的

最小值

⁠，f（b）为函数的

最大值

⁠；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）为函数的

最大值

⁠，f（b）为函数的

最小值

⁠.连续不断

最小值

最大值

最大值

最小值

⁠1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）函数的极大值不一定比极小值大.

（

）答案：（1）√

（2）闭区间上的连续函数必有最值.

（

）（3）函数的极大值一定是函数的最大值.

（

）答案：（2）√

答案：（3）×

（4）开区间上的单调连续函数无最值.

（

）答案：（4）√

（5）设函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在区间（a，b）内不单调.

（

）答案：（5）√2.（多选）已知函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，则下列判断正确的是

（

）B.当x＝－2时，函数y＝f（x）取得极小值C.函数y＝f（x）在区间（－2，2）上单调递增D.当x＝3时，函数y＝f（x）有极小值

A.－1D.1

4.函数

g（x）＝－x2的极值点是

⁠，函数f（x）＝（x－1）3的极值点

⁠（填“存在”或“不存在”）.

解析：结合函数图象可知g（x）＝－x2的极值点是x＝0.因为f'（x）＝3（x－1）2≥0，所以f'（x）＝0无变号零点，故函数f（x）＝（x－1）3不存在极值点.答案：x＝0

不存在5.（2023·安阳一模）函数f（x）＝x3－3x2＋1的极小值为

⁠.

解析：f'（x）＝3x2－6x，令f'（x）＝3x2－6x＝0，得x1＝0，x2＝2.易知当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0；当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，＋∞）时，f'（x）＞0.故f（x）在x＝2处取得极小值f（2）＝8－12＋1＝－3.答案：－3⁠1.若函数f（x）在（a，b）上是单调函数，则f（x）在（a，b）上无极值.2.若函数f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）一定在区间端点处取得最值.3.若函数f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点，则该极值点一定是函数相应的最值点.⁠

A.0B.1C.2D.无数

答案：e

02⁠函数的极值问题考向1

由图象判断函数的极值【例1】

设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（x－1）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中正确的是

（

）A.函数f（x）有极大值f（－3）和f（3）B.函数f（x）有极小值f（－3）和f（3）C.函数f（x）有极小值f（3）和极大值f（－3）D.函数f（x）有极小值f（－3）和极大值f（3）解析

结合题目所给图象进行分段分析，当x＜－3时，x－1＜0，得f'（x）＜0；当－3＜x＜1时，x－1＜0，得f'（x）＞0；当1＜x＜3时，x－1＞0，得f'（x）＞0；当x＞3时，x－1＞0，得f'（x）＜0.根据极值点的定义可知，当x＝－3时，f（x）取得极小值f（－3），当x＝3时，f（x）取得极大值f（3），x＝1的左右两边导函数值都大于零，因此不是原函数的极值点，故选D.答案

D｜解题技法｜

由图象判断函数y＝f（x）的极值，要抓住两点：（1）由y＝f'（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点；（2）由导函数y＝f'（x）的图象可以看出y＝f'（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性.两者结合可得极值点.考向2

求函数的极值（极值点）【例2】

已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）.

x（0，2）2（2，＋∞）f'（x）＋0－f（x）↗ln

2－1↘故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln

2－1，无极小值.（2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数.

｜解题技法｜利用导数求函数极值（极值点）的一般流程考向3

已知函数的极值求参数【例3】

（1）（2023·南宁模拟）函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b＝

（

）A.－7B.0C.－7或0D.－15或6

答案

（1）A

（2）已知函数f（x）＝x2－4x＋alnx有两个极值点，则实数a的取值范围为（

）A.（－∞，2]B.（－∞，2）C.（0，2]D.（0，2）

答案

（2）D｜解题技法｜已知函数极值点或极值求参数的2个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.提醒

若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内绝不是单调函数.⁠1.（2023·周口一模）函数f（x）＝2x－xlnx的极值是

（

）C.eD.e2解析：C

因为f'（x）＝2－（ln

x＋1）＝1－ln

x，当f'（x）＞0时，解得0＜x＜e；当f'（x）＜0时，解得x＞e，所以x＝e时，f（x）取到极大值，f（x）极大值＝f（e）＝e.故选C.

答案：1

⁠函数的最值问题

x（－∞，－1）－1（－1，3）3（3，＋∞）f'（x）＋0－0＋f（x）增极大值减极小值增

则列表如下：｜解题技法｜利用导数求给定区间上的最值的步骤（1）求函数f（x）的导数f'（x）；（2）利用f'（x）＝0求f（x）在给定区间上所有可能极值点的函数值；（3）求f（x）在给定区间上的端点值；（4）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值.提醒

若最值在端点处取得，且所给区间为开区间，则f（x）的最值不存在.⁠1.已知某圆柱的表面积为6π，当该圆柱的体积最大时，其底面半径为

（

）A.1C.2D.3

2.已知函数f（x）＝ax＋lnx，其中a为常数，若f（x）在区间（0，e]上的最大值为－3，求a的值.

03⁠1.函数f（x）＝lnx－x在区间（0，e]上的最大值为

（

）A.1－eB.－1C.－eD.0

A.－4C.0D.2

A.有最大值0，无最小值D.既无最大值也无最小值

A.－3eB.－2eC.eD.2e

5.（多选）已知函数f（x）的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：x－1045f（x）1221f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，下列关于函数f（x）的结论正确的是（

）A.函数f（x）的极大值点有2个B.函数f（x）在[0，2]上是减函数C.当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t的最大值为4D.当1＜a＜2时，函数y＝f（x）－a有4个零点解析：AB

由题中f'（x）的图象可知，当x＝0时，函数f（x）取得极大值；当x＝4时，函数f（x）取得极大值，即函数f（x）有2个极大值点，故A中结论正确；易知函数f（x）在[0，2]上是减函数，故B中结论正确；当x∈[－1，t]时，若f（x）的最大值是2，则t满足0≤t≤5，即t的最大值是5，故C中结论错误；令y＝f（x）－a＝0，得f（x）＝a，当f（2）≤1，1＜a＜2时，易知f（x）＝a有四个根；当1＜f（2）＜2，1＜a＜2时，易知f（x）＝a不一定有四个根，故函数y＝f（x）－a有4个零点不一定正确，故D中结论错误，故选A、B.6.（多选）下列说法正确的是

（

）C.f（x）＝x－lnx（x＞0）的最小值为1

答案：310.已知a，b是实数，1和－1是函数f（x）＝x3＋ax2＋bx的两个极值点.（1）求a，b的值；解：（1）由题设知f'（x）＝3x2＋2ax＋b，且f'（－1）＝3－2a＋b＝0，f'（1）＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.（2）设函数g（x）的导函数g'（x）＝f（x）＋2，求g（x）的极值点.解：（2）由（1）知f（x）＝x3－3x，则g'（x）＝f（x）＋2＝（x－1）2（x＋2），所以g'（x）＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2.即函数g（x）的极值点只可能是1或－2，当x＜－2时，g'（x）＜0，当－2＜x＜1时，g'（x）＞0，当x＞1时，g'（x）＞0，所以－2是g（x）的极值点，1不是g（x）的极值点.综上所述，g（x）的极值点为－2.⁠11.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p（p≥20）元时的销售量为Q件，且Q＝8300－170p－p2，则这批商品的最大毛利润（毛利润＝销售收入－进货支出）为（

）A.30000元B.60000元C.28000元D.23000元解析：D

设毛利润为L（p）元，由题意知L（p）＝pQ－20Q＝Q（p－20）＝（8

300－170p－p2）（p－20）＝－p3－150p2＋11

700p－166

000（p≥20），所以L'（p）＝－3p2－300p＋11

700.令L'（p）＝0，解得p＝30或p＝－130（舍去）.因为