备战2024年高考数学一轮复习2.2基本不等式(精讲)(原卷版+解析)

2.2基本不等式（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一基本不等式常考形式【例1-1】（2022·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是5【例1-2】（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．9 B． C．10 D．无最小值【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（

）A． B． C．3 D．【一隅三反】1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值2．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.考点二基本不等式与其他知识综合【例2-1】（2022·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A． B． C． D．【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数的最大值为___________．【例2-3】（2022·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（

）A．为常数 B．的最小值为C．的最小值为 D．、的值可以为，【一隅三反】1．（2022·江西·临川一中）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．22．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（2022·安徽省舒城中学）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．4．（2022·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．45．（2021·江苏·扬州大学附属中学）不等式的解集为，则的最大值为____________.6．（2022·安徽·合肥一中）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.7．（2021·四川达州·一模（文））定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.考点三连用两次基本不等式【例3】（2021·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．42．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．3.若a，b∈R，ab＞0，则eq\f(a4＋4b4＋1,ab)的最小值为________．2.2基本不等式（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一基本不等式常考形式【例1-1】（2022·河北石家庄·高三阶段练习）（多选）已知，，且，则（

）A．的最小值是1 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是5【答案】BC【解析】由已知，得，则，当且仅当时取等号，所以的最大值是，所以选项A错误；，当且仅当，时取等号，所以的最小值是，所以选项B正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值是4，所以选项C正确；，当且仅当时取等号，所以的最小值是，所以选项D错误．故选：BC．【例1-2】（2022·全国·模拟预测）已知a，b为非负数，且满足，则的最大值为（

）A．40 B． C．42 D．【答案】D【解析】，又，当且仅当时取“=”，则，所以当时，的最大值为.故选：D【例1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知正实数满足，则的最小值为（

）A．9 B． C．10 D．无最小值【答案】A【解析】由，得，即，所以：，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选：A【例1-4】（2022·全国·高三专题练习）已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】设，则，当时，，所以函数在上为增函数，∵

∴

，即，又，∴，∴当且仅当时等号成立，∵不等式对任意的正实数恒成立，∴，故选：D.【一隅三反】1．（2022·海南）（多选）已知，是正实数，则下列选项正确的是（

）A．若，则有最小值2B．若，则有最大值5C．若，则有最大值D．有最小值【答案】AC【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；对于B，，，，，当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；对于C，，，，，当且仅当，即时取等号，则则有最大值，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：AC2．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且，即时取等号，则的最大值为．故选：A．3．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在上单调递增，恒成立，，，，，，令，设，则，，，（当且仅当，即时取等号），，即的最小值为.故选：.4．（2022·全国·高三专题练习）若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，当且仅当时，等号成立，则使不等式有解，只需满足即可，解得故选：C5．（2022·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为________.【答案】【解析】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.考点二基本不等式与其他知识综合【例2-1】（2022·河南许昌）若直线被圆截得的弦长为，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，若直线被截得弦长为，说明圆心在直线：上，即，即，∴，当且仅当，即时，等号成立．故选：D.【例2-2】．（2022·全国·高三专题练习）设，则函数的最大值为___________．【答案】【解析】因为，，函数，当且仅当等号成立．故最大值为．【例2-3】（2022·山东·广饶一中）直角三角形中，是斜边上一点，且满足，点、在过点的直线上，若，，，则下列结论错误的是（

）A．为常数 B．的最小值为C．的最小值为 D．、的值可以为，【答案】B【解析】如下图所示：由，可得，，若，，，则，，，、、三点共线，，，故A正确；所以，时，也满足，则D选项正确；，当且仅当时，等号成立，C成立；，当且仅当时，即，时等号成立，故B选项错误.故选：B【一隅三反】1．（2022·江西·临川一中）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．2【答案】B【解析】由函数的图象经过，则，即．，当且仅当时取到等号．故选：B．2．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在m，使得，则的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q，前三项的和为7，则，即，解得或（舍去），又由，得，即，得，所以，当且仅当时，等号成立，且m，，故选：B3．（2022·安徽省舒城中学）如图，在中，是线段上的一点，且，过点的直线分别交直线，于点，，若，，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件可得，∵∴，因为三点共线，∴，∴，∵，∴，则；当且仅当，即时取等号，故的最小值是；故选：C．4．（2022·广东·广州六中高一期末）己知第二象限角的终边上有异于原点的两点，，且，若，则的最小值为（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【解析】因为，所以，又第二象限角的终边上有异于原点的两点，，所以，则，因为，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B5．（2021·江苏·扬州大学附属中学）不等式的解集为，则的最大值为____________.【答案】【解析】当时，即不等式的解集为，则，，要使得有意义，此时，则；当时，若不等式的解集为，则，即，所以，，因为，则，当时，则，此时；当时，则，令，则，当且仅当时，等号成立.综上所述，的最大值为.故答案为：.6．（2022·安徽·合肥一中）已知圆的半径为3，，为该圆的两条切线，为切点，则的最小值为___________.【答案】【解析】如图所示，设（），，则，，，，当且仅当即时等号成立，∴的最小值是.故答案为：．7．（2021·四川达州·一模（文））定义在上的函数满足，当时，.设在上最小值为，则___________.【答案】【解析】当时，因为，所以当且仅当，即时，取等号；所以当时，；又所以；当时，则，所以；又在上最小值为，所以当时，则所以即，所以所以数列是以为首项，3为公差的等差数列，即所以.故答案为：.考点三连用两次基本不等式【例3】（2021·广东河源·模拟预测）函数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】（当且仅当，即时等号成立），（当且仅当，即时等号成立）.两个等号可以同时成立，的最小值为.故选：C.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）若a，，，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】A【解析】，当且仅当时，等号成立；又，当且仅当时，即，等号成立；，解得，，所以的最大值为故选：A2．（2022·全国·高三专题练习）已知实数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若ab+c取最小值，则ab异号，c＜0，根据题意得：，又由，即有，，当，分别取时，等号成立，即的最小值为-5，故选：D3.若a，b∈R，ab＞0