高一数学教材同步知识点专题详解(苏教版必修第一册)6.2指数函数(原卷版+解析)

6.2指数函数TOC\o"1-4"\h\z\u6.2指数函数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1指数函数的概念 3知识点2指数函数的图象和性质 4二、典型题型 4题型1利用单调性比较大小 6题型2利用单调性解不等式 8题型3指数函数过定点问题 10三、难点题型 10题型1求指数函数型函数的定义域 12题型2求指数函数型函数的值域 13四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.例1（多选题）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2已知函数是指数函数，且，则______．例3已知指数函数的图象经过，试求和的值．知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数例1（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A．B．C． D．例2若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)b____0.(填“>”“<”“＝”)例3已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．二．典型题型题型1利用单调性比较大小解题技巧：在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．例1（多选题）若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．例2已知则a，b，c的大小关系是________.例3比较下列几组值的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)，，．题型2利用单调性解不等式解题技巧：1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．例1（多选题）不等式成立的充分不必要条件可以是（）A． B．C． D．例2不等式的解集为______．例3已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：.题型3指数函数过定点问题解题技巧：利用函数图像变换和指数函数过定点（0,1）例1（多选题）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（

）A．在定义域内单调递减 B．图象过点C．是奇函数 D．定义域是例2函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是_________.例3已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.(1)求证：函数在上单调递增；(2)解不等式.三．难点题型题型1求指数函数型函数的定义域解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．例1（多选题）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．C．与 D．与例2函数的定义域为______．例3已知函数.(1)求的定义域；(2)讨论的奇偶性.题型2求指数函数型函数的值域解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．例1（多选题）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减例2高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．四．活学活用培优训练一、单选题1．若p：函数是指数函数，，则q是p的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要2．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（

）A． B．C． D．3．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，4．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．6．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知，则下列说法正确的是（

）A．且 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是8．对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，下述结论正确的是（

）A． B．C． D．9．已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（

）A． B． C． D．三、填空题10．已知表示不超过x的最大整数，如．若函数，则函数的最小值为_______．11．已知函数（），若对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是______.12．已知函数为奇函数，则___________.四、解答题13．已知函数|.(1)作出图象；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时函数有最值.14．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．(1)求的值；(2)当时，函数的图象恒在函数图象的上方，求实数t的取值范围．15．已知为偶函数，为奇函数，且．(1)求的解析式；(2)若对任意的，总存在，使得成立，求n的取值范围．6.2指数函数TOC\o"1-4"\h\z\u6.2指数函数 1知识框架 1一、基础知识点 1知识点1指数函数的概念 3知识点2指数函数的图象和性质 4二、典型题型 4题型1利用单调性比较大小 6题型2利用单调性解不等式 8题型3指数函数过定点问题 10三、难点题型 10题型1求指数函数型函数的定义域 12题型2求指数函数型函数的值域 13四、活学活用培优训练 22一．基础知识点知识点1指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a>0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.例1（多选题）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出a的值.【详解】由指数函数的定义知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故选：ACD.例2已知函数是指数函数，且，则______．【答案】【分析】依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.【详解】解：由题意，设（且），因为，所以，又，所以，所以，所以．故答案为：例3已知指数函数的图象经过，试求和的值．【答案】，．【分析】设函数（且），根据已知条件求出的值，确定函数的解析式，即可求得和的值.【详解】设函数（且），则，可得，故.因此，，．知识点2指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)定点图象过点(0,1)，图象在x轴的上方函数值的变化x>0时，y>1；x<0时，0<y<1x>0时，0<y<1；x<0时，y>1单调性在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数例1（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】ABD【分析】根据的关系与各图形一个个检验即可判断．【详解】当时，A正确；当时，B正确；当时，D正确；当时，无此选项．故选：ABD．例2若函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)b____0.(填“>”“<”“＝”)【答案】<【分析】先画出函数的草图得到化简不等式即得解.【详解】已知函数f(x)＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．由图象可得所以∴(a－1)b<0.故答案为：＜【点睛】本题主要考查指数函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.例3已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【答案】(1)a＝，b＝－3(2)a的取值范围为(0，1)，b的取值范围为．(3)或【分析】（1）代入点的坐标列出方程求解即可；（2）根据图象可知函数为减函数确定的取值范围，再由可求的取值范围；（3）作出的图象，数形结合求解即可.(1)因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.(2)由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．(3)由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.二．典型题型题型1利用单调性比较大小解题技巧：在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．例1（多选题）若，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】构造函数，利用函数的单调性可得出、的大小关系，利用函数的单调性、中间值法可判断各选项的正误.【详解】由，得，令，则．因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，所以，故A正确；因为在和上都单调递减，所以当时，，故B错误；当，时，，无意义，故C错误；因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．故选：AD．例2已知则a，b，c的大小关系是________.【答案】或【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可【详解】因为是R上的减函数，且，所以，所以，因为是R上的增函数，且，所以，所以，所以故答案为：或例3比较下列几组值的大小：(1)和；(2)和；(3)和；(4)，，．【答案】(1)(2)(3)>(4)【分析】（1）（2）（3）（4）利用指数函数的单调性分析比较大小即可（1）由于，．∵在上为增函数，且，∴，即；（2）由于．∵在上为减函数，且，∴；（3）∵在上为减函数，在上为增函数，且，∴，，∴；（4）∵，在上为增函数，且∴，∴．题型2利用单调性解不等式解题技巧：1．形如ax>ay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．例1（多选题）不等式成立的充分不必要条件可以是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】求出不等式的解，然后概率充分必要条件的定义判断．【详解】由得，因此A是充要条件，B既不是充分条件也不是必要条件，CD是充分不必要条件．故选：CD．例2不等式的解集为______．【答案】【分析】根据二次不等式的解法可得，然后根据指数函数的单调性即得.【详解】不等式，可化为，即，解得，所以，所以不等式的解集为．故答案为：．例3已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：.【答案】(1)(2)【分析】（1）把代入见解析，结合指数函数的定义可得答案；（2）利用指数函数的单调性解不等式可得答案.（1）因为指数函数的图象经过点，所以，解得，所以；（2）因为是单调递减函数，由得，解得，所以不等式的解集为.题型3指数函数过定点问题解题技巧：利用函数图像变换和指数函数过定点（0,1）例1（多选题）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（

）A．在定义域内单调递减 B．图象过点C．是奇函数 D．定义域是【答案】BC【分析】求出函数的图象所过定点的坐标，代入函数的解析式，求出的值，再利用幂函数的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.【详解】由，即，可得，故函数（且）的图象过定点，则，解得，则，定义域为，且为奇函数，函数在上单调递减，在上单调递减，但在定义域内不单调递减.因为，所以函数的图象经过点，所以选项B、C正确.故选：BC.例2函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是_________.【答案】【分析】令，可计算得，从而可得定点坐标.【详解】当，即时，，所以函数的图象过定点.故答案为：例3已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.(1)求证：函数在上单调递增；(2)解不等式.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）求函数的定点坐标，从而得函数解析式，然后利用函数单调性的定义证明，任取，作差并化简，并判断的正负，从而根据定义说明单调性；（2）先证明得函数为奇函数，将不等式变形为，然后根据函数的单调性即可得解.(1)因为的图像过定点，所以，所以定点坐标为，则，所以函数解析式为.任取，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数在上单调递增.(2)因为函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，所以变形为，当时，，所以不等式转化为，解集为，不符合题意；当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以不等式转化为，解得，所以不等式的解集为.【点睛】利用函数单调性的定义的证明题，一般需要先在区间上取值，然后作差，并且因式分解，从而判断的正负号，即可判断出函数的单调性.三．难点题型题型1求指数函数型函数的定义域解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．例1（多选题）下列四组函数中，表示同一函数的是（

）A．与 B．C．与 D．与【答案】BC【分析】分别求得对应选项中函数的定义域，并判断对应关系是否相同，即可判断是否表示同一个函数.【详解】对A：，故可得，又，对应关系不同，故与表示不同的函数；对B：，故与表示同一个函数；对C：，故与表示同一个函数；对D：，其定义域为，与的定义域不相等，故与表示不同的函数；综上所述，表示同一个函数的是.故选：.例2函数的定义域为______．【答案】【分析】解指数不等式得出定义域.【详解】，即定义域为.故答案为：例3已知函数.(1)求的定义域；(2)讨论的奇偶性.【答案】(1)(2)奇函数【分析】（1）由分母不为零即可求解；（2）由奇偶性的定义判断即可(1)由，得，即，因此函数的定义域为.(2)由（1）知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，又，所以为奇函数.题型2求指数函数型函数的值域解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．例1（多选题）已知函数，则（

）A．函数的定义域为R B．函数的值域为C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减【答案】ABD【分析】由函数的表达式可得函数的定义域可判断A；令，则，，结合指数函数的单调性得到函数的值域，可判断B；根据复合函数单调性的判断方法可得函数的单调性可判断C、D.【详解】令，则．对于A，的定义域与的定义域相同，为R，故A正确；对于B，，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于C、D，因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.例2高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．【答案】【分析】根据指数函数的性质分析的值域，进而得到的值域即可【详解】∵，，∴令，则故函数的值域为，故答案为：例3四．活学活用培优训练一、单选题1．若p：函数是指数函数，，则q是p的（

）条件A．充要条件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根据命题和指数函数的定义列方程解得，根据命题解得，再根据必要不充分条件的定义判断即可.【详解】命题p真，则，解得或2，又，∴；q为真，则或2，∴q是p的必要不充分条件.故选：C．2．已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的性质计算可得；【详解】解：当时，则，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以当时．故选：B3．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（

）A．，，， B．，，，C．，，，， D．，，，，【答案】C【分析】根据指数函数的性质，结合函数图象判断底数的大小关系.【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．4．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；【详解】解：令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B5．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案.【详解】由题意得，即，解得．故选：C.6．函数的图象大致为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数解析式，分析函数在时的单调性及值域即可得解.【详解】由可知，当时，单调递减，且，故选：C二、多选题7．已知，则下列说法正确的是（

）A．且 B．的最小值是C．的最小值是4 D．的最小值是【答案】ACD【分析】对于A，利用的值域及单调性即可判断得且，故A正确；对于B，利用基本不等式可得，再进行化简即可得到，故B错误；对于C，利用基本不等式中“1”的妙用可得，故C正确；对于D，由结合基本不等式可判断得D正确.【详解】对于A，因为，，所以，即，由于在上单调递增，所以，同理可得，故A正确；对于B，因为，，所以，即，即，即，由于在上单调递增，所以，即，当且仅当且，即时，等号成立，故的最大值是，故B错误；对于C，因为，，当且仅当且，即时，等号成立，故C正确；对于D，，当且仅当且，即时，等号成立，故D正确.故选：ACD.8．对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，下述结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用指数幂的运算和指数函数的性质判断.【详解】解：对于A，，，，正确；对于B，，，错误；对于C，∵在定义域中单调递增，，正确；对于D，，又，则，错误；故选：AC．9．已知实数满足等式，则下列可能成立的关系式为（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐标系内分别画出函数和的图像，结合图像即可判断.【详解】由题意，在同一坐标系内分别画出函数和的图像，如图所示，由图像知，当时，，故选项A正确；做出直线，当时，若，则，故选项B正确；当时，若，则，故选项C正确；当时，易得，则，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题10．已知表示不超过x的最大整数，如．若函数，则函数的最小值为_______．【答案】1【详解】因为是表示不超过的最大正整数，所以，又因为是上的增函数，所以.故答案为：1.11．已知函数（），若对任意，，，总有，，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】由题意可得，对，，，总有恒成立，转化为，根据单调性求函数最值即可.【详解】由题意可得：对，，，总有恒成立，只需，①当时，，满足题意；②当时，在上单调递减，，故需，即；综上所述，的