2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)1.2空间向量基本定理-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

空间向量基本定理1空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p证明存在性：设a,b,c不共面，过点O作OA=过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'在平面过点P'作直线P'存在三个数x,y,z，使得OA'=xOA=x∴OP∴p唯一性：设另有一组实数x',y则x∴x−∵a,b,c不共面，∴x−故实数x,y,z是唯一的.2基底若三向量a,b,c不共面，我们把特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi3推论设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使

若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.【题型一】空间向量基本定理的理解【典题1】若{a,A．b+c,b,b−c 【典题2】已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8n【典题3】如图，在三棱锥S−ABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SAA．13a−12b+16巩固练习1(★)已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,OB,A．OA,OB,OC共线 C．OA+OB与OC共线 D．2(★)(多选题)下面四个结论正确的是()A．空间向量a,b(a≠B．若对空间中任意一点O，有OP=16OAC．已知{a,b,c}D．任意向量a,b3(★★)如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在A．12a−23b+124(★★)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AA．12a+12b+c 【题型二】空间向量基本定理的应用【典题1】如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且【典题2】如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA【巩固练习】1(★★)如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB=∠A1AC=60∘(1)用a,b,c表示2(★★)如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为DD1，BD的中点，点G3(★★★)如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)用向量AA1,AD,AB表示向量MN；(2)求证：4(★★★)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱丙两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点，且|EG|=|FH|=|KM|.求证AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.5(★★★)已知正三棱锥P−ABC的侧棱长为2，过其底面中心O作动平面α交线段PC于点S，分别交PA,PB的延长线于点M,N，求1PS+空间向量基本定理1空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p证明存在性：设a,b,c不共面，过点O作OA=过点P作直线PP'平行于OC交平面OAB于点P'在平面过点P'作直线P'存在三个数x,y,z，使得OA'=xOA=x∴OP∴p唯一性：设另有一组实数x',y则x∴x−∵a,b,c不共面，∴x−故实数x,y,z是唯一的.2基底若三向量a,b,c不共面，我们把特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示.由基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi3推论设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使

若x+y+z=1，则点P,A,B,C四点共面.【题型一】空间向量基本定理的理解【典题1】若{aA．b+c,b,b−c 【解析】对于A，若向量b+则b+即&λ+μ=1&−λ=1，解得λ=−1,μ=2故向量b+c,对于B，若向量a+b,a−故向量a+b,对于C，若向量a,则a+b=λa+μ(故向量a,a+对于D，若向量a+b,a+故向量a+b,故选：B．【典题2】已知非零向量a=3m−2n−4p，b=(x+1)m+8【解析】∵m、n∵a//b，故存在λ≠0即(x+1)m∴&x+1=3λ&8=−2λ&2y=−4λ，解得：&x=−13&y=8【典题3】如图，在三棱锥S−ABC中，点E,F分别是SA,BC的中点，点G在棱EF上，且满足EGGF=12，若SAA．13a−12b+16【解析】因为SG==1=1故选：B．巩固练习1(★)已知O,A,B,C为空间四点，且向量OA,A．OA,OB,OC共线 C．OA+OB与OC共线 D．【答案】D【解析】由于向量OA,OB,所以O,A,B,C四点共面，故选：D．2(★)(多选题)下面四个结论正确的是()A．空间向量a,b(a≠B．若对空间中任意一点O，有OP=16OAC．已知{a,b,c}D．任意向量a,b【答案】ABC【解析】对于A：空间向量a,b(a≠0,对于B：若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13对于C：已知{a,b,c}是空间的一组基底，若对于D：任意向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a故选：ABC．3(★★)如图所示，在四面体O−ABC中，OA=a,OB=b,OC=c，点M在A．12a−23b+12【答案】B【解析】连接ON，∵N是BC的中点，∴ON∵OM∴MN故选：B．4(★★)如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A．12a+12b+c 【答案】D【解析】∵在平行六面体ABCD－A1B1C1∴CM=−AD=−1故选：D．【题型二】空间向量基本定理的应用【典题1】如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且【求证】如图，设CD=CB=CC1=a，令CDCA∴C又a⋅a=∴CA1⋅BD同理可证CA又C1B∩BD=B，C1∴CA1⊥【典题2】如图，在三棱锥P−ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F，若PD=mPA【证明】如图示：连接AG并延长交BC于点H，由题意可令{PA故PM=3连接DM，因为点D,E,F,M共面，故存在实数λ,μ，使得DM=λ即PM−故PM=(1−λ−μ)由空间向量基本定理知14故1m【巩固练习】1(★★)如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，∠A1AB=∠A1AC=60∘(1)用a,b,c表示【答案】(1)A1【解析】(1)因为△ABC为正三角形，点M为△ABC的重心，所以N为所以AN=所以A1(2)设三棱柱的棱长为m，则A1所以A12(★★)如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F(1)求证:EF⊥B1C；(2)求【答案】(1)略(2)51【解析】(1)证明设DA=则EFB1∵EF=−1∴EF(2)解由(1)知EF=12又|EFEF⋅=1cos⁡∴EF与C1G所成角的余弦值为3(★★★)如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，(1)用向量AA1,(2)求证：D,M,B(3)当AA1AB【答案】(1)MN=AB+AD−【解析】(1)MN=证明：(2)∵DM=AM∴DM=N解：(3)当AA1AB证明：设AA∵底面ABCD为菱形，则当AA1AB∵AC1∠A∴A∴AC4(★★★)已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证:这个四面体相对的棱丙两垂直.已知：如图，四面体ABCD，E,F,G,H,K,M分别为棱AB,BC,CD,DA,BD,AC的中点，且|EG|=|FH|=|KM|.求证AB⊥CD,AC⊥BD,AD⊥BC.证明设AB=则EG=FH=KM=∵|EG∴(−a∴a∴4a又b=∴AC⊥DB∴这