上海市田家炳中学特色课程班2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（解析版）

2023-2024学年度上海市田家炳特色课程班九下5月月考卷（满分：150分考试时间：100分钟）一、选择题（共24分）1.通过严格实施低碳管理等措施．2022年北京冬奥会和冬残奥会全面实现了碳中和．根据测算．北京冬奥会三个赛区的场馆使用绿电4亿千瓦时，可以减少燃烧12.8万吨标准煤，减少排放二氧化碳32万吨．实现了“山林场馆.生态冬奥”的目标．将32万这个数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，先将32万表示成数的形式，再按科学记数法要求表示即可．解：万，根据科学记数法要求，的3后面有5个数位，从而用科学记数法表示为，故选：D．【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定与的值是解决问题的关键．2.关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可.解：设方程的另一个根为，则，解得：；故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两个根，则.3.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容九斛，大器一小器五容三斛，问大小器各容几何”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒9斛（斛，音hú，是古代的一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，根据题意，可列方程组为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒9斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒3斛”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．解：依题意，得：，故选：C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．4.演讲比赛共有8位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分，这6个有效评分与原始评分相比，不变的数字特征是（）A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差【答案】B【解析】【分析】根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．解：根据题意，将8个数据从小到大排列，从8个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到6个有效评分．这6个有效评分与8个原始评分相比，最中间的两个分数不变，即不变的数字特征是中位数，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数是指一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；中位数是指将一组数据从小到大或者从大到小重新排列后，最中间的那个数；一组数据中出现次数最多的数叫做众数；一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．5.如图，在平面直角坐标系中，半径为2的圆心坐标是，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（）A.1 B.1或5 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，分圆心在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况，根据半径等于圆心到直线的距离写出答案即可，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径，注意分类讨论．解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为，所以平移的距离为；当位于y轴的右侧且与y轴相切时，此时圆心P到y轴的距离是2，P的坐标为，所以平移的距离为，故选：B．6.如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案．解：当与重合时，设，由题可得：∴，，在中，由勾股定理可得：，∴，∴，∴当时，，∵，∴图象为开口向上的抛物线的一部分，当在下方时，设，由题可得：∴，，∵，,∴，∴，∴，∴，∴当时，，∵，∴图象为开口向下的抛物线的一部分，综上所述：A正确，故选：A．二、填空题（共48分）7.因式分解：＝________．【答案】【解析】分析】提公因式，即可解答．解：故答案为：【点睛】本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法．8.若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，写出满足条件的一个的值为________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，先解一元二次方程，然后根据个根均为正整数列不等式组求解即可．解：∵，∴，∴，，∵关于的一元二次方程的两个根均为正整数，∴，且为正整数，解得，且为正整数，∴可以为故答案为：（答案不唯一）．9.已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____________．【答案】##【解析】【分析】利用二次根式被开方数是非负数，分式的分母不等于零解题即可．解：依题意，得，

解得．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．考查了二次根式的意义和性质．概念：式子

叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．10.方程有两个实数根，则实数m的取值范围为__________【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解不等式等知识点，由已知中关于x的方程有两个实根，则方程的，由此构造一个关于m的不等式，解不等式即可得到实数m的取值范围，其中根据已知条件，结合一元二次方程的根的情况，构造一个关于m的不等式，是解答本题的关键．∵方程有两个实数根，∴，∴或，故答案为：或．11.计算：______．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，原式分别化简，，，，然后再合并即可得出答案解：，故答案为：212.___________【答案】【解析】【分析】本题考查了向量的加减，根据向量的加减运算法则计算即可得出答案．解：，故答案为：．13.生肖也称属相，是中国传统文化中的一种记年方式，是一种十二年一个循环的纪年系统，每年用一种动物来代表，是由十二地支演变而来的．小明手绘了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三种生肖卡，准备将其中的两张送给好朋友小亮．小明将它们洗匀后背面朝上放在桌面上（手绘生肖卡背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了求概率．熟练掌握画树状图或列表法求概率，是解决问题的关键．画树状图列举出所有等可能情况，看所求的情况占总情况多少，即可．画出树状图，共6种等可能结果，恰好抽到子鼠和丑牛的结果有2种，∴恰好抽到子鼠和丑牛的概率为，．故答案为：．14.莜麦是世界公认的营养价值很高的粮种之一．某莜麦标准化种植基地在改良前总产量为，改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩，平均亩产量为原来的1.5倍，则改良前的平均亩产量为_______【答案】【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为，根据“改良后总产量不变，但种植面积减少了25亩”列出分式方程，解分式方程即可得出答案．解：设改良前的平均亩产量为，则改良后的平均亩产量为，由题意得：，解得：，经检验，是分式方程的解，且符合题意，∴改良前的平均亩产量为，故答案为：．15.如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为______．【答案】5【解析】【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，由的周长为14，可求的长．解：与，，分别相切于点，，，，，，的周长为14，，，．故答案为：516.正八边形中心角的正切值为_________【答案】【解析】【分析】本题考查了中心角的概念、特殊角的三角函数值，先求出正八边形的中心角为，再根据特殊角的三角函数值即可得出答案．解：正八边形的中心角为，∴正八边形中心角的正切值为，故答案为：．17.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，．．．．，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为________【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、二次函数与一元二次方程等知识点，把代入二次函数得出，根据二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，得出，即有且只有一个根，推出，求出，，从而得出，最后由二次函数的性质即可得出答案．解：∵点是二次函数的“相反点”，∴，∴，∵二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，∴，即有且只有一个根，∴，∴，解得：，∴，∴，∴二次函数的图象的对称轴为直线，函数的最大值为，当时，，解得：，，∴当时，函数的最小值为，最大值为，故答案为：．18.如图，已知正方形的边长为4，E是边延长线上一点，，F是边上一点，将沿翻折，使点E的对应点G落在边上，连接交折痕于点H，则的长为__________．【答案】##【解析】【分析】本题考查正方形与折叠，勾股定理与折叠，正确求出和的长度是解题关键．根据正方形和折叠的性质结合勾股定理可求出，，再利用勾股定理求解即可．解：∵正方形的边长为4，∴，，∴．由翻折可知，，，，∴，∴．设，则，．在中，，即，解得：，∴．∵，∴，∴，∴．故答案为：．三、解答题（共78分）19.计算：．【答案】0【解析】【分析】先根据绝对值的意义，分数指数幂，负整数指数幂和零指数幂的运算法则进行化简，然后再根据实数混合运算法则进行运算即可．解：原式【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义，分数指数幂，负整数指数幂和零指数幂的运算法则，是解题的关键．20.解方程：【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程和解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程和解一元二次方程的方法和步骤．先去分母，将分式方程化为整式方程，再进行求解即可．解：，，，，，，，检验，当时，，∴是原方程的解，当时，，∴不是原方程的解．21.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，取AD的中点E，延长CE交BA的延长线交于点P．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）AB＝2AP，AB＝8，求AD的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）连接AC，OC，欲证PC是⊙O的切线，只需证明OCP＝90°即可．（2）利用直角三角形斜边上的中线证明AOC是等边三角形，进而可得BD＝2AD，运用勾股定理即可得到解答．【小问1】证明：连接AC，OC，

∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，∴BAD＝ACB＝90°，∵点E是AD的中点，∴AE＝DE＝CE，∴ACE＝CAE，∵OC＝OA，∴OAC＝OCA，∴OCA+ACE＝OAC+CAE＝90°，∴OCP＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；【小问2】解：∵AB＝2AP，AB＝2AO，∴AP＝AO，∵OCP＝90°，∴AC＝OA＝OC，∴AOC是等边三角形，∴AOC＝60°，∴B＝30°，∵BAD＝90°，∴BD＝2AD，在RtADB中，∵，∴，∴AD＝．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、含30°的直角三角形的性质和勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．22.某校举行“云端好声音”线上歌唱比赛活动丰富同学们的居家生活．由1至4号的专业评委和5至10号的大众评委进行评分．例如A节目演出后各个评委所给分数如下：评委编号12345678910评分/分7.27.57.87.58.29.77.96.78.59.4评分方案如下：方案一：取各位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为．方案二：从评委所给的分数中先去掉一个最高分和一个最低分，再取其余八位评委所给分数的平均数，则该节目的得分为．回答下列问题：（1）小乐认为“方案二”比“方案一”更合理，你______小乐的说法吗（填“同意”或“不同意”）？理由是______；（2）小乐认为评分既要突出专业评审的权威性又要尊重大众评审的喜爱度，因此设计了“方案三”：先计算1至4号评委所给分数的平均数，5至10号评委所给分数的平均数，再根据比赛的需求设置相应的权重（表示专业评委的权重，表示大众评委的权重，且）．如：当时，则．该节目的得分为．Ⅰ．当按照“方案三”中评分时，A节目的得分为______；Ⅱ．关于评分方案，下列说法正确的有______．①当时，A节目按照“方案三”评分的结果比“方案一”和“方案二”都高；②当时，A节目按照“方案三”和“方案一”评分结果相同；③当时，说明“方案三”评分更注重节目的专业性．【答案】（1）同意，理由见解析；（2）Ⅰ．7.68；Ⅱ．①③．【解析】【分析】（1）根据算术平均数的概念和意义，即可得到答案；（2）I．根据，直接代入数据，即可求解；Ⅱ．根据对①②③进行判断，即可得到结论．【小问1】解：同意小乐的说法，理由是：评委的评分常带有主观性，去掉最高分和最低分，能够使评分更具公平性．【小问2】解：I．∵，，，，∴，∴A节目的得分为：7.86；Ⅱ．①当时，A节目按照“方案三”评分的结果=，比“方案一”和“方案二”都高，故原说法正确；②当时，A节目按照“方案三”的评分结果，与“方案一”的评分结果不一样，故原说法错误；③当时，A节目按照“方案三”的评分结果，与“方案一”的评分结果一样；当时，说明专业评委的权重占比大于大众评委的权重，即“方案三”评分更注重节目的专业性，故原说法正确；综上所述：①③正确．【点睛】本题主要考查平均数，掌握算术平均数和加权平均数的定义，是解题的关键．23.平面几何图形的许多问题，如：长度、周长、面积、角度等问题，最后都转化到三角形中解决．古人对任意形状的三角形，探究出若已知三边，便可以求出其面积．具体如下：设一个三角形的三边长分别为a、b、c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）．（1）一个三角形边长依次是5、6、7，利用两个公式，可以求出这个三角形的面积；（2）学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求出其面积．如图，在中，，，，求的面积和边上得高的长．【答案】（1）（2）的面积为84；边上得高的长为12【解析】【分析】（1）利用两个公式分别代入即可；（2）设，则，利用勾股定理得，，即，求解得，即，再利用勾股定理求解，然后利用三角形面积公式求出其面积即可．【小问1】解：，由海伦公式可得；由秦九昭公式可得．【小问2】解：设，则，，，，，解得；∴∴．∴．【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，正确掌握三角形面积公式和勾股定理是解题的关键．24.在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线．（1）求抛物线的表达式；（2）直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长；（3）点是该抛物线上一点，且在第一象限内，联结、，交线段于点，当时，求点的坐标．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．【解析】【分析】（1）根据抛物线与轴交于点可得出c的值，然后由对称轴是直线可得出b的值，从而可求出抛物线的解析式；

（2）令y=0得出关于x的一元二次方程，求出x，可得出点A、B的坐标，从而得到AB的长，再求出MN的长，根据抛物线的对称性求出点M的横坐标，再代入抛物线解析式求出点M的纵坐标，再根据点的对称可求出OE的长；

（3）过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，先证明△EGF∽△EQP，可得，设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P点的坐标，根据P在抛物线的图象上，可得关于a的方程，把a的值代入P点坐标，可得答案．解：（1）将点C（0，3）代入得c=3，又抛物线的对称轴为直线x=1，∴-=1，解得b=2，∴抛物线的表达式为y=-x2+2x+3；（2）如图，令y=0，则-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，

∴点A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，

∵，∴MN=×4=3，

根据二次函数对称性，点M的横坐标为，代入二次函数表达式得，y=，∴点M的坐标为，又点C的坐标为（0，3），点C与点E关于直线MN对称，∴CE=2×（3-）=，∴OE=OC-CE=；（3）如图，过点E作x轴的平行线EH，分别过点F，P作EH的垂线，垂足分别为G，Q，则FG∥PQ，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，∴直线BC的解析式为y=-x+3，设点F的坐标为（a，-a+3），则EG=a，FG