2023-2024学年湖北省武汉市问津教育联合体高二（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市问津教育联合体高二（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={n∈N|2(4−n)!≥(5−n)!}，B={n∈N|C4n=CA.⌀ B.{3,4} C.{1,3,4} D.{0,1,2,3}2.某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分X的可能取值有(    )种．A.10 B.11 C.13 D.143.若P(B|A)=13，P(A−)=14A.14 B.34 C.124.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a8A.10 B.15 C.152 D.5.随机变量X的分布列如下所示.则D(bX)的最大值为(

)X123Pa2baA.29 B.19 C.2276.下列说法中正确的是(

)

①设随机变量X服从二项分布B(6,12)，则P(X=3)=516

②一批零件共有20个，其中有3个不合格.随机抽取8个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为4657

③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“4个人去的景点互不相同”，事件B=“小赵独自去一个景点”，则P(A|B)=2A.①② B.②③ C.①③④ D.①②③7.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是(

)A.C32+C42+C52+…+C112=220

B.第2023行中从左往右第1011个数与第1012个数相等

C.记第n行的第i个数为8.已知过点A(a,0)可以作曲线y=(x−1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是(

)A.(1,+∞) B.(−∞,−e)∪(2,+∞)

C.(−∞,−2)∪(2,+∞) D.(−∞,−3)∪(1,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是(

)A.四位回文数有45个 B.四位回文数有90个

C.2n(n∈N∗)位回文数有10n个 D.10.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是(

)A.在第一次抽到2号球的条件下，第二次也抽到2号球的概率是14

B.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是35

C.第二次取到1号球的概率12

D.如果第二次取到111.甲盒中装有3个蓝球、2个黄球，乙盒中装有2个蓝球、3个黄球，同时从甲、乙两盒中取出i(i=1,2)个球交换，分别记交换后甲、乙两个盒子中蓝球个数的数学期望为Ei(X)，Ei(Y)A.E1(X)+E1(Y)=5 B.E1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}满足a1=1，na13.若(x2−2x+2)5=14.已知函数f(x)=2x−sinx，若f(2t)+f(t2−3)<0，则实数t四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在①各项系数之和为−512；②常数项为−17；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题．

在(1−2x)(1+x)n的展开式中，_____.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

(1)求展开式中x3项的系数；

(2)求16.(本小题15分)

已知数列{an}满足a1−1a1⋅a2−1a2⋅a3−1a3…an+1−1an+117.(本小题15分)

某商场为了回馈顾客，开展一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中红球4个，白球4个.规定：

①每次抽奖时顾客从抽奖箱中随机摸出两个小球，如果摸出的两个小球颜色相同即为中奖，颜色不同即为不中奖；

②每名顾客只能选一种抽奖方案进行抽奖，方案如下：

方案一：共进行两次抽奖，第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖；

方案二：共进行两次抽奖，第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖．

(1)顾客甲欲参加抽奖活动，请从中奖的数字特征角度为顾客甲提供决策依据；

(2)已知有300位顾客按照方案二抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？18.(本小题17分)

已知函数f(x)=−2lnx+ax+x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当x≥1时，f(x)≥119.(本小题17分)

AI机器人，即人工智能机器人，是一种基于人工智能(AI)技术的机器人，目前应用前景广阔.我国某企业研发的家用AI机器人，其生产共有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道工序是出厂检测工序，包括智能自动检测与人工抽检，其中智能自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线进行人工抽检.已知该家用机器人在生产中前三道工序的次品率分别为123，124，125．

(1)已知某批次的家用机器人智能自动检测显示合格率为99%，求在人工抽检时，工人抽检一个家用AI机器人恰好为合格品的概率；

(2)该企业利用短视频直播方式扩大产品影响力，在直播现场进行家用AI机器人推广活动，现场人山人海，场面火爆，从现场抽取幸运顾客参与游戏，游戏规则如下：参与游戏的幸运顾客，每次都要有放回地从10张分别写有数字1～10的卡片中随机抽取一张，指挥家用机器人运乒乓球，直到获得奖品为止，每次游戏开始时，甲箱中有足够多的球，乙箱中没有球，若抽的卡片上的数字为奇数，则从甲箱中运一个乒乓球到乙箱；若抽的卡片上的数字为偶数，则从甲箱中运两个乒乓球到乙箱，当乙箱中的乒乓球数目达到9个时，获得奖品优惠券400元；当乙箱中的乒乓球数目达到10个时，获得奖品大礼包一个，获得奖品时游戏结束．

①求获得“优惠券”的概率；

②若有32个幸运顾客参与游戏，每人参加一次游戏，求该企业预备的优惠券总金额的期望值．参考答案1.B

2.C

3.C

4.A

5.D

6.D

7.C

8.D

9.BD

10.AC

11.ACD

12.2023202513.−592

14.(−3,1)

15.解：(1)选条件①各项系数之和为−512，取x=1，

则(−1)⋅2n=−512，解得n=9；

此时展开式中x3项的系数为1×C93+(−2)C94=−168；

选条件②常数项为−17，由(1−2x)(1+x)n=(1+x)n−2x(1+x)n，

则常数项为Cn0−2Cn116.解：(1)由a1−1a1⋅a2−1a2⋅a3−1a3⋅⋅⋅an+1−1an+1=1an+1得，

当n≥2，a1−1a1⋅a2−1a2⋅a3−1a3⋅⋅⋅an−1an=1an，

所以an+1−1an+117.解：(1)方案二：设中奖次数为Y，若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，

中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，则P(Y=0)=C41C41C82⋅CY012P12161所以Y的数学期望为E(Y)=0×1235+1×1635+2×15=67，

方差D(X)=(0−67)2×1235+(1−67)2×1635+(2−67)2×15=128245，

方案一：设中奖次数为X，若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，

则每次中奖的概率为C42+C42C82=37，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，

即X∼B(2,37)，所以X的数学期望为E(X)=2×37=67，

方差为D(X)=2×37×47=2418.解：(1)函数f(x)=−2lnx+ax+x的定义域是(0,+∞)，

f′(x)=−2x−ax2+1=x2−2x−ax2，

令f′(x)=0，即x2−2x−a=0，Δ=4+4a，

①当Δ≤0，即a≤−1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．

②当Δ>0，即a>−1时，令f′(x)<0，得1−a+1<x<1+a+1；

令f′(x)>0，得x<1−a+1或x>1+a+1，

又因为x∈(0,+∞)，令1−a+1>0，即−1<a<0，

所以当−1<a<0时，f(x)在(0,1−a+1)和(1+a+1,+∞)上单调递增，在(1−a+1,1+a+1)上单调递减；

当a≥0时，f(x)在(0,1+a+1)上单调递减，在(1+a+1,+∞)上单调递增．

综上，当a≤−1时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当−1<a<0时，f(x)在(0,1−a+1)和(1+a+1,+∞)上单调递增，在(1−a+1,1+a+1)上单调递减；

当a≥019.解：(1)设家用机器人经过前三道工序后是合格品的概率为p，

则p=(1−123)(1−124)(1−125)=2225，

设家用机器人智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，

则P(A)=99100，P(AB)=2225，

故所求概率为P(B|A)=P(AB)P(A)=2225×10099=89；

(2)①设乙箱中有n个球的概率为Pn(1≤n≤10)，第一次抽到奇数，