2023-2024学年福建省三明市宁化一中高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省三明市宁化一中高二（下）第一次段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.某统计部门对四组数据进行统计分析后.获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是(

)

A.

r4<r2<0<r12.若曲线y=lnx+ax在点(1,a)处的切线与直线l：x+y+5=0平行，则实数a=(

)A.12 B.1 C.32 3.如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有(

)A.48种

B.72种

C.64种

D.256种4.若f(x)=ln(2−x)+x3，则A.1 B.23 C.43 5.在某一次招聘中，主考官要求应聘者从备选题中一次性随机抽取10道题，并独立完成所抽取的10道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对每道题的概率为23，且每道题答对与否互不影响．记甲最后的得分为X，则D(X)=(

)A.209 B.203 C.20096.将a，b，c，d，e，5名实习教师分配到某校高二年级的甲、乙、丙3个班级实习，要求每个班至少一名，最多两名，其中a不去甲班，则不同的分配方案有(

)A.180种 B.150种 C.90种 D.60种7.红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.8℃的人时，显示体温X服从正态分布N(36.8,0.06n)，若X的值在(36.6,37.0)内的概率约为0.9545，则n的值约为(

)

(参考数据：若X～N(μ,σ2A.3 B.4 C.5 D.68.在图1杨辉三角和图2高尔顿板模型中，在一块木板上钉着若干排相互平行且相互错开的圆柱形钉子，钉子之间留有空隙作为通道，让一个小球从高尔顿板上方的入口落下，小球在下落的过程中与钉子碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉到下方的某一球槽内，如图，小球从高尔顿板第1行的第一个缝隙落下的概率是12，第二个缝隙落下的概率是12；从第2行第一个缝隙落下的概率是14，第二个缝隙落下的概率12，第三个缝隙落下的概率是14，小球从第n行第m个缝隙落下的概率可以由杨辉三角快速算出，那么小球从第6行某个缝隙落下的概率可能为A.764 B.58 C.332二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，下列结论正确的是(

)A.不同的站队方式共有120种

B.若甲和乙不相邻，则不同的站队方式共有36种

C.若甲在乙的左边，则不同的站队方式共有60种

D.若甲和乙相邻，且甲不在两端，则不同的站队方式共有36种10.有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为5：6：9，现任取一个零件，记事件Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3)，事件B=“零件为次品”，则(

)A.P(A1)=0.25 B.P(B|A2)=11.已知函数f(x)=xlnx−m(x>1),g(x)=eA.若函数f(x)有两个不同的零点，则m>e

B.若函数g(x)≥0恒成立，则m≤e

C.若函数f(x)和g(x)共有两个不同的零点，则m=1

D.若函数f(x)和g(x)共有三个不同的零点，记为x1，x2，x3，且三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x+y)6的展开式中，所有项的二项式系数和为______．13.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.则第4次投篮的人是甲的概率为______．14.斐波那契数列(Fibonaccisequence)，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多⋅斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：a0=1，a1=1，an=an−1+an−2四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知11An3−10Cn5=0，且(1−2x)n=a0+a116.(本小题15分)

为营造浓厚的全国文明城市创建㞣围，积极响应创建全国文明城市号召，提高对创城行动的责任感和参与度，学校号召师生利用周末参与创城志愿活动.高二(1)班某小组有男生4人，女生2人，现从中随机选取2人作为志愿者参加活动．

(1)求在有女生参加活动的条件下，恰有一名女生参加活动的概率；

(2)记参加活动的女生人数为X，求X的分布列及期望E(X)；

(3)若志愿活动共有卫生清洁员、交通文明监督员、科普宣传员三项可供选择.每名女生至多从中选择2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为12；每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为12.每人每参加1项活动可获得3个工时，记随机选取的两人所得工时之和为Y，求Y的期望17.(本小题15分)

已知函数f(x)=xa+lnx，其中a为常数，e为自然对数的底数．

(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在区间(0.e]上的最大值为2，求a18.(本小题17分)

医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n(n∈N∗)份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，则需要检验n次；

方式二：混合检验，将其中k(k∈N∗且k≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验．

若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p(0<p<1)．

(1)现有4份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

(2)现取其中k(k∈N∗且k≥2)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为ξ1，采用混合检验方式，样本需要检验的总次为ξ2．

(i)若E(ξ1)=E(ξ2)，试求p关于k的函数关系式p=f(k)；

19.(本小题17分)

在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线C：y=f(x)上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点时，A点的切线lA也随着转动到B点的切线lB，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于lB的倾斜角与lA的倾斜角之差).显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义K−=|ΔθΔs|为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=limΔs→0|ΔθΔs|=|y″|(1+y′2)32(若极限存在)为曲线C在点A处的曲率.(其中y′，y′′分别表示y=f(x)在点A处的一阶、二阶导数)；

(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆x25

参考答案1.C

2.D

3.A

4.B

5.D

6.C

7.D

8.C

9.ACD

10.ACD

11.ABD

12.64

13.4312514.2202315.解：(1)∵11An3−10Cn5=0，n≥5，n∈N∗，

∴11n(n−1)(n−2)−10n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)5×4×3×2×1=0，

∴n2−7n−120=0，解得n=−8(舍)或n=15，

∴n=15；

(2)由(1)得，n=15，

∴(1−2x)15=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a15x15①，

令①式中x=1，则(1−2)15=a0+a16.解：(1)设“有女生参加活动”为事件A，“恰有一名女生参加活动为事件B，

则P(AB)=12C41CC62=815，P(A)=12C41C+C22C6X012P281所以E(X)=0×25+1×815+2×115=23；

(3)设一名女生参加活动可获得工时数为X1，一名男生参加活动可获得工时数为X2，

则X1的所有可能取值为3，6，X2的所有可能取值为6，9，

P(X1=3)=P(X1=6)=12，E(17.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)

当a=−1时，f(x)=lnx−x

f′(x)=1x−1=1−xx

令f′(x)>0得，0<x<1，令f′(x)<0得，x>1或x<0，

∴函数f(x)增区间为(0,1)，减区间为(1,+∞)；

(2)f′(x)=1a+1x=a+xax

①当a<0时，x>0，∴f′(x)>0

∴函数f(x)在(0.e]上是增函数，

∴f(x)max=f(e)=2

∴ea+1=2

∴a=e符合题意；

②当a<0时，令f′(x)=0得x=−a，

1°若0<−a≤e，即−e≤a<0时

∴f(x)max=f(−a)=2

∴−1+ln(−a)=2，

∴a=−e2不符合题意，舍去；18.解：(1)设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A，则P(A)=A22A42=16，

所以恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来概率为16．

(2)(i)由已知得E(ξ1)=k，ξ2的所有可能取值为1、k+1，

P(ξ2=1)=(1−p)k，P(ξ2=k+1)=1−(1−p)k，

所以E(ξ2)=1×(1−p)k+(k+1)[1−(1−p)k]=k+1−k(1−p)k，

由E(ξ1)=E(ξ2)，得k=k+1−k(1−p)k，化简得p=f(k)=1−(1k)1k；

(ii)由题意知E(ξ1)>E(ξ19.解：(1)由题意可得单位圆上圆心角为45