2023-2024学年北京市延庆区高二下学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年北京市延庆区高二下学期期中考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.等比数列12，1，2，⋅⋅⋅，2n的项数为(

)A.n−1 B.n C.n+2 D.n+32.由数字1，2，3，4构成的三位数有(

)A.43个 B.34个 C.4×3×2个 D.3.在等差数列an中，a4+a5A.5 B.6 C.7 D.104.在(2+x)6的展开式中二项式系数最大的项是(

)A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项5.随机抛掷一颗均匀的骰子，则所得骰子朝上的点数X的数学期望是(

)A.3 B.3.5 C.3.3 D.46.盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为(

)A.16 B.310 C.127.若(1+mx)4=a0+a1A.1 B.−3 C.1或−3 D.1或38.设随机变量X的分布列为X012P111则D(X)的值为(

)A.56 B.1736 C.769.设an是等差数列，且公差不为零，其前n项和为Sn.则“∀n∈N∗，Sn+1A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知数列an的通项公式an=2n,n∈N∗.设t=A.6 B.7 C.8 D.9二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若Cn2=Cn3，则An12.已知随机变量X∼B(4,14)，则E(X)=

，D(X)=

13.学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，则E(X)=

．14.中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有

种．(用数字作答)15.已知数列an各项均为正数，其前n项和Sn满足a①an的第2项小于3；

③an为递减数列；

④a其中所有正确结论的序号是

．三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)在(2x(1)求第4项的二项式系数；(2)求x3(3)求第5项.17.(本小题12分)某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间(单位：小时)分为5组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)写出a的值；(2)试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；(3)从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．18.(本小题12分)甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为13，1(1)如果甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中的概率；(2)如果甲投篮4次，求甲至多有2次投篮命中的概率；(3)如果乙投篮10次，求乙投篮命中几个球的概率最大？直接写出结论．19.(本小题12分)已知Sn为数列an的前n项和，满足Sn=2an−1(1)求数列{an}(2)求数列an+bn的前(3)设Cn=a1⋅a20.(本小题12分)已知椭圆E:x2a(1)求椭圆E的方程；(2)A为椭圆E的右顶点，过点(2,1)的直线交椭圆E于点M,N，过点M作x轴的垂线分别与直线l,AN交于点P,Q，求PQMQ的值．21.(本小题12分)已知数列An：a1，a2，…，ann≥2满足：①(1)直接写出SA(2)证明：SAn>0(3)若SAn>0，求S参考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.B

6.D

7.C

8.B

9.A

10.C

11.20

12.1

3

13.6714.36

15.①③④

16.(1)第4项的二项式系数为C6(2)展开式中的第k+1项为Tk+1由已知，令12−3k=3，则k=3，则T4=则x3的系数为160(3)因为Tk+1求第5项，即k=4时，T4+1所以第5项为60．

17.解：(1)由频率直方图的性质，(0.005+0.02+a+0.04+0.005)×10=1，解得a=0.03，(2)由分层抽样可知：抽取的初中生有60名，高中有40名，∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)×10=0.25，∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为(0.03+0.005)×10=0.035，学生人数约为0.35×1200=420人，所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，(3)初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，故X的可能取值为：1，2，3，P(X=1)=C31⋅C∴X的分布列为：

X

1

2

3

P

3

31∴E(X)=1×3

18.(1)记“甲投篮1次，且命中”为事件A

记“乙投篮1次，且命中”为事件B记“甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中”为事件C

由已知P(A)=13由已知P(B)=14，法一：PAB=1则甲、乙两人各投篮1次，两人中至少有1人投篮命中概率为P(C)=法二：所以PAP(C)=1−P答：甲、乙两人各投篮1次，求两人中至少有1人投篮命中的概率1(2)记“甲投篮4次，且至多有2次投篮命中”为事件D

因为甲每次投篮命中的概率为P(A)=1记投篮命中次数为X，则X的取值范围是0,1,2

P(X=0)=CP(X=1)=CP(X=2)=C所以PD答：甲投篮4次，且至多有2次投篮命中的概率为8(3)根据题意，乙投篮10次，命中的次数为Y，则Y～B(10,1故P(Y=k)=C若C10k14k3故乙投篮命中2个球的概率最大．

19.(1)当n=1时，S1=2a由已知S当n≥2,n∈N∗时，Sn−1①−②得an所以an所以数列{an因为a1=1，所以设数列bn公差为db1由b1=−1,b所以bn综上，数列{an}的通项公式为；an=(2)设cn=a =(3)C即(0+2n−2)n2=12，即n

20.(1)直线l:x+2y−2=0与坐标轴的两个交点为(2,0),(0,1)，而a>b，则a=2，b=1，所以椭圆E的方程为x2(2)设过点(2,1)的直线为l1，由题意直线l设l1方程为y−1=k(x−2)，即y=kx+(1−2k)由y=kx+(1−2k)x2+4y2整理得(1+4k由Δ=[8k(1−2k)]2−4(1+4设M(x1,y1将x=x1代入l:x+2y−2=0得P(x1,令x=x1得则y====因此点P是线段MQ的中点，所以PQMQ

21.解：(Ⅰ)S(A3)的所有可能值是−7，−5，−3，−1，1，3，5，7．

(Ⅱ)证明：充分性：若an>0，即an=2n−1．

所以满足an=2n−1，且前n项和最小的数列是−1，−2，−4，…，−2n−2，2n−1．

所以a1+a2+⋅⋅⋅+an ≥ −(1+2+4+⋅⋅⋅+2n−2)+2n−1=−1−2n−2⋅21−2+