广东省佛山市顺德区梁开、顺峰、凤城中学2021-2022学年八下期中数学联考试题（解析版）

广东省佛山市顺德区梁开、顺峰、凤城中学2021~2022学年下学期八年级数学期中考联考试题一、选择题（共12题，每题3分，共36分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【详解】解：A．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点睛】本题考查是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2.如图，在等边△ABC中，AB＝4，D是边BC上一点，∠BAD＝30°，则CD长为（）A.1 B. C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】由题意可得：即AD⊥BC，由等边三角形的性质可得，AD为中线，得到，即可求解．【详解】解：等边△ABC中，AB＝4，则，，∵，∴，即AD⊥BC∴AD为△ABC中线，故选：C【点睛】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．3.在平面直角坐标系中，若将原图形上的每个点的横坐标都加上3,纵坐标保持不变，则所得图形的位置与原图形相比()A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位 C.向右平移3个单位 D.向左平移3个单位【答案】C【解析】【分析】根据把一个图形各个点横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度可直接得到答案．【详解】解：若将原图形上的每个点的横坐标都加上3，纵坐标保持不变，则所得图形的位置与原图形相比向右平移3个单位，故选C．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，关键是掌握点的坐标的变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．4.到三角形三个顶点距离相等的点是三角形（）的交点．A.三边垂直平分线 B.三个内角角平分线 C.三条中线 D.三条高【答案】A【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．【详解】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．5.如图，直线y1＝x+b与y2＝kx﹣1相交于点P，若点P的横坐标为﹣1，则关于x的不等式x+b≥kx﹣1的解集是（）A.x≥﹣1 B.x＞﹣1 C.x≤﹣1 D.x＜﹣1【答案】A【解析】【分析】观察函数图象得到当x＞-1时，函数y=x+b的图象都在y=kx-1的图象上方，所以不等式x+bkx-1的解集为x＞-1．【详解】解：当x＞-1时，x+bkx-1，即不等式x+bkx-1的解集为x-1．故选：A【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．6.多项式分解因式的结果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据提取公因式法分解因式即可解答；【详解】解：原式=m（m-4），故选：A．【点睛】本题考查因式分解——提取公因式法；一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．7.用不等式表示如图的解集，其中正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据表示解集射线方向右，可知x大于2，从数字2出发，且为实心点可知x等于2，综上可知正确选项．【详解】解：由数轴可知，表示解集射线方向右，从数字2出发，且为实心点，故x的值大于等于2，故选：C．【点睛】本题考查在数轴上表示不等式的解题，能够用在数轴上表示不等式的解集，并能根据数轴上表示的不等式解题还原不等式是解决此类题目的关键．8.如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图示可知BD为公共边，若想用“HL”判定证明和全等，必须添加AD=CB．【详解】解：在和中∴故选A【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．9.下列判断不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】C【解析】【详解】根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可：A、若，则，故本选项正确；B、若，则，故本选项正确；C、若，则，故本选项错误；D、若，则，故本选项正确.故选C．考点：不等式的性质.10.若关于x的不等式组的整数解共有2个，则m的取值范围是（）A.5<m≤6 B.4<m≤5 C.5≤m<6 D.4≤m<5【答案】B【解析】【分析】表示出不等式组的解集，由整数解有2个，确定出m的范围即可．【详解】解：不等式组整理得：，即2＜x＜m，所以不等式组的整数解有2个整数解为3，4，则m的范围为4＜m≤5．故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11.如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（）A.150° B.135° C.120° D.165°【答案】A【解析】【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形的性质得到PE=PB=4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，如图，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE为等边三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故选：A．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得∠APE=90°是解题的关键．12.如图，在△ABC中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作ODBC于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（）A.①② B.②③ C.①②③ D.①③【答案】B【解析】【分析】由角平分线的定义结合三角形内角和可判定①，在AB上取一点H，使BH=BE，进而可证△HBO≌△EBO，则有∠BOH=∠BOE=60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AH=AF，进而可判定②，作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可判定③．【详解】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，∴∠OBA=∠ABC,∠OAB=∠BAC，∴∠AOB=180°−∠OBA−∠OAB=180°−(∠ABC+∠BAC)=180°−(180°−∠C)=90°+∠C，故①错误；∵∠C=60°，∴∠ABC+∠BAC=120°，∴∠OBA+∠OAB=(∠ABC+∠BAC)=60°，∴∠AOB=120°，∴∠BOE=∠AOF=60°，如图，在AB上取一点H，使BH=BE，∵BF是∠ABC的角平分线，∴∠HBO=∠EBO，∵OB=OB，∴△HBO≌△EBO（SAS），∴∠BOH=∠BOE=60°，∴∠HOA=∠BOA−∠BOH=60°，∴∠AOH=∠AOF，∵∠HAO=∠FAO,AO=AO，∴△HAO≌△FAO（ASA），∴AH=AF，∴AB=AH+BH=AF+BE，故②正确；作OG⊥AC于G，OM⊥AB于M，如图所示：∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O，∴点O在∠C的平分线上，∴OG=OD=OM=a，∴S△ABC=AB⋅OM+BC⋅OD+AC⋅OG=(AB+BC+AC)a=ab，故③正确；故选：B．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质定理及全等三角形的性质与判定是解题的关键．二、填空题（共6题，每题4分，共24分）13.已知，则____（用“＞”或“＜”号填空）．【答案】＜【解析】【分析】根据不等式的性质判断即可．【详解】解：∵，∴＜．故答案为：＜．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向的改变是解题的关键．14.在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为______．【答案】（-1，3）【解析】【分析】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，解答即可．【详解】根据：平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，将此点的横纵坐标都变成相反数，可知：点关于原点对称的点的坐标为（-1，3）．故答案为：（-1，3）【点睛】本题考查平面直角坐标系中任意一点关于原点的对称点的坐标特征，熟记关于原点对称的两点坐标关系是解决本题的关键．15.若x2﹣8x+m2＝（x﹣4）2，那么m＝_____．【答案】【解析】【分析】根据完全平方公式，进行计算即可解答．【详解】解：∵x2-8x+m2=（x-4）2，∴x2-8x+m2=x2-8x+16，∴m2=16，∴m=±4，故答案为：±4．【点睛】本题考查了因式分解，求一个数的平方根，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．16.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠B=_____度．【答案】40【解析】【分析】延长CB到点E，使得BE=BA，连接AE，则∠E=∠BAE，由AB+BD=DC可得出DE=DC，结合AD⊥BC于D可得出△ACE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得出∠C=∠E，在△CAE中，利用三角形内角和定理可求出∠C，∠E，∠BAE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠ABC的度数．【详解】解：延长CB到点E，使得BE=BA，连接AE，则∠E=∠BAE，如图所示．∵AB+BD=DC，∴BE+BD=DE=DC．又∵AD⊥BC于D，∴△ACE等腰三角形，∴AC=AE，∴∠C=∠E．在△CAE中，∠CAE+∠C+∠E=180°，∴∠BAC+∠BAE+∠C+∠E=180°．∴∠C=∠E=∠BAE=（180°-120°）=20°．∴∠ABC=∠E+∠BAE=20°+20°=40°．故答案为：40．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠E和∠BAE的度数是解题的关键．17.按图中程序计算，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，则的取值范围为_______________________．【答案】【解析】【分析】根据题意得到第一次运算结果小于17，第二次运算结果大于等于17，列出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：由题意得解不等式①得，解不等式②得，∴不等式组的解集为．故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解运算程序并根据题意列出不等式组是解题关键．18.如图，△ABC为等边三角形，AB=4，AD⊥BC，点E为线段AD上的动点，连接CE，以CE为边在下方作等边△CEF，连接DF，则线段DF的最小值为_____．【答案】1【解析】【分析】连接BF，如图，由等边三角形的性质来证△ACE≌△BCF（SAS），从而得到∠CBF=∠CAE=30°，再由垂线段最短可知当DF⊥BF时，DF最小，最后利用含30°角的直角三角形的性质来求DF的值．【详解】解：连接BF，如图所示，∵△ABC为等边三角形，AD为△ABC的高，BC=AB=AC=4，∴∠CAE=30°，∠ACB=60°，∵△CEF为等边三角形，∴EC=FC，∠ECF=60°，∴∠ACB-∠ECB=∠ECF-∠ECB，即∠ACE=∠BCF，在△ACE和△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（SAS），∴∠CBF=∠CAE=30°，故当DF⊥BF时，由垂线段最短可知DF最小，此时∠BFD=90°，BD=BC=2，∴DF=BD=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短，旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，具有较强的综合性，关键是要学会构造全等三角形来进行角度转化进而求线段的最值．三、解答题（共6题，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共60分）19.解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】-2≤x<3，解集在数轴上表示见解析【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出解集的公共部分，最后在数轴上表示出来即可．【详解】解：，解①得：x<3，解②得：x≥-2，∴-2≤x<3，解集在数轴上表示为：【点睛】本考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解此题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集，难度适中．20.分解因式：．【答案】．【解析】【分析】先提取y，再根据公式法即可因式分解．【详解】．【点睛】此题主要考查因式分解。解题的关键是熟知提取公因式与公式法的运用．21.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）.（1）将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中画出△A1OB1，并求出这时点B1的坐标为；（2）旋转后△A1OB1的面积为；（3）计算在旋转过程中，线段OA扫过的图形的弧长．【答案】（1）（﹣3，1）（2）3.5（3）π【解析】【分析】（1）根据旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（3）利用勾股定理求出OA，根据旋转角为90°，可利用弧长等于个圆周求解．【小问1详解】如图，△A1OB1即为所求．并求出这时点B1的坐标为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）；【小问2详解】旋转后△A1OB1的面积＝3×31×32×31×2＝3.5．故答案为：3.5；【小问3详解】∵OA，旋转角为90°∴线段OA扫过的图形的弧长π．【点睛】本题考查了旋转作图，旋转的性质，求旋转角，勾股定理，求弧长，掌握以上知识是解题的关键．22.为了响应节能减排的号召，推动绿色生活方式，某品牌汽车4S店准备购进A型和B型两种不同型号的电动汽车共20辆进行销售成本价（万元/辆）售价（万元/辆）A型1616.8B型2829.4（1）如果该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，那么购进A、B两种型号的电动汽车各多少辆？（2）如果为了保证该4S店购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，那么20辆电动汽车全部售出后，求购进多少辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆（2）购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元【解析】【分析】（1）设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，由题意：该4S店购进20辆两种型号的电动汽车所花费成本为416万元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，由题意：购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式求得的范围，然后再根据一次函数的性质求得最大利润即可．【小问1详解】解：设购进A型电动汽车x辆，购进B型电动汽车y辆，根据题意，得：，解得：，答：购进A型电动汽车12辆，B型电动汽车8辆；【小问2详解】设购进A型电动汽车m辆，则购进B型电动汽车（20﹣m）辆，∵购进的A型电动汽车不少于B型电动汽车的2倍，∴m≥2（20﹣m），即m，设销售的利润为，根据题意，得：w＝（16.8﹣16）m+（29.4﹣28）（20﹣m），＝﹣0.6m+28．∵﹣0.6＜0，∴m＝14时，利润最大，最大值为：﹣0.6×14+28＝19.6万元，∴购进14辆A型电动汽车可使4S店销售的利润最大，最大利润是19.6万元．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式，一次函数关系式是解题的关键．23.已知ABC中，∠B＝∠C＝α．（1）尺规作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：①作∠EAC的平分线AD；②在AD上作点P，使ACP是以AC为底边的等腰三角形，并求出∠APC的度数（用含α的式子表示）；（2）在（1）所作的AD上是否存在着另外的点P，使ACP也为等腰三角形，若有，请直接用含α的式子表示∠APC的大小；若没有，请说明理由．【答案】（1）①见解析；②作图见解析，（2）或【解析】【分析】（1）①尺规作图作∠EAC的角平分线即可；②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；（2）分分别求解即可【小问1详解】①如图，射线即为所求②作线段的垂直平分线，交于点，连接，则即为所求；又平分【小问2详解】存在，当时，当时，综上所述，的值为或【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，正确的作图是解题的关键．24.探究题∶（1）特殊情景：如图（1），在四边形ABCD中，AB=AD，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF=∠BAD，连接EF，若∠BAD=∠B=∠D=90°，探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由（2）类比猜想：类比特殊情景，在上述（1）条件下，把“∠BAD=∠B=∠D=90°”改成一股情况“∠BAD=α，∠B+∠D=180°，”如图（2），小明猜想：线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你写出结论；若不成立，请你写出成立时α的取值范围．（3）解决问题：如图（3），在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=，计算DE的长度．【答案】（1）BE+DF＝EF（2）EF＝BE+DF成立，证明见解析（3）DE【解析】【分析】（1）将△ABE绕点A顺时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A顺时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A逆时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE