2024年高中数学同步高分突破讲义(人教A版2019)2.3直线的交点与距离-(选择性必修第一册)(学生版+解析)

直线的交点与距离1两条直线的交点设两条直线的方程是l1两条直线的交点坐标就是方程组A1(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.2几种距离(1)两点距离公式平面上的两点P1(x(2)点到直线的距离公式点P0(x0,(3)两平行直线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+

【题型一】直线交点问题【典题1】若关于x、y的方程组x+y=mx+ny=1有无穷多组解，则m+n的值为．【典题2】已知直线kx−y+1=0和x−ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为．【典题3】求过直线x+2y+1=0【典题4】若k>4，直线kx−2y−2k+8=0与2x+k2y−4巩固练习1(★)曲线y=|x|与y=kx+1的交点的情况是()A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点2(★)关于x,y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m=3(★)若三条直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0交于一点，则k的值为．4(★★)直线kx−y−1=0与直线x+2y−2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为．5(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，点M(4,2)，点N在线段OA的延长线上．设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S，则S的最小值为．【题型二】距离问题情况1两点间的距离【典题1】在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)的距离之和最小的点的坐标是．【典题2】设a,b∈R，a−12【典题3】已知m∈R，动直线l1：x+my−2=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A,B【典题4】已知点A(4,0),B(0,2)，对于直线l：x−y+m=0的任意一点P，都有PA2+PB2>18情况2点到直线的距离【典题1】已知曲线C：xy=27和直线l：3x+4y=0，点M在曲线C上，点N在直线l上，则|MN|的最小值是．【典题2】已知直线l方程为2+mx+1−2my+4−3m=0．那m【典题3】设直线l1：y=k1x+1，l2：y=(1)证明：直线l1与l(2)试用解析几何的方法证明：直线l1与l(3)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d情况3两平行线间的距离【典题1】若平面内两条平行线l1：x+a−1y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为35【典题2】正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y−5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直线方程；(2)设正方形中心G(x0,巩固练习1(★)已知△ABC的顶点为A(2,1)，B(−2,3)，C(0,−1)，则AC边上的中线长为．2(★)点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y−12=0的距离的取值范围为．3(★)到直线3x－4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是．4(★★)两条平行线l1,l2分别过点P(−1,2)，Q(2,−3)，它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则l15(★)已知直线l经过点P(5,10)，且原点到它的距离为5，则直线l的方程为．6(★★)已知点M(a,b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b7(★★)若直线m被两平行线l1：x−3y+1=0与l2：x−3y+3=0所截得的线段的长为8(★★)已知实数a,b,c成等差数列，则点P(2,−1)到直线ax+by+c=0的最大距离是．9(★★)平面直角坐标系内，动点P(a,b)到直线l1：y=12x和l2：y=−2x10(★★★)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数11(★★★)已知点P,Q分别在直线l1：x+y+2=0与直线l2：x+y−1=0上，且PQ⊥l1，点A(−3,−3)，B(3直线的交点与距离1两条直线的交点设两条直线的方程是l1两条直线的交点坐标就是方程组A1(1)若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；(2)若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；(3)若方程组有无数个解，则两条直线重合.2几种距离(1)两点距离公式平面上的两点P1(x(2)点到直线的距离公式点P0(x0,(3)两平行直线间的距离两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+

【题型一】直线交点问题【典题1】若关于x、y的方程组x+y=mx+ny=1有无穷多组解，则m+n的值为【解析】关于x、y的方程组x+y=mx+ny=1有无穷多组解，则直线x+y=m和直线x+ny=1重合，故m=1，n=1，所以m+n=2．【典题2】已知直线kx−y+1=0和x−ky=0相交，且交点在第二象限，则实数k的取值范围为．【解析】联立方程kx−y+1=0x−ky=0，解得x=k1−因为交点在第二象限，所以k1−k2故实数k的取值范围为(−1,0)．【典题3】求过直线x+2y+1=0【解析】方法1(求出交点，再用截距式求解)由x+2y+1=02由于直线在两坐标轴上截距相等，(截距相等要注意是否为0)(i)当截距为0，此时直线方程为y=kx，代入点P得k=1即所求直线方程为x−3(ii)当截距不等于0，设直线方程为xa+ya=1此时所求直线方程为5x综上所述，所求直线方程为x−3y=0方法2设所求直线方程为x+2(i)当直线过原点时，则1+λ=0，则此时所求直线方程为x−3(ii)当直线不过原点时，令x=0，解得y=λ+1λ由题意得λ+1λ−2=−λ(∗)中不包括直线2x综上所述，所求直线方程为x−3y=0【点拨】本题中方法2采取了直线系方程的方法.过两条已知直线l1:AA(λ∈R,这个直线系下不包括直线l2:A【典题4】若k>4，直线kx−2y−2k+8=0与2x+k2y−4【解析】(确定所求的四边形面积，要四边形的图象，即了解两条直线与坐标轴的交点与两直线的交点)由kx−2y−2k+8=02x+k2y−4k而直线L：kx−2y−2k+8=0与x轴的交点A(2−8直线M：2x+k2y−4k2−4=0与x轴的交点(由k>4，很容易确定各点的位置)如图所示，∴=1=4∵k>4，∴0<1则174故k>4时，所求面积的取值范围是(17【点拨】①根据题意画出正确的图象是正确求解的基础，对于含参的直线，要注意它是否存在定点、斜率的正负、与x、y轴交点的位置等.②而定点如何确定，如直线M：2x+k2y−4k2巩固练习1(★)曲线y=|x|与y=kx+1的交点的情况是()A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点【答案】A【解析】联立两条直线方程得：y=|x|y=kx+1得到|x|=kx+1两边平方得：k2当k2－1≠0即k≠±1时，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当k=±1时，得到y=±x+1，与曲线只有一个交点．所以曲线y=|x|与y=kx+1的最多有两个交点．2(★)关于x,y的二元一次方程组mx+y=−13mx−my=2m+3无解，则m=【答案】0【解析】m=0时，方程组化为：y=−m≠0时，两条直线平行时，可得：m3m综上可得：m=0．3(★)若三条直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0交于一点，则k的值为．【答案】−1【解析】依题意，2x+3y+8=0x−y−1=0，解得x=∴两直线2x+3y+8=0和x－y－1=0的交点坐标为(－1,－2)．∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x－y－1=0交于一点，∴－1－2k=0，∴k=−4(★★)直线kx−y−1=0与直线x+2y−2=0的交点在第四象限，则实数k的取值范围为．【答案】(−1【解析】由题意可得kx−y−1=0x+2y−2=0∴41+2k>0且2k−15(★★★)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)，点M(4,2)，点N在线段OA的延长线上．设直线MN与直线OA及x轴围成的三角形面积为S，则S的最小值为．【答案】12【解析】设MN与x轴交点的横坐标为a，则MN：y=24−a(x−a)，直线OA由y=2xy=2S=12⋅a⋅故答案为：12．【题型二】距离问题情况1两点间的距离【典题1】在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)的距离之和最小的点的坐标是．【解析】如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)的距离之和为：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7,−1)，∴AC,BD的方程分别为：y−26−2=x−1即2x−y=0，x+y−6=0．解方程组&2x−y=0&x+y−6=0得Q(2,4)【点拨】本题是从几何方法入手，利用“一点到两定点距离之和最小值为两定点距离”的三点共线最值模型求解；若设P(x,y)，再利用两点距离公式求解，就很麻烦了！【典题2】设a,b∈R，a−12【解析】从几何意义看，a−12+b−12+a+12+其最小值为(1,1)和(−1,−1)两点间的距离22【点拨】本题是函数最值问题，但很巧妙的使用了两点距离公式从而化为几何最值问题.

平面上的两点P1(x1,【典题3】已知m∈R，动直线l1：x+my−2=0过定点A，动直线l2：mx−y−2m+3=0过定点B，若l1与l2交于点P(异于点A,B【解析】l1:x+my−2=0可变形为(x−2)+my=0，过定点A(2,0)l2：mx−y−2m+3=0可变形为mx−2−(y−3)=0方法1代数法由x+my−2=0mx−y−2m+3=0可得交点P(则PA=3mm设a=3m2+1，则a+b22≤即|PA|+|PB|的最大值为32，当m=±1方法2几何法观察直线斜率可知直线l1与直线l则有PA⊥PB，且PA2+(相当于方法1的a2“已知PA2+PB想到基本不等式)由PA所以(PA即|PA|+|PB|≤32，当且仅当|PA|=|PB|所以|PA|+|PB|的最大值为32【思考】体会下两种方法的异同与优劣性，方法1中PA+【典题4】已知点A(4,0),B(0,2)，对于直线l：x−y+m=0的任意一点P，都有PA2+PB2>18【解析】根据题意，点P在直线l：x−y+m=0上，设P的坐标为(x,x+m)，则有PA2=x−4=4x若对于直线l：x−y+m=0上的任意一点P，都有PA2则4x即4x2+(4m−12)x+(2则有△=4m−122－16(2解可得m>−1+22或m<−1−2即m的取值范围为(−∞,−1−22【点拨】本题采取设元的方法，把PA2情况2点到直线的距离【典题1】已知曲线C：xy=27和直线l：3x+4y=0，点M在曲线C上，点N在直线l上，则|MN|的最小值是．【解析】设点M(a,b)，则ab=27，|MN|取到最小值时是点M到直线l的距离，点M到直线l的距离为d=3a+4b∴d∴|MN|的最小值是365【典题2】已知直线l方程为2+mx+1−2my+4−3m=0．那m【解析】方法一函数法点Q到直线l的距离d=3则d令t=−56m+33，则−56m+33m由对勾函数易得t+4225t−66≥64(当t=65时取到等号)则0≤3136tt故当t=65，即m=−47时，d2取到最大值4方法二几何法直线2+mx+1−2my+4−3m=0由x−2y−3=0−2x−y−4=0，得x=−1∴直线必过定点(−1,−2)．当点Q(3,4)到直线的距离最大时，QP垂直于已知的直线，即点Q与定点P(−1,−2)的连线就是所求最大值，此时直线PQ与直线2+mx+∵kPQ=−2−4−1−3此时，点Q(3,4)到直线的最大距离是(3+1)综上所述，m=−47时，点Q(3,4)到直线的距离最大，最大值为【点拨】体会下两种方法的优劣性.【典题3】设直线l1：y=k1x+1，l2：y=(1)证明：直线l1与l(2)试用解析几何的方法证明：直线l1与l(3)设原点到l1与l2的距离分别为d1和d【解析】证明：(1)(只需证明k1反证法：假设l1与l则l1与l2平行，有代入k1k2这与k1为实数的事实相矛盾，∴k1≠k(2)由(1)知k1≠解得交点P的坐标(x,y)为x=2而x2即l1与l2的交点到原点距离为3d(从函数的角度思考，遇到二元，要不基本不等式，要不消元)=1=1+k=1+k1=1+当|k1|=1即k1=±1【点拨】对于一些常见的式子(或模型)的处理手段要掌握好，这是基本功.情况3两平行线间的距离【典题1】若平面内两条平行线l1：x+a−1y+2=0，l2：ax+2y+1=0间的距离为35【解析】∵平面内两条平行线l1：x+(a−1)y+2=0，l2：∴1a=a−12当a=2时，两条平行直线即l1：2x+2y+4=0，l2：它们之间的距离为|4−1|4+4当a=−1时，两条平行直线即l1：x−2y+2=0，l2：它们之间的距离为|2+1|1+4故实数a=−1．【点拨】用两平行直线距离公式时，要确定x、【典题2】正方形ABCD一条边AB所在方程为x+3y−5=0，另一边CD所在直线方程为x+3y+7=0，(1)求正方形中心G所在的直线方程；(2)设正方形中心G(x0,【解析】(1)由于正方形中心G所在直线平行于直线x+3y−5=0，设中心所在直线为x+3y+c=0，由平行线间的距离公式得|c+5|12+则正方形中心G所在的直线方程为x+3y+1=0；(2)正方形的边长即为平行直线AB与CD间的距离d=|7+5|设正方形BC所在直线方程为3x−y+m=0，(用到了正方形内角是直角的性质)由于中心G(x0,y0那么|3x0−y0又因为G在直线x+3y+1=0上，那么x0+3y0+1=0把②代入①得m=±6−10x0联立方程x+3y−5=03x−y+m=0，解得x=由于正方形只有两个点在第一象限，那么x>0y>0，就是−3m+510>0m+1510把③代入④得到−15<±6−10x0故x0的取值范围为(【点拨】结合图象，充分利用图象的性质得到变量的限制要求，从而求出变量范围.巩固练习1(★)已知△ABC的顶点为A(2,1)，B(−2,3)，C(0,−1)，则AC边上的中线长为．【答案】32【解析】根据题意，设AC的中点为D，△ABC的顶点为A(2,1),B(－2,3),C(0,－1)，则D(1,0)，|BD|=9+92(★)点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y−12=0的距离的取值范围为．【答案】[7【解析】记d为点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y－12=0的距离，即：d=15|3cosθ+4sinθ－12|=当θ变化时，d的最大值为175，d的最小值为73(★)到直线3x－4y+1=0的距离为3且与此直线平行的直线方程是．【答案】3x－4y+16=0或3x－4y－14=0【解析】由平行关系可设所求直线的方程为3x－4y+c=0，由平行线间的距离公式可得|c−1|3解得c=16，或c=－14∴所求直线的方程为：3x－4y+16=0，或3x－4y－14=04(★★)两条平行线l1,l2分别过点P(−1,2)，Q(2,−3)，它们分别绕P,Q旋转，但始终保持平行，则【答案】(0,34]【解析】当PQ与平行线垂直时，|PQ|为平行线之间的距离的最大值，|PQ|=(−1−2∴则l1,5(★)已知直线l经过点P(5,10)，且原点到它的距离为5，则直线l的方程为．【答案】x=5或3x−4y+25=0【解析】当直线斜率不存在时直线方程为x=5，满足原点到它的距离为5，当斜率存在时，设直线为y−10=k(x−5)，变形为kx−y+10−5k=0∴d=|10−5k|k6(★★)已知点M(a,b)在直线l：3x+4y=25上，则a2+b【答案】5【解析】∵a2+b2的几何意义是点O(0,0)到点M∴a2+b2的最小值为点O又d=25∴a7(★★)若直线m被两平行线l1：x−3y+1=0与l2：x−3y+3=0所截得的线段的长为【答案】120°【解析】由两平行线间的距离为|1−