备战2024年高考数学一轮复习5.3三角函数的性质(精讲)(原卷版+解析)

5.3三角函数的性质（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一值域【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．3【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．2．（2022·河南焦作·二模）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）已知函，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围为（

）A． B． C． D．考点二伸缩平移【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（

）A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图象，则a的最小值为（

）A． B． C． D．π【一隅三反】1．（2022·陕西）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（

）A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称2．（2022·湖北·一模）函数，先把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法错误的是（

）A．函数是奇函数，最大值是2B．函数在区间上单调递增C．函数的图像关于直线对称D．π是函数的周期3．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．考点三三角函数的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数有（

）A． B． C． D．【例3-2】（2020·河南）已知函数的图象与函数图象的对称中心完全相同，则（

）A． B． C．1 D．2【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有（

）A．为奇函数，在上单调递減B．为偶函数，在上单调递增C．周期为π，图象关于点对称D．最大值为1，图象关于直线对称【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（

）A． B．C． D．2．（2022·北京西城·一模）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·北京·一模）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．(1)求的解析式；(2)设，求函数在上的单调递增区间.条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数，．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数的值域．考点四三角函数性质与其他知识的综合运用【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（

）A．（0，5] B．（0，5）C．（0，） D．（0，]2．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））已知函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度得到的图像，则方程在上实数解的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））已知的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，则下列说法中正确的是（

）A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为 D．函数在上单调递增5.3三角函数的性质（精讲）（提升版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一值域【例1-1】（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）函数（）的图象向左平移个单位后关于直线对称，则函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的图象向左平移个单位后的图象表达式为y，该函数的图象关于直线对称，所以，又所以，，所以.当时，，所以当，即时，的最小值为.故选：A【例1-2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（

）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】，令，所以，则，所以，所以原函数可化为，，对称轴为，所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为，即的最大值为，故选：C【例1-3】（2021·河南南阳·高三期末）已知，若对任意恒成立，则实数的取值范围为(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】，，则，.，若对任意恒成立，则，即.故选：A.【例1-4】（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，即时，函数有最小值，令时，有，，，，因为函数在内恰有两个最小值点，，所以有：，故选：B【一隅三反】1．（2021·江苏泰州·高三阶段练习）已知函数，的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则，所以，且，又的值域为，所以，即实数的取值范围为.故选：C.2．（2022·河南焦作·二模）已知函数，若方程在区间上恰有5个实根，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由方程，可得，所以，当时，，所以的可能取值为，，，，，，…，因为原方程在区间上恰有5个实根，所以，解得，即的取值范围是.故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函，对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，若f(x)在[0，π]上的值域为，则实数ω的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】f(x)=asinωx+cos(ωx-)=asinωx+cosωxcos+sinωxsin=(+a)sinωx+cosωx=·sin(ωx+φ)，其中tanφ=.对于任意的x1，x2∈R，都有f(x1)+f(x2)-2≤0，即f(x1)+f(x2)≤2，当且仅当f(x1)=f(x2)=f(x)max时取等号，故2=2，解得a=1或a=-2(舍去)，故f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+).因为0≤x≤π，所以≤ωx+≤ωπ+.又f(x)在[0，π]上的值域为[]，所以≤ωπ+≤，解得≤ω≤.故选：B.考点二伸缩平移【例2-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（文））已知曲线，，为了得到曲线，则对曲线的变换正确的是（

）A．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度B．先把横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度C．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向右平移个单位长度D．先把横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度【答案】C【解析】A.先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，A错；B.先把曲线上点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，B错；C.先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向右平移个单位长度得的图象，C正确；D.先把曲线上点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得的图象，D错误；故选：C．【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)=cos2x的图象，则a的最小值为（

）A． B． C． D．π【答案】B【解析】将函数f(x)=sin(2x-)的图象向左平移a(a>0)个单位长度，可得函数y=sin[2(x+a)-]=sin[2x+(2a-)]的图象，所以y=sin[2x+(2a-)]的图象与g(x)=cos2x的图象重合.因为g(x)=cos2x=sin(2x+)，所以2a-=2kπ+，k∈Z，即a=kπ+，k∈Z.当k=0时，可得amin=.故选：B.【一隅三反】1．（2022·陕西）已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于坐标原点对称，则的图象（

）A．关于点对称 B．关于对称 C．关于点对称 D．关于对称【答案】A【解析】依题意，解得，所以，将函数向左平移个单位长度得到，因为关于坐标原点对称，所以，解得，因为，所以，所以，因为，所以函数关于对称，又，所以函数关于对称，，所以函数关于对称；故选：A2．（2022·湖北·一模）函数，先把函数的图像向左平移个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图像，则下列说法错误的是（

）A．函数是奇函数，最大值是2B．函数在区间上单调递增C．函数的图像关于直线对称D．π是函数的周期【答案】B【解析】，把函数的图像向左平移个单位，得，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的，得，所以可知是奇函数，最大值是2，最小正周期为，当，得，所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，，得，所以也是函数的对称轴，所以错误的选项为B.故选：B.3．（2022·全国·模拟预测）若将函数的图象分别向左平移个单位长度与向右平移个单位长度，所得的两个函数图象恰好重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】的图象向左平移个单位长度得的图象,向右平移（）个单位长度得的图象,由题意得（）所以（）又,故的最小值为,故选：A考点三三角函数的性质【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数有（

）A． B． C． D．【答案】BD【解析】，其最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，的最小正周期为，所以的最小正周期为，的最小正周期为故选：BD【例3-2】（2020·河南）已知函数的图象与函数图象的对称中心完全相同，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由已知，令，解得，所以的对称中心为，又的对称中心为，所以.故选：C【例3-3】（2022·四川·泸县五中二模（文））将的图象向左平移个单位后得到的图象，则有（

）A．为奇函数，在上单调递減B．为偶函数，在上单调递增C．周期为π，图象关于点对称D．最大值为1，图象关于直线对称【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象.为偶函数，，，函数单调递减，故A不正确；，，，，函数不单调，故B错误；的周期为，当时，，故C错误；g（x）最大值为1，当时，函数，为最小值，故的图象关于直线对称，故D正确，故选：D．【例3-4】（2022·山东青岛·一模）已知函数，将的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若图象关于对称，则为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，的图象先向左平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，得到函数，故，所以，由于，所以.故选：A【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列函数中，图象为轴对称图形的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】A.因为，所以是偶函数，函数图象关于y轴对称，故正确；B.因为的对称轴方程为：，的对称轴方程为：，又，所以图象不是轴对称图形，故错误；C.将向左平移个单位可得，因为，所以是偶函数，所以是轴对称图形，故正确；D.因为的对称轴方程为：，的对称轴方程为：，又，所以图象不是轴对称图形，故错误；故选：AC2．（2022·北京西城·一模）将函数的图象向右平移个单位所得函数图象关于原点对称，向左平移个单位所得函数图象关于轴对称，其中，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数的图象向右平移个单位，可得，又由函数的图象向左平移个单位，可得，因为函数关于原点对称，可得，解得，即又因为的图象关于轴对称，可得，解得，则，即，因为，可得.故选：D.3．（2022·北京·一模）已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．(1)求的解析式；(2)设，求函数在上的单调递增区间.条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)选择①④或③④均可得到(2)和【解析】(1)因为，所以，显然当时为奇函数，故②不能选，若选择①③，即最大值为，所以，解得，所以，又，所以，即，，解得，，故不能唯一确定，故舍去；若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又，所以，解得，所以；若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，所以，又的最大值为，所以，解得，所以；(2)由（1）可得令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，，又，所以在上的单调递增区间有和；4．（2022·浙江浙江·二模）已知函数，．(1)求函数的单调递增区间；(2)求函数的值域．【答案】(1)(2)【解析】(1)由由得所以函数的单调递增区间为：(2)由，则所以由，则所以函数的值域为考点四三角函数性质与其他知识的综合运用【例4-1】（2022·江苏苏州）若函数在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】