杭州市公益中学12022-2023学年七年级下学期期中数学试题【带答案】

2022－2023学年浙江省杭州市拱墅区公益中学七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）．1.如图，直线交的边于点，则与是（）A.同位角 B.同旁内角 C.对顶角 D.内错角【答案】A【解析】【分析】根据对顶角，同位角、内错角、同旁内角的概念解答即可．【详解】解：∵直线AB交∠DCE的边CE于点F，∴∠1与∠2是直线AB、CD被直线CE所截得到的同位角．故选：A．【点睛】此题主要考查了对顶角，同位角、内错角、同旁内角．解题的关键是掌握对顶角，同位角、内错角、同旁内角的概念．2.计算下列各式，值最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．【详解】解：A.；B.；C.；D.，最大的值为：．故选：B．【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法、除法、积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3.若分式的值为0，则x的值为：（）A.0 B.3 C.2 D.－2【答案】D【解析】【分析】根据分式零，分子等于零，且分母不等于零来列式求解．【详解】解：根据题意得且，解得．故选：D．【点睛】本题考查了分式有意义的条件．可以从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．4.在下列从左到右的变形中，不是因式分解的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解）逐项判断即可得．【详解】解：A、是因式分解，则此项不符题意；B、的右边不是积的形式，不是因式分解，则此项符合题意；C、是因式分解，则此项不符题意；D、是因式分解，则此项不符题意；故选：B．【点睛】本题考查了因式分解，熟记定义解题关键．5.已知是方程x﹣ay＝3的一个解，那么a的值为（）A.﹣1 B.1 C.﹣3 D.3【答案】A【解析】【分析】将代入方程x-ay=3计算可求解a值．【详解】解：将代入方程x-ay=3得2-a=3，解得a=-1，故选：A．【点睛】本题主要考查二元一次方程的解，理解二元一次方程解的概念是解题的关键．6.如图，能判定的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平行线的判定逐项进行判断即可．【详解】解：A．，∴，故符合题意；B．由不能判定，故B不符合题意；C．∵，∴，故C不符合题意；D．，∴，故D不符合题意．故选：．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．7.如果把中的与都扩大3倍，那么这个代数式的值（）A.缩小到原来的 B.不变 C.扩大3倍 D.扩大9倍【答案】B【解析】【分析】根据分式的性质即可求解．【详解】解：把中的与都扩大3倍，得故选：B．【点睛】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．8.把一些糖果分给小朋友，如果每人分5粒，分完后还剩4粒；如果每人分6粒，最后一个人只分到1粒，设小朋友的总人数为x人，共有糖果y粒，以下方程组正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可直接列出方程组．【详解】解：由题意可列方程为；故选A．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意．9.如图，把一副三角板放在桌面上，若两直角顶点重合，两条斜边平行，则与的差是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】过点作，由平行线的性质可知，，，，，进而求得，，即可得到答案．【详解】解：由题意可知，，，，，过点作，，，，，，，，故选：B．【点睛】本题考查了角度的计算，平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．10.已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①a5时方程组的解为；②当a时，方程组的解x，y的值相等；③不论a取何值，方程组的解x，y的值至少有一个是负数.其中正确的是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】方程组利用加减消元法表示出x与y，即可作出判断．【详解】，

(1)+(2)得：，

把代入(2)得：，

①当时，方程组的解为，结论正确；

②当时，，，即方程组的解x，y的值相等，结论正确；

③，所以方程组的解的值至少有一个是负数，故结论正确；

则正确的结论是：①②③，

故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共24分）．11.在实数范围内分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】先提公因式，然后再根据平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：原式；故答案为．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．12.已知2x－3y=6，用含x的代数式表示y=__________【答案】【解析】【分析】先移项，再化系数为1即可．【详解】解：移项得，-3y=6-2x，系数化为1得，y=.故答案为.【点睛】本题考查的是解二元一次方程，根据题意把原式化为y=的形式是解答此题的关键．13.定义运算a*b＝，若(m－1)*(m－3)＝1，则m的值为_________．【答案】1或4【解析】【分析】判断m﹣1与m﹣3的大小，利用题中的新定义化简，计算即可求出m的值．【详解】解：根据题中的新定义得：∵m﹣3＜m﹣1，∴已知等式化简得：（m﹣3）m﹣1＝1，当m﹣3≠0，即m≠3时，m﹣1＝0，解得：m＝1；当m﹣3＝1，即m＝4时，满足题意；当m﹣3＝﹣1，即m＝2时，不符合题意，综上所示，m＝1或4．故答案为：1或4．点睛】本题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．14.若多项式是一个完全平方式，则的值是________．【答案】【解析】【分析】根据完全平方式的定义进行求解即可．【详解】解：多项式是一个完全平方式，∴，故答案为：．【点睛】本题考查完全平方式，熟记完全平方式的形式是解题关键，注意不能漏解．15.如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，折痕为DE，平分线所在直线与平分线所在直线相交于点F，若，则的度数为_________．【答案】36°【解析】【分析】运用平行线的性质、图形翻折的特点，结合△FBD的内角和等于180°，从而列出关系式，进而得出结论．【详解】解：如图．令，则．由题意得：，．，．．．又直线是的角平分线．．．又直线是的角平分线所在直线．．．又．．．，故答案为：36°．【点睛】本题主要考查平行线的性质、图形翻折的特点，结合三角形内角和的性质，运用化归的思想破解该题．16.已知，，那么______，______．【答案】①.-1②.0【解析】【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．【详解】解：∵，，∴∴，∴，∴∴∵m≠2n，∴∴m＋2n＝−1；∵，∴，∴．∵，∴，∴．∴．故答案是：−1；0．【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．三、解答题（本大题有7个小题，共66分）．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解方程组：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用加减消元法进行求解即可；（2）利用加减消元法进行求解即可．【小问1详解】解：（1），①②得：，解得：，把代入①得：，解得：，故原方程组的解是：；【小问2详解】解：，，①得：③，②③得：，解得：，把代入①得：，解得：，故原方程组的解是：．【点睛】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．18.计算：（1）；（2）．因式分解：（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再合并同类项即可；（2）利用平方差公式计算即可；（3）提取公因式即可；（4）先提取公因式，再利用完全平方公式即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）；（4）．【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，平方差公式和提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是关键．19.（1）已知，，求的值．（2）先化简，再求值：，其中．【答案】（1）10；（2），【解析】【分析】（1）根据提公因式法可进行求解；（2）根据乘法公式化简，然后代值求解即可．【详解】解：（1）∵，，∴；（2）原式；当时，则．【点睛】本题主要考查因式分解及乘法公式，熟练掌握因式分解及乘法公式是解题的关键．20.如图，D是BC上一点，DE∥AB，交AC于点E，∠A＝∠1．（1）直接写出图中与∠A构成的同旁内角．（2）求证：DF∥AC．（3）若∠BDE+∠CDF＝215°，求∠B+∠C的值．【答案】（1）∠AFD，∠AED，∠B，∠C；（2）见解析；（3）145°．【解析】【分析】（1）根据同旁内角定义即可写出图中与∠A构成的同旁内角；（2）根据平行线的性质和∠A＝∠1．即可证明DF∥AC；（3）根据两直线平行，同旁内角互补和已知条件即可求出∠B+∠C的值．【详解】解：（1）与∠A构成的同旁内角：∠AFD，∠AED，∠B，∠C；（2）证明：∵DE∥AB，∴∠BFD＝∠1，∵∠A＝∠1，∴∠BFD＝∠A，∴DF∥AC；（3）∵DE∥AB，∴∠B+∠BDE＝180°，∵DF∥AC，∴∠CDF+∠C＝180°，∴∠B+∠BDE+∠CDF+∠C＝180°+180°，∵∠BDE+∠CDF＝215°，∴∠B+∠C＝145°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、同位角、内错角、同旁内角，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．21.某校七年级为了表彰“数学素养水平测试”中表现优秀的同学，准备用480元钱购进笔记本作为奖品，若A种笔记本买20本，B种笔记本买30本,则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本,则钱恰好用完．（1）求A，B两种笔记本的单价；（2）由于实际需要，需要增加购买单价为6元的C种笔记本若干本．且每一种笔记本都需要购买，若购买A，B，C三种笔记本共75本，则C种笔记本购买了多少本？【答案】（1）A种笔记本的单价为8元，B种笔记本的单价为12元；（2）C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本【解析】【分析】（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，根据“若A种笔记本买20本，B本笔记本买30本，则钱还缺40元；若A种笔记本买30本，B种笔记本买20本，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可；（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本（75-m-n）本，根据总价=单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出m+3n=15，结合m，n均为正整数，即可求出结果．【详解】解：（1）设A种笔记本的单价为x元，B种笔记本的单价为y元，依题意，得：，解得：，答：A种笔记本单价为8元，B种笔记本的单价为12元．（2）设购买A种笔记本m本，B种笔记本n本，则购买C种笔记本(75-m-n)本，依题意，得：8m+12n+6(75-m-n)）=480，∴m+3n=15，则m=15-3n，∴购买C种笔记本为：(60+2n)本，∵m，n均为正整数，∴m=12，n=1或m=9，n=2或m=6，n=3或m=3，n=4，∴60+2n=62或64或66或68，答：C种笔记本购买了62本或64本或66本或68本．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．22.小王同学在学习完全平方公式时，发现，，，这四个代数式之间是有联系的，于是他在研究后提出了以下问题：（1）已知，，求的值．（2）已知，求的值．（3）如图，长方形中，，，正方形、正方形和正方形都在它的内部，且．记，，若，求长方形的面积．请解决小王同学提出的这三个问题．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）把变形为，再代入已知即可求解；（2）把所求式子变形，再代入已知即可求解；（3）根据题意找出与的差，然后结合已知，利用完全平方公式即可得到的值．【小问1详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，解得：．∴的值为．【小问2详解】∵，又∵，∴．∴的值为．【小问3详解】如图：长方形中，，，正方形、正方形和正方形都在它的内部，，，四边形是长方形，∴，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，∴．∴长方形的面积为．【点睛】本题考查完全平方公式的运用．熟练掌握完全平方公式的变形形式，灵活运用公式是解题的关键．解题时注意数形结合思想的运用．23.如图1，直线与直线，分别交于，两点，点在直线上，射线平分交直线于点，．（1）证明：；（2）如图2，点P是上一点，射线交直线于点，．①若，求出的度数．②点N在射线上，满足，连接，请补全图