高中数学典型例题

1.点P是函数f(X)=COS3X(其中3和)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的

对称轴的距离最小值是兀，则函数f(X)的最小正周期是()

A.nB.2兀C.3兀D.47t

解析：函数f(x)的对称中心是13k兀十兀2,0,对称轴为x=kmo,131<兀+兀2=

n,kGZ,即画=12,；.T=2兀12=4n,故选D.

答案：D

2.定义：|axb|=|a|«|b|«sine,其中9为向量a与b的夹角，若|a|=2,|b|=5,a-b=-6,

则|axb|等于()

A.8B.-8C.8或一8D.6

解析：a«b=|a|,|b|,cos0=>cos0=a・b|a|・|b|=一35

sin0=45,，|axb|=|a|・|bksin0=2x5x45=8.

答案：A

3.函数y=2simt6-2x,x€|0,兀]的增区间是()

A.0,兀3B.7112,7TC12

C.7t3,5兀6D.5兀6,n

解析：y=2sirnr6_2x=-2sin2x—兀6,Efcl2k7r+7t2<2x—7t6<2k7r+37r2(k£Z),解得ku

+兀3«xWk兀+5n6(kGZ),故函数y=2simt6-2x,x€[0,树的增区间是兀3,5兀6,故选

C.

答案：c

4.(2010•全国H)为了得到函数y=sin2x-n3的图象，只需把函数y=sin2x+n6的图象

()

A.向左平移兀4个长度单位

B.向右平移兀4个长度单位

C.向左平移兀2个长度单位

D.向右平移兀2个长度单位

解析：y=sin2x+ir6=sin2x+7d2,y=sin2x—7i3=sin2x—兀6,故应向右平移兀12

-----7t6=n4个长度单位.

答案：B

5.(2010•天津)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c若a2-b2=3bc,

sinC=23sinB,则A=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

解析：sinC=23sinBnc=23b,

a2—b2=3bc=>a2—b2—c2=3bc—c2=>b2+c2—a2=c2—3bc,

cosA=b2+c2—a22bc=c2—3bc2bc=c22bc—32

=c2b-32=232—32=32,

.•.在△ABC中，ZA=30°.

答案：A

6.(2009•浙江理)已知a是实数，则函数f(x)=l+asinax的图象不可能是()

解析：图A中函数的最大值小于2,故0<a<l,而其周期大于2无，故A中图象可以

是函数f(x)的图象，图B中，函数的最大值大于2故a应大于1,其周期小于2兀，故

B中图象可以是函数f(x)的图象，当a=0时，f(x)=l,此时对应C中图象，对于D

可以看出其最大值大于2,其周期应小于2兀，而图象中的周期大于2兀，故D中图象

不可能为函数f(x)的图象.

答案：D

二、填空题

7.已知函数f(x)=2sinx,g(x)=2simr2—x,直线x=m与f(x),g(x)的图象分别交M、N

两点，则|MN|的最大值为.

解析：构造函数=2sinx—2cosx=22sinx—兀4,故最大值为22.

答案：22

8.曲线y=2sinx+?t4cosx—兀4与直线y=12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记

为Pl,P2,P3.........则|P2P4|等于()

A.兀B.2冗C.3兀D.4兀

解析：y=2sinx+兀4cosx-7i4=2sinx+兀4・cosx+兀4—兀2=2sin2x+兀4=1—

cos2x+7t2=1+sin2x,|P2P4|恰为一个周期的长度n.

答案：兀

10.有下列命题：

①函数y=4cos2x,x£—10兀，10兀不是周期函数；

②函数y=4cos2x的图象可由y=4sin2x的图象向右平移兀4个单位得到；

③函数y=4cos(2x+0)的图象关于点兀6,0对称的一个必要不充分条件是

0=k2兀+兀6(k£Z)；

④函数y=6+sin2x2-sinx的最小值为210—4.

其中正确命题的序号是.

解析：①中的函数不符合周期函数的定义，所以不是周期函数；因为②中函数y=

4sin2x的图象向右平移兀4个单位得到y=4sin2x—兀4,即y=-4cos2x的图象，不

是y=4cos2x的图象；③把点兀6,0代入函数y=4cos(2x+0),有4cos兀3+。=0,

则兀3+e=kjr+兀2(k@Z),所以0=k7i+it6(k£Z),又。|0=k2兀+兀6k£Z3{0|0=k7t+兀6(k

£Z)},所以③正确；④函数y=6+sin2x2—sinx=2—sinx2—42—sinx+102—sinx

=(2—sinx)+102—sinx—4,如果它的最小值为210—4,那么(2—sinx)2=10,而

(2-sinx)2的最大值为11,故不正确.

答案：①③

三、解答题

11.(2010•天津)已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x-l(x^R).

⑴求函数f(x)的最小正周期及在区间0,兀2上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)=65,XOWTT4,兀2,求cos2x0的值.

解：(1)由f(x)=23sinxcosx+2cos2x—1,得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x—1)=3

sin2x+cos2x=2sin2x+n6,

所以函数f(x)的最小正周期为兀.

因为f(x)=2sin2x+7t6在区间0,兀6上为增函数，在区间兀6,兀2上为减函数，又f(0)

=1,仇6=2,

加2=—1,所以函数f(x)在区间0,兀2上的最大值为2,最小值为一1.

(2)由(1)可知f(x0)=2sin2x0+兀6.

又因为f(x0)=65,所以sin2x0+7r6=35.由X0£TT4,兀2,得2x0+兀6仁2兀3,7兀6,

从而COS2X0+K6

=-1—sin22x0+7r6=-45.

所以cos2xO=cos2xO+兀6—兀6

=cos2x0+兀6cos兀6+sin2x0+7r6sin7t6=3—4310.

12.(2010•福建)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇

出发时，轮船位于港口O北偏西30。且与该港口相距20海里的A处，并正以30海

里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的

航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方

向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.

解：解法一：(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则

S=90012+400-2«30t«20»cos900-30°

=900t2-600t+400=900t-132+300.

故当t=13时,Smin=103,

此时v=10313=303.

即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(2)设小艇与轮船在B处相遇，则

v2t2=400+900t2-2«20.30t«cos(90°-30°),故v2=900-600t+400t2.

V0<v<30,/.900-600t+400t2<900,

即2t2—3£0,解得仑23.

又t=23时，v=30.

故v=30时，t取得最小值，且最小值等于23.

此时，在AOAB中，有OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30。，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

解法二：(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航

行方向为正北方向.设小艇与轮船在C处相遇.

在RSOAC中，OC=20cos30°=103,AC=20sin30°=10.

又AC=30t,OC=vt,

此时，轮船航行时间t=1030=13,

v=10313=303.

即艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.

(2)猜想v=30时，小艇能以最短时间与轮船在D处相遇，此时AD=DO=30t.

又/OAD=60。，所以AD=DO=OA=20,解得t=23.

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30。，航行速度的大小为30海里/小时.这样，小艇能以最短时间

与轮船相遇.

证明如下：

如图，由(1)得OC=103,AC=10,故OC>AC.且对于线段AC上任意点P,有

OP>OC>AC.

而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故小艇与轮船不可能在A、C之间(包

含C)的任意位置相遇.

设/COD=0(O°VO<9O°),则在RSCOD中，CD=103tanG,OD=lO3cos0.

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t=10+103tan930和t=103vcos。,

所以，10+103tan030=103vcos9.

由此可得，v=153sin叶30。.

又v<30,故sin(0+3O°)>32.

从而，30。5七90。.由于0=30。时，tan0取得最小值，且最小值为33.

于是，当9=30。时，t=lO+lO3tan03O取得最小值，且最小值为23.

解法三：(1)同解法一或解法二.

(2)设小艇与轮船在B处相遇.依据题意得：

v2t2=400+900t2-2・20・30t・cos(90。一30°),

(v2-900)t2+600t-400=0.

①若0<v<30,则由A=360000+1600(v2-900)=1600(v2—675巨0,

得亚153.从而，

t=-300+20v2-675v2—900,

ve[153,30].

(i)当t=-300—20v2—675v2—900时，令x=v2—675,贝鼠6[0,15),

t=-300-20xx2-225=-20x-15>43,当且仅当x=0

即v=153时等号成立.

(ii)当t=-300+20v2-675v2-900时，同理可得23<t<43.

由(i)(ii)得,当V0153,30)时，t>23.

②若v=30,则t=23；

综合①、②可知，当v=30时，t取最小值，且最小值等于23.

此时，在AOAB中，OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30。，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇.

13.向量m=(sin3x+coscox,3coscox)((o>0),n=(cos(ox—sin®x,2sinwx),函数f(x)

=m・n+t,若f(x)图象上相邻两个对称轴间的距离为3兀2,且当x6[0,兀]时，函数f(x)

的最小值为0.

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)在△ABC中，若f(C)=B且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

解：(I)f(x)=m・m+t=cos2(ox-sin2(ox+23cossx・sin(ox+t=cos2(ox+3sin2(ox+

t=2sin(2cox+兀6)+1.

依题意f(x)的周期T=3n,且co>0,；.T=2兀2S=7UD=3兀

；.3=13,/.f(x)=2sin23x+n6+t.Vxe[0,2，

Jt6<2x3+兀W65n6,

12<sin2x3+?t6<l,

••.f(x)的最小值为t+1,即t+l=0,."-I.

f(x)=2sin23x+兀6—1.

(2)Vf(C)=2sin2c3+兀6—1=1,

.'.sin2c3+n6=1.

又6(0,n),AZC=TT2.

在RlAABC中，

：A+B=兀2,2sin2B=cosB+cos(A-C),

2cos2A=sinA+sinA,sin2A+sinA—1=0.

解得sinA=-1+52.

XV0<sinA<1,

sinA=5—12.

1.已知极坐标平面内的点P2,—5兀3,则P关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分

别为()

A.2,兀3,(1,3)B.2,一兀3,(1,-3)

C.2,2兀3,(-1,3)D.2,一2兀3,(—1,-3)

解析：点P2,—5兀3关于极点的对称点为2,—5n3+几，

即2,一2兀3,且x=2cos—2TI3=-2COS兀3=—1,

y=2sin—2n3=-2simt3=-3,所以选D.

答案：D

2.(2009•珠海模拟)圆p=4cos0的圆心到直线tan。=1的距离为()

A.22B.2C.2D.22

解析：

圆p=4cos0的圆心C(2,0),如图，|OC|=2,在RtACOD中，ZODC=7t2,

ZCOD=n4,，|CD|=2.

即圆p=4cos0的圆心到直线tan9=1的距离为2.

答案：B

3.已知直线1的参数方程为x=-l—22ty=2+22t(t为参数)，则直线1的斜率为()

A.1B.-1C.22D.-22

解析：直线1的参数方程可化为x=-1+tcos3714y=2+tsin3兀4,故直线的斜率为tan3兀4=

-1.

答案：B

4.直线3x-4y-9=0与圆：x=2cos0y=2sin0,(。为参数)的位置关系是()

A.相切B.相离

C.直线过圆心D.相交但不过圆心

解析：圆的普通方程为x2+y2=4,.•.圆心坐标为(0,0),半径r=2,点(0,0)到直线3x

-4y-9=0的距离为d=|-9|32+42=95<2,...直线与圆相交，而(0,0)点不在直线上，

故选D.

答案：D

5.已知极坐标系中，极点为0,09<2兀，M3,兀3,在直线OM上与点M的距离为4

的点的极坐标为.

解析：

如图所示，|OM|=3,ZxOM=7t3,在直线OM上取点P、Q,使|OP|=7,|OQ|=1,

ZXOP=TT3,/xOQ=4兀3,显然有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=

3+1=4.

答案：7,兀3或1,4兀3

6.已知极坐标系中，极点为O,将点A4,兀6绕极点逆时针旋转无4得到点B,且10Al=|OB|,

则点B的直角坐标为.

解析：依题意，点B的极坐标为4,57d2,

cos5n12=cosn4+716=cos兀4cosn6—sin?t4sinn6

=22«32-22«12=6-24,

sin5TC12—sin7t4+7t6=sin兀4cos兀6+cos兀4sinn6

=22・32+22T2=6+24,

.".x=pcos0=4x6—24=6—2,y=psin0=6+2.

...点B的直角坐标为(6—2,6+2).

答案：(6—2,6+2)

7.设丫=^。为参数)，则圆x2+y2-4y=0的参数方程是.

解析：把y=tx代入x2+y2—4y=0

得x=4tl+t2,y=4t21+t2,参数方程为x=4tl+t2y=4t21+t2.

答案：x=4tl+t2y=4t21+t2

8.点M(x,y)在椭圆x212+y24=l上，则点M到直线x+y—4=0的距离的最大值为

，此时点M的坐标是.

解析：椭圆的参数方程为x=23cos0y=2sin9(0为参数)，

则点M(23cos0,2sin0)到直线x+y—4=0的距离

d=|23cos0+2sin。一4|2=|4sin0+兀3—4|2.

当0+兀3=32兀时，dmax=42,此时M(—3,-1).

答案：42(-3,-1)

9.(2010•新课标全国高考)已知直线Cl：x=l+tcosa,y=tsina,(t为参数)，圆C2：x=cos0,

y=sin0,

(0为参数).

⑴当a=n3时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点。作C1的垂线，垂足为A,P为OA的中点.当a变化时，求P点轨

迹的参数方程，并指出它是什么曲线.

解：(1)当a=jr3时，C1的普通方程为y=3(x—l),

C2的普通方程为x2+y2=l.

联立方程组y=3x—1,x2+y2=1,

解得Cl与C2的交点为(1,0),12,-32.

(2)C1的普通方程为xsina—ycosa—sina=0.

A点坐标为(sin2a,—cosasina),

故当a变化时，P点轨迹的参数方程为

x=12sin2a,y=_12sinacosa,(a为参数).

P点轨迹的普通方程为x-142+y2=116.

故P点轨迹是圆心为14,0,半径为14的圆.

10.在极坐标系中，已知圆C的圆心C3,兀6,半径r=3,

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若Q点在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2,求动点P的轨迹方程.

解：(1)设M(p,0)为圆C上任一点，OM的中点为N,

在圆C上，...△OCM为等腰三角形，

由垂径定理可得|ON|=|OC|cos9—n6,

...|OM|=2X3COS9-TT6,

即p=6cos0-7t6为所求圆C的极坐标方程.

(2)设点P的极坐标为(p,0),因为P在OQ的延长线上，且|OQ|：|QP|=3：2,所

以点Q的坐标为35p,9,由于点Q在圆上，所以35P=6cos0-?t6.

故点P的轨迹方程为p=10cos0-7i6.

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.若a>b>l,P=lgaHgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+b2,则

A.R<P<QB.P<Q<R

C.Q<P<RD.P<R<Q

【解析】取a=100,b=10,

此时P=2,Q=32=lgl000,R=lg55=lg3025,比较可知P<Q<R.

【答案】B

2.(2010•龙岩模拟)设(3x+l)25=a0+alx+a2x2+…+a25x25,Jl!l|a0|-|al|+|a2|-|a3|+...-

|a25|等于

A.225B.-225

C.425D.-425

【解析】(3x+1)25=(1+3x)25展开式中项的系数都为正，^|a0|-|al|+|a2|-|a3|+...-|a25|

=a0—al+a2_a3+...—a25,所以只须令x=-1即可.

【答案】B

3.(2010•泉州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,l),B(—1,3),若点C满足

OC—=aOAT+BOB一，其中a,pGR,且a+B=l,则点C的轨迹方程为

A.3x+2y-ll=0B.(x-l)2+(y-2)2=5

C.2x-y=0D.x+2y-5=0

【解析】通过向量的坐标运算把OC—=aOAT+BOB—转化为

消去a得x+2y—5=0.

【答案】D

4.如图，AOAB是边长为2的等边三角形，直线x=t截这个三角形位于此直线左方的图形面

积(见图中阴影部分)为y，则函数y=f(t)的大致图象为

C.D.

【解析】当t=l时，面积为32,故排除A、B,当t>l时，随t增大，面积增大越来越慢.

【答案】D

5.(2010•芜湖质检)4枝牡丹花与5枝月季花的价格之和小于22元，而6枝牡丹花与3枝月季

花的价格之和大于24元，则2枝牡丹花和3枝月季花的价格比较结果是

A.2枝牡丹花贵B.3枝月季花贵

C.相同D.不确定

【解析】由已知设牡丹花一枝x元，月季花一枝y元，则

作出可行域和目标函数t=2x—3y,可求得2x—3y>0,故选A.

体现了实际问题与数学理论的转化.

【答案】A

6.(2010•聊城模拟)设xGR,如果a<lg(|x-3|+|x+7|)恒成立，那么

A.a>lB.a>1

C.0<a<lD.a<l

【解析】要使不等式恒成立，只须求lg(|x-3|+|x+7|)的最小值.

：y=lg(|x-3|十|x+7|)为增函数，且|x—3|+|x+7|的最小值为10,

.".ymin=lg10=1,...a小于y的最小值.

【答案】D

7.如果实数x,y满足x2+y2=l,那么(1-xy)(l+xy)有

A.最小值12和最大值1B.最小值34而无最大值

C.最大值1而无最小值D.最大值1和最小值34

【解析】•.,(I—xy)(l+xy)=l—x2y2,

.••当x=0或y=0时,有最大值1,而x2+y2N2xy,

；.x2y2W14,.,.当x2=y2=12时，l-x2y2取得最小值34.

【答案】D

8.(2010•三明模拟)已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛

物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为

A.14,-1B.14,1

C.(1,2)D.(1,-2)

【解析】依题意，抛物线的焦点F的坐标为(1,0),

设P到准线的距离为d,则由抛物线的定义知：|PF|+|PQ|=d+|PQ|.

如图，当PQ〃x轴时，|PF|十|PQ|最小，此时P14,-1,故选A.

【答案】A

9.不等式x2—logaxVO当xWO,12时恒成立，则a的取值范围是

A.116<a<lB.116<a<l

C.0<a<116D.0<a<116

【解析】构造函数y=x2与y=logax,x2—logax<0,

当xGO,12时恒成立，

即当xGO,12时，y=x2的图象在y=logax图象的下方，

所以首先a<l.

当aVl时,如图，当x=12时，y=14即14=logal2,

.\a=U6,当y=logax图象绕点(1,0)顺时针旋转时a增大，

【答案】A

10.(2010•杭州模拟)若2x+5yW2—y+5—x,则有

A.x+y>0B.x+y<0

C.x—y<0D.x-y>0

【解析】把不等式变形为2x―5—xV2-y—5y,构造函数y=2x—5—x,其为R上的增函数,

所以有烂一y,故选B.

【答案】B

11.(2010•信阳模拟)已知函数f(x)=13x,等比数列｛an｝的前n项和为f(n)—c,则an的最小值

为

A.-1B.1

C.23D.-23

【解析】al=f(l)—c=13-c,a2=[f(2)-c]-[f(l)-c]=-29,

a3=[f(3)—c]一[f(2)—c]=-227.又数列｛an｝成等比数列，

所以al=a22a3=481—227=-23=13-c,

所以c=l；

又公比q=a2al=13,

所以an=-2313n—l=-213n,nGN*,

因此，数列｛an)是递增数列，n=l时，an最小，为一23,选D.

【答案】D

12.(2010•福建质检)已知函数f(x)=l-l—x2,xG[0,l],对于满足0Vxl<x2Vl的任意xl,

x2,给出下列结论：

①(x2—xl)[f(x2)—f(xl)]VO；

@f(x2)-f(xl)>x2-xl；

③f(x1)+f(x2)2>fxl+x22.

其中正确结论的序号是

A.①B.②

C.③D.①③

【解析】函数f(x)=l—1—x2,xG[O,l]的图象如图所示，

结论①可等价为，

即f(x)在xW[O,l]上是单调递减函数，

结合图象可知，结论①错误；

结论②可变形为f(x2)-f(xl)x2-xl>L

不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1,结论②错误;

对于结论③，观察图象可知，

满足f(x1)+f(x2)2>fx1+x22,

所以结论③正确.

【答案】C

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共计16分.把答案填在题中的横线上)

13.(2009♦山东)若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a彳1)有两个零点，则实数a的取值范围是

【解析】设函数y=ax(a>0且a#l)和函数y=x+a,则函数f(x)=ax—x—a(a>0且存1)有两

个零点，就是函数丫=2*伯>0且a，l)的图象与函数y=x+a的图象有两个交点.由图象可知，

当OVa<1时,两函数只有一个交点，不符合;当a>1时，因为函数y=ax(a>1)的图象过点(0,1),

而直线y=x+a的图象与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点.所以实数a

的取值范围是a>l.

【答案】a>l

14.(2010•天水模拟)若关于x的方程22x+2xa+a+l=0有实根，则实数a的取值范围是

【解析】分离变量a=-22x-12x+l=-(2x+l)-22x+l+2W-22+2.

【答案】aG(—co,2—22]

15.(2010•珠海模拟)已知f(t)=log2t,tW[2,8],对于f(t)值域内的所有实数m,不等式x2+

mx+4>2m+4x恒成立，则x的取值范围是.

【解析】VtS[2,8],/.f(t)ei2,3,

原题转化为m(x-2)+(x-2)2>0恒成立，

当x=2时，不等式不成立，

:用.

令g(m)=m(x-2)+(x—2)2,mW12,3,

问题转化为g(m)在m612,3上恒大于0,则

解得x>2或xC-l.

【答案】(-8,—1)U(2,+oo)

16.直线y=k(x+l)+l(k£R)与椭圆x25+y2m=1恒有公共点,且椭圆焦点在x轴上，则m

的取值范围是.

【解析】由椭圆焦点在x轴上，求出m的一个范围，由直线与椭圆恒有公共点求出m的另

一范围.

由焦点在X轴上，故m<5.

又直线过定点B(-l,l),此点应在椭圆内部或边界上，

所以有(-1)25+ImWl,

又m>0,.,.m>54.

【答案】5415

三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(12分)已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C：x2+y2=l,动点M到圆C的切线长与|MQ|

的比等于常数M九>0),求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么样的曲线.

【解析】设M(x,y),M到圆的切线长为|MT|,则|MT|=x2+y2-l,

则|MT|=4MQ|,得x2+y2-1=X(x-2)2+y2

两边平方整理得(九2一l)(x2+y2)-4?i2x+(4?c2+l)=0

当a=1时，表示直线x=54.

当¥1时、方程为x-2九2入2—12+y2=l+3;12a2—1)2,

M点的轨迹是以点2入2入2—1,0为圆心，1+3入2n2—1|为半径的圆.

【答案】(X2-l)(x2+y2)-4X2x+(4X2+l)=0略

18.(12分)(2010•陕西)为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行

分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；

(2)估计该校学生身高在170〜185cm之间的概率；

(3)从样本中身高在165〜180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170〜180cm之

间的概率.

【解析】(1)样本中男生人数为40,由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.

(2)由统计图知，样本中身高在170〜185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35(人)，样本容

量为70,所以样本中学生身高在170〜185cm之间的频率f=3570=0.5,故由f估计该校学生

身高在170〜185cm之间的概率p=05

(3)样本中女生身高在165〜180cm之间的人数为10,身高在170〜180cm之间的人数为4.

设A表示事件“从样本中身高在165〜180cm之间的女生中任取2人，至少有1人身高在170〜

180cm之间”,

则P(A)=1-C26c210=23或P(A)=C16・C14+C24c210=23.

【答案】⑴400(2)0.5(3)23

19.(12分)(2010•云南曲靖一中模拟)已知a、b、c均为正整数，且存1,等差数列｛an)的首项为

a,公差为b,等比数列｛bn｝的首项为b,公比为a,且a<b,b2<a3,在数列｛an｝和｛bn｝中各

存在一项am与bn,使得am+l=bn,又cn=an—14310g2b2n+13.

(1)求a、b的值；

(2)求数列｛cn｝中的最小项，并说明理由.

【解析】⑴由b2<a3,得ab<a+2b,

Vl<a<b,.*.ab<3b,则l〈a<3.

又a为正整数，，a=2.

Vam+1=bn,.*.2+(m—l)b+1=b・2n-1>

.".b=32n—1—m+1.

Vb£N*,.,.2n-l-m+l=L故b=3.

(2)Van=2+(n-l)x3=3n-l,

b2n+l=3x22n,

cn=3n—1531og222n=2n(n-5)=2n2—lOn,

.,.当n=2或n=3时，cn取得最小值一12.

故数列｛cn｝中的最小项为c2或c3.

【答案】(l)a=2b=3⑵最小项为c2或c3理由略

20.(12分)某隧道长a(米)，最高限速为v0(米/秒).已知一个匀速行驶的车队有10辆车，每辆

车长为1米，相邻两车之间距离m(米)与车速v(米/秒)的平方成正比，比例系数为k.设自第1辆

车车头进隧道至第10辆车车尾离开隧道时所用时间为t秒.

(1)求函数t=f(v)的解析式，并写出其定义域；

(2)求车队通过隧道的时间t的最小值，并求出t取得最小值时v的大小.

【解析】(1)依题意有：

t=f(v)=a+101+9kv2v(0<v<vO).

(2)t=f(v)=a+101v+9kv>29k(a+101).

当且仅当a+10lv=9kv,

即v=a+1019k时等号成立.

①当a+1019k<v0,v=a+1019k时,tmin=6k(a+101).

②当a+1019k>v0时，

f(vO)—f(v)=a+101v0+9kv0—a+101v+9kv

=9k(v-vO)vvOa+1019k-v0v.

v<vO,v0v<v20<a+1019k.

.,.f(v0)-f(v)<0.

当丫=丫0时，tmin=a