5.2平面向量基本定理及坐标表示-高考复习

§5.2平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．[P97例5]已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．答案(1,5)解析设D(x，y)，则由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))3．[P119A组T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq\f(m,n)＝________.答案－eq\f(1,2)解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).题组三易错自纠4．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案05．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.答案－6解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四边形法则，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)由题意知，eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，故设eq\o(EC,\s\up6(→))＝xeq\o(DC,\s\up6(→)).因为eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b.所以(2－λ)a－b＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b)).因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－λ＝2x，,－1＝－\f(5,3)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,λ＝\f(4,5).))故λ＝eq\f(4,5).思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，则t的值为________．答案eq\f(3,4)解析∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，∴2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由已知eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，可得eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq\f(3,4).题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，则点N的坐标为()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)答案A解析设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案－2解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))∴m＋n＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，则x＋y＝________.答案－2或6解析由已知得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(3,1－y)．由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝±2eq\o(BC,\s\up6(→))，则当eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3，))此时x＋y＝－2；当eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1，))此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，可设eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二设点P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因为eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))共线，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y.又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为()A．－eq\f(11,4)B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(11,4)答案B解析因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝eq\f(1,2)，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，则m的值是()A．－4B．1C．0D．－2答案A解析a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故选A.(2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．答案－eq\f(2,3)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，则P点的坐标为()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)答案B解析设P(x，y)，则eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)．而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(3,1)B．(4,2)C．(5,3)D．(4,3)答案B解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3,1)，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1)，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,2)．故选B.3．(2018·三明质检)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，则|a＋b|等于()A.eq\r(2)B.eq\r(5)C.eq\r(10)D．5答案B解析根据题意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，所以a＋b＝(－1，－2)，从而可求得|a＋b|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m≠3m－2，即m≠2.5．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)答案A解析因为|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).6．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝________.答案(－3,4)解析由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)．7．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为________．答案－eq\f(5,4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，根据题意知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).8．设向量a，b满足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b＝(2,1)，且a与b的方向相反，∴设a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2eq\r(5)，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.答案eq\f(1,2)解析由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝eq\f(1,2).10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．答案k≠1解析若点A，B，C能构成三角形，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共线．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).方法二eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).12.如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OA1,\s\up6(→))，因为eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE＝CD，若点P为CD的中点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，则λ＋μ等于()A．3B.eq\f(5,2)C．2D．1答案B解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B(1,0)，E(－1,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,1)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))＝(λ－μ，μ)，又∵P为CD的中点，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝\f(1,2)，,μ＝1，))∴λ＝eq\f(3,2)，μ＝1，∴λ＋μ＝eq\f(5,2).14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即圆C的半径为eq\f(2\r(5),5)，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ为参数)，而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(\r(5),5)cosθ，λ＝y0＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，当且仅当θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F分别为AB，BC的中点，以A为圆心，AD为半径的圆弧DE的中点为P(如图所示)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(ED,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，