永州市冷水滩区德雅学校四校联考2022-2023学年七年级下学期期中数学试题【带答案】

2023年春季永州市四校七年级数学期中练习题一．选择题（共30分）1.已知是方程的解，则a的值为（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】将代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．【详解】将代入原方程得：，解得：，的值为，故选：．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．2.下列等式中正确的是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据合并同类项，积的乘方，对各选项进行判断作答即可．【详解】解：，错误，故A不符合要求；，错误，故B不符合要求；，错误，故C不符合要求；，正确，故D符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了合并同类项，积的乘方．解题的关键在于正确的运算．3.下列从左到右的变形中是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】因式分解就是将一个多项式化成几个整式积的形式，据此进行判断即可．【详解】、等号右边不是整式与整式的积，它不是因式分解，则不符合题意；、它是整式乘法运算，不是因式分解，则不符合题意；、它符合因式分解的定义，则符合题意；、等号右边不是积的形式，它不是因式分解，则不符合题意，故选：．【点睛】本题考查因式分解的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．4.如图，直线a、b被直线c所截，的同位角是（）A. B. C. D.以上都不是【答案】B【解析】【分析】根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角即可得出答案．【详解】解：的同位角是，故选：B．【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角的边构成““形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形是解题的关键．5.已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17【答案】D【解析】【分析】把因式分解即可看出可以被10至20之间的哪两个整数整除.【详解】∴可以被10至20之间的17和15两个整数整除.故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键.6.如图，在边长为正方形中央剪去一边长为的小正方形()，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可．【详解】解：该平行四边形的面积为；故选A．【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．7.不论x、y是什么数，代数式的值（）A.总大于7 B.总不小于7 C.可能为负数 D.总不小于5【答案】D【解析】【分析】将原式根据完全平方公式变形，然后利用偶次幂的非负性即可求得答案．【详解】解：原式，∴原代数式的值不小于5，故选：D．【点睛】本题考查完全平方公式的应用及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．8.一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，a，分别对应下列六个字：我，数，爱，国，祖，学，现将代数式因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A.爱数学 B.我爱数学 C.我爱国 D.我爱祖国【答案】B【解析】【分析】对多项式进行因式分解，然后一一对应查找替代即可呈现密码信息．【详解】解：∵，分别对应4个汉字：我，爱，数，学．则呈现的密码信息可能是：我爱数学．故选：B．【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式法分解因式，根据因式对应信息，合理搭配信息即可，分解因式是关键．9.对有序数对定义“f运算”：，其中a，b为常数，f运算的结果是一个有序数对．如：当时，．若，则的值是（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，解得，然后代入求值即可．【详解】解：∵，∴，解得，∴，故选：C．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值．解题的关键在于根据题意正确的列二元一次方程组．10.已知，，，那么代数式的值是（）．A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】代数式乘以，然后利用两个数的差的平方的形式进行化简，代入求解即可．【详解】故答案为：B．【点睛】本题考查了整式的化简运用，化简成两个数的差的平方的形式会让运算更加的简便．二．填空题（共18分）11.已知，则的值是______．【答案】27【解析】【分析】把两边平方，利用完全平方公式化简即可．【详解】解：把两边平方得：，则，∴，故答案为：27．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12.若能用完全平方公式因式分解，则k的值为_____．【答案】或【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：能用完全平方公式因式分解，，，，，故答案为：或．【点睛】本题考查因式分解——运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．13.已知，，则的值为_____．【答案】【解析】【分析】根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，计算即可．【详解】解：，，．故答案为：12．【点睛】本题考查积的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．14._____．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式得，，然后计算求解即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．15.已知方程组的解是，则方程组的解是_____．【答案】【解析】【分析】先把所给方程组变形，然后利用换元法求解即可．【详解】解：∵，∴，∵的解是，∴，∴．故答案：．【点睛】此题考查利用换元法解二元一次方程组，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16.请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：根据前面各式的规律，则的第三项系数是多少_____．【答案】780【解析】【分析】从数字找规律进行计算，即可解答．【详解】解：的第三项系数为：1；的第三项系数为：；的第三项系数为：；…，的第三项系数，故答案为：780．【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，完全平方公式，数学常识，从数字找规律是解题的关键．三．解答题（共72分）17.解方程组：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用二元一次方程组解法解出答案．【小问1详解】解：得：将代入①式得原方程组解是．【小问2详解】解：由①得，化简②得，将③代入④得解得．将代入③得．原方程组的解是．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其中去分母注意等式两边同时乘以分母最小公倍数是解题的关键．18.分解因式：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先提公因式，然后进行因式分解即可；（2）利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解即可．【小问1详解】解：【小问2详解】解：【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于选择合适的方法进行因式分解．19.先化简，再求值：当时，求的值．【答案】，【解析】【分析】先按照平方差公式，完全平方公式，去括号，合并同类项等步骤化简式子，再代入求值．【详解】解：原式，，，，，，，，原式．【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握整式运算的步骤及相关公式是关键．20.（1）已知a、b满足，，求的值．（2）已知，求的值．【答案】（1）7；（2）【解析】【分析】（1）由题意知，，，然后代入求值即可；（2）由题意知，，根据，计算求解即可．【详解】（1）解：由题意知，，，∴∴的值为7；（2）解：由题意知，，∵，∴，∴的值为．【点睛】本题考查了完全平方公式的变形应用，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．21.甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为；乙把字母b看错了得到方程组的解为．（1）求a，b的正确值；（2）求原方程组的解．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由题意将代入，将代入，分别求解、即可；（2）利用加减消元法解二元一次方程组即可．【小问1详解】解：由题意，将代入，得，，将代入，得，；【小问2详解】解：由（1）得原方程组为，，得，解得，将代入①得，，解得，原方程组的解为．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，掌握加减消元法是解题的关键．22.若的积中不含x项与项，（1）求p、q的值；（2）求代数式的值．【答案】（1），（2）33【解析】【分析】（1）将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含x项与项可知x项与项的系数均等于0，解方程即可；（2）由（1）中p、q的值得，将原式整理变形成，再将p、的值代入计算即可．【小问1详解】解：，∵积中不含x项与项，∴，解得，；【小问2详解】解：由（1）得，∴．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式．注意不要漏项、漏字母、有同类项的合并同类项，解题的关键是正确求出p，q的值．23.疫情防控形势下，人们在外出时都应戴上口罩以保护自己免受新型冠状病毒感染．小明去年底购买了1盒医用外科口罩和2只口罩，共花去54元．今年2月份，受疫情影响，市场供应紧张，医用外科口罩价格上涨，N95口罩价格变为原来的两倍，小明再次购买1盒医用外科口罩和2只口罩，共花去84元．求：（1）小明去年底购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为多少元？（2）今年2月份（涨价后），若小明打算用360元（全部用完）同时购买医用外科口罩（单位：盒）和口罩（单位：只）（两种都买），供家庭使用，则小明有多少种购买方案？【答案】（1）去年底购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为30、12元（2）共有4种购买方案；方案一，购买2盒医用外科口罩与12只口罩；方案二，购买4盒医用外科口罩与9只口罩；方案三，购买6盒医用外科口罩与6只口罩，方案四，购买8盒医用外科口罩与3只口罩【解析】【分析】（1）设去年底购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为、元，则第二次购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为、元，依题意得，，计算求解即可；（2）由题意知，，，设购买医用外科口罩盒，口罩只，，，依题意得，，解得，，则，解得，即，则当，；当，；当，；当，；然后作答即可．【小问1详解】解：设去年底购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为、元，则第二次购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为、元，依题意得，，解得，，∴去年底购买1盒医用外科口罩与1只口罩的价格分别为30、12元；【小问2详解】解：由题意知，，，设购买医用外科口罩盒，口罩只，，，依题意得，，解得，，∴，解得，∴，当，，当，，当，，当，，∴共有4种购买方案；方案一，购买2盒医用外科口罩与12只口罩；方案二，购买4盒医用外科口罩与9只口罩；方案三，购买6盒医用外科口罩与6只口罩，方案四，购买8盒医用外科口罩与3只口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．24.常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解．过程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是△ABC三边的长且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．【答案】（1）（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）；（2）△ABC的形状是等边三角形．【解析】【分析】（1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解．（2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可．【详解】（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn=（9a2+12ab+4b2）﹣（25m2﹣10mn+n2）=（3a+2b）2﹣（5m﹣n）2=（3a+2b+5m﹣n）（3a+2b﹣5m+n）（2）由2a2+b2+c2﹣2a（b+c）=0可得：2a2+b2+c2﹣2ab﹣2ac=0∴（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）=0，∴（a﹣b）2+（a﹣c）2=0根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立，于是：a﹣b=0，a﹣c=0，所以,a=b=c．即：△ABC的形状是等边三角形．【点睛】本题考查了用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是重难点．25.我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：(p，q是正整数，且)，在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．例如：12可以分解成或，因为，所以是12的最佳分解，所以．如果一个两位正整数t，(，x，y为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，根据以上新定义，计算下列问题：（1）求的值；（2）判断15和26是否为“吉祥数”并直接写出所有满足条件的“吉祥数”；（3）求“吉祥数”中，的最大值．【答案】（1）（2）数字15和26是“吉祥数”，满足条件的“吉祥数”的有：