高中数学圆锥曲线题型总结

直线和圆锥曲线常考题型

运用的学问:

1、中点坐标公式：x=>；,y=.；,其中是点A（X|,y）,^（,马，为）的中点坐标。

2、弦长公式：若点A（X1,yJ,Ba2,当）在直线N=丘+匕（&工°）上，

则弘=3+。,y2^kx2+b,这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

M=J（X,-々）2+（乂-%）2=«%-々）2+（例-3）2=J（1+J2）（X]一」）2

2

=A/（1+F）[（XI+x2）-4xix2]

xx222

或者IAB|=J（x「母）2+（必一%）2=J（Yi-v2）+（yt-y2）=J（i+5）（M-y2）

YKKy/C

=J（1+j）[（M+%）2-4%%]。

3、两条直线/]：y=Z]X+4，/2：y=42%+力2垂直：则攵42二-1

两条直线垂直，则直线所在的向量匕•匕=0

bc

4、韦达定理：若一元二次方程ar5+Zz¥+c=0（QwO）有两个不同的根苔，％2，则再+々=——,玉％2=一。

aa

常见的一些题型：

题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

元2y2

例题1、己知直线/:丁二履+1与椭圆C:—+”—=1始终有交点，求加的取值范围

4m

22

解：依据直线/:y=Ax+l的方程可知，直线恒过定点（0,1）,椭圆C:上+〕-=1过动点（0,土J最），且相片4,假如直线/:旷=丘+1

4m

22

和椭圆C:土+）—=1始终有交点，则J/zL且加w4,即14〃2且加工4。

4m

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

/:丁="+1=>过定点（0,1）

/:y=&（x+l）n过定点（一1,0）

/:y-2=%（x+l）n过定点（-1,2）

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2、过点T（・l,0）作直线/与曲线N：》2=工交于人、B两点，在x轴上是否存在一点E（%，0），使得AAB石是等边三角形，若存在，求出

Xo;若不存在，请说明理由。

解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。

设直线/:y=-x+l）,k丰0,A（X],y）,B（x2,y2）o

y=攵(工+1)

由〈2消y整理，得

y=x

k2x2(2k2-1)冗+攵2=o①

由直线和抛物线交手两点，得

A=(2k2--4/=-4k2+1>0

,1

即0<《v—②

4

+2k2-1।

由韦达定理，得：%+%2=------2—，大工2=1。

K

2k2-11

则线段的中点为(-----Z—,—)O

2k22k

线段的垂直平分线方程为:

11\-2k\

y-----=——z(x-------—)

2kk2k2

令0,得飞='一：’则E(J■一

Z,K乙乙K乙

△A8E为正三角形，

・•・E(—7一一，0)到直线的距离d为

2k2

网=J(X|—々)2+(必一月)2

J1+&2

d

2kl

J+如

乎・g

解得k=±—满意②式

13

5

此时“。=§。

题型三：动弦过定点的问题

x2y2J3

例题3、已知椭圆C：一■+p-=1(6(>ft>0)的离心率为—,且在x轴上的顶点分别为AI(-2,0)2(2,0)»

(i)求椭圆的方程;

()若直线/:X=r(r>2)与X轴交于点T,点P为直线I上异于点T的任一点,直线12分

别与椭圆交于M、N点，试问直线是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

解：(I)由已知椭圆c的离心率e=—=——,a=2,则得c==1。从而椭圆

a2

%2

的方程为一+y2=1

4

y=k.(x+2)

（）设“（Xi，X）,N（x,y）,直线4M的斜率为尤，则直线A,"的方程为y=K（x+2）,由212消y整理得

22x+4V=4

2

(1+%)X+16kM+166一4=0

:一2和不是方程的两个根,

c16好-4

-2x=-J-

11+%

2-8代4k.

则X=-----V.弘=----

11+4%：1+4后

2—8后24k

即点M的坐标为（------——4-），

1+44：1+4奸

弘2_2_44

同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为（—=——,----r）

1+4.1+4抬

---%,=K(f+2),y0=包"2)

k}-k2_2

K+何t

）'-）1二七-y

直线的方程为:

尢一％x2-Xj

...令0,得力,将点M、N的坐标代入，化简后得：x=-

X-%t

4

又•./>2,/.0<—<2

t

椭圆的焦点为（6,0）

4/r45/3

:.一二、3,即，=——

t3

473

故当£二」一时，过椭圆的焦点。

3

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

22

例题4,已知点A、B.C是椭圆E：T+H=l（。>%>0）上的三点，其中点A（2班,0）是椭圆的右顶点，直线过椭圆的中心O,且

ab

AC>BC=0,|«C|=2|AC|,如图。

⑴求点C的坐标与椭圆E的方程；

0若椭圆E上存在两点p、Q,使得直线与直线关于直线x=J5对称，求直线的斜率。

解：⑴|Bcj=2|Ac],且过椭圆的中心o

.-.|OC|=|AC|

AC-BC=0

7t

ZACO=-

2

又二A（2后0）

/.点C的坐标为（J5,G）0

A（273,0）是椭圆的右顶点，

.•.4=26,则椭圆方程为：

22

xy1

n+V=l

将点c（百，百）代入方程，得加=4,

22

.二椭圆E的方程为----F=1

124

（）直线与直线关于直线X=y/3对称，

..・设直线的斜率为2,则直线的斜率为一%,从而直线的方程为:

y_二4（％—J^）,即

y=kx+>/3(\-k),

y=kx+CQ-k)

消y,整理得:

X2+3/-12=0

(1+3k2)x2+6y/3k(1-k)x+9k2-18k-3=0-x=y/3是方程的一个根，

9A2-184-3

1+3V

然2-1弘-3

即Xp—

省（1+3公）

同理可得:

9/+18女-3

6(1+3/)

=

.y>p—y。kXp+Vs(1—k)+kx^—>/3(1+Z)=k(Xp+XQ)—2\/3k

-12k

一向1+3公)

_=9-2—189-39^+189-3

斗”-6(1+3攵2)6(1+3〃)

-36k

一技1+3/)

1

则直线的斜率为定值一。

3

题型五：共线向量问题

22

XV,ULMUUU

例题5、设过点D（0,3）的直线交曲线M：—+2一=1于P、Q两点，且。P=/DQ,求实数/的取值范围。

94

解：设P（XU）（X22）,

UUUUUU

QDP=IDQ

\（XI1-3）=/（X22-3）

方法一：方程组消元法

22

又QP、Q是椭圆上的点

94

I五+及=1

\I94

22

i(/x2),(/%+3-3/y一

f94

消去X2,

可得(5+3-3/)2-躬=]_/2

又Q-2£y2£2,

解之得：-<A<5

5

则实数/的取值范围是1,5。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线的方程为：y=kx+3,k^0.

y=fcr+3

消y整理后,得

4x2+9y2=36

(4+922)f+54丘+45=o

P、Q是曲线M上的两点

A=(54/)2-4x45(4+9-)=144G—80N0

即94225①

由韦达定理得：

54k45

(』+3_N产।2

XxX2x2x]

54*2_(1+))2

45(4+9/)-—2-

36/19k2+4,4

即--------y=------=1d...-②

5(1+4)29k29k2

由①得0<--T4一,代入②，整理得

9k25

,3629

1<-------<-,

5(1+A)2?5

,1,U

解之得一<2<5

5

当直线的斜率不存在，即x=0时，易知4=5或2=]。

5

r1j

总之实数/的取值范围是-,5.

题型六：面积问题

22[7

例题6、已知椭圆C：--4-=1(a>b>0)的离心率为----，短轴”个端点到右焦点的距离为。

a2b23

(I)求椭圆c的方程;

(H)设直线I与椭圆C交于A、B两点，坐标原点。到直线I的距离为且，求△面积的最大值。

2

£=2/6

解：(I)设椭圆的半焦距为c,依题意(/一行

a=6,

・・.8=1,...所求椭圆方程为——+：/

3

（II）设AC卬y）,B（X2,当）。

⑴当轴时，口回二石。

(2)当A5与工轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=kx+m.

由已知=得加2=3(22+])。

VTTF24

把y=履+加代入椭圆方程，整理得(342+l)x2+6初a+3m2-3=0,

-6km3(m2-1)

・"+々=评丁中2=宝『

3622M12（裙_1）

.-.|ABf=（1+公）（々一%）2=（1+F）

■+1）23二+1

12（尸+1）（3新+1_/）3（12+1）（9吠二+1）

（3f+1）2——（3公+1尸~

3+12K=3+—————（kw0）W3+12

=4。

9F+6F+19外N6236

1,,6

当且仅当9.r，即Z=±—时等号成立。当左=0时，|A5|=G，

k23

综上所述|AB|=2.

IImax

当|/叫最大时，AAOB面积取最大值S=；x|AB|

X-6-----=--g-----

Imax22

题型七：弦或弦长为定值问题

例题7、在平面直角坐标系中，过定点C(0,P)作直线与抛物线X2=2(p>0)相交于A、B两点。

(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△面积的最小值;

(H)是否存在垂直于y轴的直线1,使得1被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出1的方程；若不存在，说明理由。

x2=2py

(I)依题意，点N的坐标为N(0)，可设A(xii)(X22),直线的方程为，与x2=2联立得〈“消去y得x2-22p2=0.

y=kx+p.

由韦达定理得x12=21X22p2.

于是SAABN=SgCN+SMCN=a.2〃ki--^21

2

=plx,-x2|=(x]+x2)-4X,X2

=p14P2k2+8〃2=2p2>jk2+2.

/.当k=。时，（S.BA〉min=2A/2p2.

（II）假设满意条件的直线I存在，其方程为的中点为与AC为直径的圆相交于点P、Q,的中点为H,则

O'H_LP。。'点的坐标为(^2L±£)

,・1。"=如。=3&+(〃一「)2

=gjy：+pL

\O'H\=a=g|2a_y_p|,

:.\PHf=\O'Ff-\O'Hf

=；(y；+/)-弘一p)2

=(«--)y\+a{p-a),

:.\P^=(Q\PH\)2

=4(a-y)y2+a(p-a).

令〃.=0,得a=§止匕时囱=〃为定值，故满意条件的直线1存在，其方程为y=g

即抛物线的通径所在的直线.

解法2：

(I)前同解法1,再由弦长公式得

IA4=J1+左"内-X2|=Jl+%2-+々)2―钻光2=jl+42•不4P2k2+8/

=2pjl+r.收+2.

又由点到直线的距离公式得d=

73T^7—F.

22

从而，S故BN=-d-\AB\=--2pJl+『.”2+2,2P,=2pyJk+2,

22y/\+k2

2

.,.当k=0时，(SMB/v)max=2V2p.

(H)假设满意条件的直线t存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为

(x—0)(x-尤।)一(y—p)(y—x)=0,将直线方程代入得

2

X-xtx-{a-p)(a-M)=0,

贝l」A=x：—4(。-p)(a—y)=4(a--)y\+a(p-a).

设直线1与以为直径的圆的交点为P(X22)(X44)厕有

俨2|=上一七|=卜(a-g)i+a(p-a)=2^(a--1)y,+a(p-a).

令〃一§=0,得”=与止匕时闿=P为定值，故满意条件的直线1存在，其方程为y=g

即抛物线的通径所在的直线。

题型八：角度问题

例题8、(如图(21)图，"(-2,0)和“(2,0)是平面上的两点，动点户满意：|PM|+|PN|=6.

(I)求点尸的轨迹方程；

2

(II)若1PM・PN|=-----------------，求点〃的坐标.

11111—cosNMPN

解：(I)由椭圆的定义，点尸的轨迹是以机N为焦点，长轴长2炉6的椭圆.

因此半焦距2,长半轴3,从而短半轴

>Ja2-(?=V5,

"V~

所以椭圆的方程为----1----=1.

95

答(21)图

(11)由|「“卜|呐|=

l-cosMPN

I加卜|叫cosMPN=\PM\.\PN\-2.©

因为cosMPN#l,P不为椭圆长轴顶点，故户、亿”构成三角形.在△中，|肱V|=4,由余弦定理有

|MA^|2=\PM(+\PNf-2\PM\.\PN\cosMPN.②

将①代入②，得

42=\PMf+|PN「-2(\PM\.\PN\-2).

故点户在以M,¥为焦点，实轴长为2石的双曲线-一上.

3-

XV

由(I)知，点夕的坐标又满意一+匚=1,所以

95

5X2+9/=45,

由方程组解得《

x2+3y2=3.

y=±

2

即夕点坐标为

晅居或"空，的

2222

问题九：四点共线问题

例题9、设椭圆C:部+铲=1(。>8>0)过点M(&1),且着焦点为£(一行,0)

(I)求椭圆C的方程；

(II)当过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交与两不同点4,8时，在线段A5上取点°,满意卜尸卜|。耳=卜。卜|「目，证明:点。总在

某定直线上

解⑴由题意：

/=2

2|工22

<•4+3=1，解得。2=4/2=2,所求椭圆方程为土+上=1

a2b242

c2=a2-h2

(2)方法一

设点Q、A、B的坐标分别为

APAQ

由题设知M,PB|，屈，囱均不为零,记；I=-----，则4〉0且4H1

PBQB

又A,P,B,Q四点共线，从而AP=-%PB,AQ=4Q8

1一乂一义

于是N?1-2

_x+AX_y+^y

X=x2,V=2

1+41+4

从而

X,2-储焉.)'：一八!；

-1--7^=4X.............(1)(2)

1-22i-r»⑵

又点A、B在椭圆C上，即

x；+2y；=4,⑶x；+2y；=4,..(4)

(1)+(2)X2并结合(3),(4)得4s+2y=4

即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上

方法二

设点Q(x,y),A(%,y1),3(X2，y2)，由题设，均不为零。

PAPB

且-----=——

AQQB

又P,A,Q,B四点共线，可设1%=—/14。,/>3=/18。(；1*0,±1),于是

4-Axl-2y

x=,y.=(1)

11-211-2

4+Ax1+Ay

x,---------,y=--------(2)

-1+2721+2

由于8(6,%)在椭圆C上，将(1),(2)分别代入C的方程x?+2y2=4,整理得

(x?+2y~-4)4~-4(2x+y-2)/1+14=0(3)

(x2+2y2-4)22+4(2x+y-2)2+14=0(4)

(4)-(3)得8(2x+y-2)2=0

VA^0,/.2x+y-2=0

即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上

问题十：范围问题(本质是函数问题)

X2

设片、尸2分别是椭圆彳+y22=1的左、右焦点。

(I)若P是该椭圆上的一个动点，求斯•丽的最大值和最小值；

(11)设过定点M(0,2)的直线/与椭圆交于不同的两点A、B,且/AO4为锐角(其中。为坐标原点)，求直线/的斜率左的取值范围。

解：(I)解法一：易知a=2,b=1,c=6

所以耳(—6,0),鸟(6,0),设p(x,y),则

21

22X2X2

PFlPF2=(-^-x,-y),(^-x,-y)=x+y-3=+1-^--3=^-(3-8)

因为xe[—2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时，「耳,鸟有最小值一2

当*=±2,即点P为椭圆长轴端点时，有最大值1

解法二：易知a=2,6=l,c=百，所以耳卜百,0),乙(6,0),设P(x,y),则

闸，附2一,局2

尸月•=,耳川「巴|•cosN"Pg=|尸产],卜尸21•

2附|•叫

]_

+/+/-12=X2+/-3(以下同解法一)

2

(II)明显直线x=0不满意题设条件，可设直线/:y="一2,4(不，％)，3(工2，%)，

y=kx-2

,消去y,整理得：(Zr2+-

联立K=ix2+46+3=0

4k3

X]+工2=------,Xj•X2=--------

k2+-k2+-

44

由A=(4左『一4(2+；

x3—4Z--3>0得：k<――或Z>一

2~T

又0°<NA08<90°ocosNA03>Oo040B>0

:.OA-OB=x1x2+yxy2>0

3产—8k?-k2+1

又y%=（例+2）（纥+2）=攵2不/+22&+々）+4-~r+r+4A

k2+-k-+-k2+-

444

3~k+1八,7.八，八

-----+------>0,即Zrv4-2<k<2

k2^-k2+-

44

故由①、②得一2<Z<-且或且<%<2

22

问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）

设椭圆E:3+当=1（X））过M（2,V2）,N（J&,1）两点，0为坐标原点,

a-b-

（I）求椭圆E的方程；

（）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点，且。4J_OB?若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围,

若不存在说明理由。

解：(1)因为椭圆E:―y+%~=l(>0)过M(2,V2),N（遍,1）两点,

42

+

一

2记=1

a;:所以.22

所y

以/=8x

6l解得V椭圆E的方程为1=1

+从=484

2一F--二—

a=1lb24

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的随意一条切线与椭圆E恒有两个交点，且。4_LO8,设该圆的切线方程为y=+m解方程

y=kx+m

组V9得力之+2(依+m)2=8,即(1+2攵2)12+4Z:/nx+2m2-8=0,.5

—+—=1

184

则△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8二一加？+4)>0,即8二一加？+4>0

4km

…二一』

Z?(2病-8)_”近+疝=生*£

22

必力=(.1+加)(任+m)=kx}x2+km(X[+x2)+in

2m2-S1+2公1+2/1+2/

中2~\+2k2

八”।八n八2"广一8m~—Sk„_2cic八17~8

要使OA±OB,需使x,x2+必必=°，即------丁+-------丁=0,所以3"-8k"-8=0，所以k~=-------->0又

\+2k2\+2k28

2

_,22/八|m>2282>/62^6,

8Z—-+4〉0,所以《，，所以m22一，即加之或团《一一J，因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所

[3加228333

Mnvnr82j6228,

以圆的半径为〃=T=J=，/2=__：^^^=一/=_^,所求的圆为％2+丁2=一,此时圆的切线>=去+加都满意