数学史讲座教材

数学史讲座数学史所属的范畴是研究数学发展进程与规律的学科它是科学技术史的一个分支数学史不直接隶属于数学数学史的主要内容按照数学和历史发展的不同时期，介绍数学思想发展的情况介绍主要的数学研究成果、著作介绍著名数学家的事迹研究各国在不同时期进行数学交流的情况数学史的目的探讨数学的发展与当时社会的政治、经济、军事、历史、地理、哲学、宗教和文化的关系总结经验与教训，达到古为今用的目的

讲座（一）

数学发展概述一、古代数学的外史资料

人类曾两次走出非洲5000年前发现了铜3000年前发现了铁建立了五大文明区域：埃及、巴比伦、中国、印度、希腊1.埃及前3500年建国；象形文字；记录用纸草前4228年有了历法前3000年开始修金字塔。胡夫金字塔建于前2600年，用石2000000块以上，平均2.6吨，最大的石顶54吨，金字塔的正方形底边的相对误差不超过14000分之一，四个直角的相对误差不超过27000分之一2.巴比伦——两河流域两河流域——幼发拉底河与底格里斯河前3500—前3000年建国；楔形文字；纪录用泥板前4700年有了历法前2000—前1600年熟悉长方形、三角形、梯形的面积，某些体积等；会解某些二次方程和联立方程组深知毕达哥拉斯数3.中国前2070年建国；方块字；记录用简（牍）周—礼；前500—筹算；筹算介绍；前330—诸子百家；前213年—焚书坑儒汉—独尊儒家前100年—《周髀》；100年—《九章算术》隋朝—科举明清—八股取士中国历史年表夏（前2070——前1600）商（前1600——前1046）周（前1046——前221）其中：春秋（前770——前476）战国（前475——前221）秦（前221——前206）汉（前206——220）三国（220——265）晋（265——420）南北朝（420——589）隋（581——618）唐（618——907）宋（960——1279）元（1271——1368）明（1368——1644）清（1644——1911）

4.古代印度前3000年开始属城市文明，印章文字前2000年，雅利安人入侵前1000年—婆罗迷文和梵文前9—前7世纪建国，记录用树皮和树叶数学方面发明了表达数字的10个符号

5.希腊前2000——前1200年——爱琴文明前12—9世纪——荷马时代前8世纪建国，采用民主联邦制记录用纸草和羊皮前7世纪以后出现了爱奥尼亚学派、毕达哥拉斯学派、柏拉图学园、亚历山大学派延绵三百年把希腊数学推向了顶峰，标志性的代表作是欧几里得的《几何原本》6.阿拉伯帝国622年，伊斯兰教兴起，建立了阿拉伯帝国641——715年是其扩张期直到1300年间，阿拉伯世界先进，欧洲处于黑暗的中世纪阿拉伯人保存了大量希腊的科学与数学，并将其翻译成阿拉伯文7.欧洲四、五世纪开始，进入了黑暗的中世纪十二世纪是一个翻译的世纪十三世纪是数学和科学向欧洲传播的世纪十四世纪是欧洲的不毛之地——黑死病十五世纪开始了欧洲的文艺复兴十六世纪找到了三、四次方程的求根公式十七世纪，牛顿和莱布尼兹创立了微积分小结希腊化数学建立了初等数学；十七、十八世纪建立了变量数学；十九世纪、二十世纪建立了现代数学数学的中心的转移过程：埃及、巴比伦——希腊——埃及——巴格达——意大利——法国——英国——德国——美国二、数学三大学派数学的真理与哲学、认识论有关芝诺（前496——前430）疑难如点是否有长度、运动能否反演等逻辑主义学派——“数学就是逻辑”直观主义学派——只能用直观判断真伪形式主义学派——无矛盾就是真理三、悖论与诡辩光头不是秃子国王的承诺法官收徒饺子换面条金丝绒的烤包子四、第一次数学危机毕达哥拉斯（前572——前497）学派的哲学——万物皆数毕达哥拉斯悖论：等腰直角三角形的斜边与其直角边是不可公度的作用——数学转向产物——逻辑和《原本》五、第二次数学危机1734年，贝克莱（英国大主教）悖论：

——关于微积分的基础作用：促进了微积分基础的严格化产物：实数理论与极限理论

六、第三次数学危机集合概念——康托：“我们觉察到的或在我们思维中的一些不同事物的总体”理发师悖论朴素集合论——一定属性、确定、各别1900年法国巴黎的世界数学家大会1903年罗素悖论作用——导致了数理逻辑的发展产物——公理集合论七、集合论的公理体系

公理1存在性公理公理2外延公理公理3偶对公理公理4并公理公理5幂集公理公理6映射公理公理7正则公理公理8选择公理公理9连续统假设满足1～7称为ZF公理系统满足1～8称为ZFC公理系统满足1～9称为ZFCH公理系统关于公理集合论的说明正则公理的目的

选择公理是否可承认

康托假设是否成立

公理集合论的相容性

八、结束语

数学的发展就象在沙漠上盖高楼大厦数学大厦越盖越高地基仍然存在着裂缝真理是相对的九、三次数学危机时期中外对比

第一次数学危机前后国外：几何、算术；中国：春秋战国第二次数学危机前后国外：旧三基；中国：八股文第三次数学危机前后国外：新三基；中国：殖民地半殖民地、建国、抗日、内战、反右、炼钢铁、文革讲座（二）

勾股定理

前言

摆正爱国主义与实事求是的关系一道算术题（1975年二年级课本）我国第一颗人造卫星重量为173公斤，苏修的第一颗人造卫星重量为83公斤，而美帝的仅约8公斤.求我国第一颗人造卫星分别比苏修、美帝的重多少？

一、中国古代对勾股定理的研究规矩（jǔ

）——“规”和“矩”矩——“勾”和“股”勾股数与勾股定理《考工记》（前三世纪）——“内三之，胡四之，援五之，倨勾中矩”《周髀算经》（前100年）中提到周公（前1042—前1036辅成王）与商高问答——“勾广三，股修四，径隅五”荣方与陈子问答——“勾股各自乘，并而开方除之”

钱宝琮（1892——1974）——“要发扬古代数学的伟大成就，明了数学发展的规律，首先必须将《算经十部》重加校勘，尽可能消灭一切以讹传讹的情况”

赵君卿（赵爽）（东汉末年、三国初期）注解《周髀算经》使用了“勾股圆方图”，这是中国有记载以来关于勾股定理的第一个证明（图2）。二、外国古代对勾股定理的研究埃及人前23世纪知道勾股数3，4，5古巴比伦前1600年泥板上的题：“已知矩形的长为4，对角线为5，问宽是多少？”。解法是：“4乘4得16，5乘5得25，从25中减去16，余9，因为3乘3得9，故3即为所求的宽.”美国哥伦比亚大学所藏的322号泥板⑴119，120，169；⑵3367，3456，4825；⑶4601，4800，6649；⑷12709，13500，18541；

……

共15组数勾股定理的证明古希腊数学家毕达哥拉斯（前582——前497）是西方第一个证明勾股定理的人国外常称之为毕达哥拉斯定理，也称之为“百牛定理”讲座（三）

圆周率

祖冲之简介祖冲之（429—500），河北涞源县人圆周率3.1415926领先世界达千年主持编定了《大明历》制造过指南车和水碓磨1959年命名“祖冲之山”圆周率的意义有人说，“圆周率的精确度可以作为衡量一个国家数学发展水平的标志”古往今来，纵观圆周率的种种计算方法，从割圆术、级数法到实验法，特别是计算机的参与，无不蕴藏着丰富的数学方法、数学思想．可以说圆周率的计算在一定程度上推动着数学的发展一、圆周率是常数吗？

希腊人德莫克利特（约前460—357）提出了原子论思想希腊人安提丰（公元前五世纪）提出了一种求圆面积的方法——穷竭法希腊人欧多克斯（约前408—355）建立了穷竭法原理并证明了两圆面积之比等于其半径平方之比阿基米德（希腊）定理推得圆周率是常数二、中国对圆周率的计算1.“周三径一”之说2.刘徽（263年作注）的“割圆术”和“徽率”3.祖冲之（429—500）的“约率”、“密率”在《隋书》中记载了“祖冲之更开密法，以圆径为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽”.并说“学官莫能查其深奥，是故废而不理”三、外国对圆周率的研究1.“周三径一”之说前250年左右，希腊阿基米德割圆得到3.141429年，阿尔·卡西割圆得到了16位小数1596年，德国鲁道尔夫割圆到262边形得到3.14159265358979323846264338327950288

创造了割圆术（小手工业）的里程碑1767年，德国兰伯特证明了π是无理数四、利用级数计算圆周率1706年，英国天文学家马信计算到100位1873年，英国的威廉·谢克斯计算到707位1948年1月，英、美二人合作计算到808位创造了用级数计算圆周率的世界记录五、利用计算机计算圆周率1949年到2037位1955年到10017位1961年到100265位1967年到500000位1974年到1000000位1981年到2000000位（日本）1990年到1073740000位（日本）1995年到64亿位（日本）1999年到200亿位（日本）2000年到2061亿位（日本）六、π的超越性1882年，德国林德曼（1852—1939）证明了π是一个超越数。就是说π不是任何整系数多项式的根。从而解决了化圆为方不能问题讲座（四）尺规作图

希腊数学的发展路线1.《原本》——算术、几何2.无穷小、极限以及求和过程3.高等几何——三大几何作图难题三大几何作图难题

1.倍立方体问题2.三等分角问题3.化圆为方问题一、中国的规矩和欧几里得工具

1.中国的规矩2.欧几里得工具直尺——只能过任何给定的不同两点作一条直线圆规——只能以给定点为圆心过任何给定的第二点作一个圆两种作图工具的区别1.欧几里得直尺无刻度2.欧几里得圆规不同于两脚规—中国规3.两种工具的使用规定的目的4.欧几里得圆规和我们现在的圆规等价原因是《原本》第一卷的第二个命题：从一给定点，画一条线段，使之等于给定的线段二、倍立方体问题的进展倍立方体问题的来历毕达哥拉斯学派的希波克拉底（前460—377年）对此问题的简化：作两条给定的线段和的两个比例中项与，使

则即为所求三、三等分角问题的进展希腊人首先把它归结为所谓斜向问题：如图，三等分角问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一条给定长度2BA的线段EF，使得EF斜向B点四、化圆为方问题的进展希波克拉底（前460—377年）研究了某些由两个圆弧围成的月牙形的面积，想用月形面积导出化圆为方问题化圆为方问题在希腊时期无进展五、三大几何作图难题的解决准则：对于一个作图题，所求点的坐标如果可用有理数通过加、减、乘、除和开平方而得出，则这个图形可用尺规来作出.否则就不能用尺规作出1837年范兹尔证明了倍立方体问题和三等分角问题不能用尺规解决1882年，德国林德曼证明了π是一个超越数，所以化圆为方问题不能用尺规解决六、阿基米德用尺规三等分角

七、等分圆周

前3世纪，欧几里得时代用尺规作出了正3、4、5、6、8、10、12、15边形1796年，19岁的高斯做出了正17边形1801年，高斯解决了正N边形可用尺规作出的充要条件（括号内都是不同的质数）：讲座（五）

代数学的发展

代数学分类一、一次方程的解法

埃及的草纸中有记载巴比伦的泥板中有记载二、二次方程的解法

巴比伦泥板中有二次方程的记载古希腊人解出过某些二次方程中国的《九章算术》解出过某些二次方程印度人婆罗摩笈多（7世纪）给出了求方程的一个根的公式花拉子米阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米

783年左右出生于花拉子模

813年到首都巴格达工作传世之作是“Ilmal-jabr

wa’l

muqabalah”850年左右去世。李善兰于1859年将其翻译成“代数学”“代数学”介绍书中给出了6种类型的一、二次方程的“标准形式”，分6章来叙述，用现代数学符号表示即为；；；；；。其中，，是正数，对于每种方程的解法都给出了具体的例子把这6种类型的方程统一起来就得出现代形如的二次方程三、三次方程的解法

巴比伦泥板中有求解三次方程的问题古希腊的阿基米德（公元前3世纪）讨论过方程的几何解法波斯人奥马海亚姆（11世纪）发展了阿基米德的方法中国王孝通（7世纪）提出了数值解法中国秦九韶（13世纪）进一步提出代数方程的数值解法三次方程的一般解法塔尔塔利亚（意，1499—1557）简介1500，费罗（意，1465—1526）1510，费奥尔（意）1510，那威（意，1500—1558）1530年，塔尔塔利亚1535年2月12日，塔尔塔利亚1535年2月22日，塔尔塔利亚与费奥尔竞赛卡当（意，1501—1576）简介费耶（意，1522—1565）1539年，塔尔塔利亚告诉了卡当1542年，那威访问过卡当，卡当发表了解法，塔尔塔利亚与费耶发生了公开的冲突

1541年，塔尔塔利亚获得了一般公式解法卡当公式：方程

的求根公式为任意三次方程都可以用变换将其化为的形式

至此一元三次方程得到了圆满的解答四、四次方程的解法

一般四次方程用变换可化成费利拉（卡当的弟子）通过适当的变量替换，把解四次方程的问题归结为一个三次方程和一个二次方程的问题，从而找到了用根式解任意四次方程的方法五、代数的符号化法国数学家韦达（法1540—1603）算术与代数：代数运算施行于事物的类或形式算术运算施行于具体的数笛卡尔（1596——1650）作了改进六、代数学的转向1770年，拉格朗日（意，1736—1813）预测没有根式解

1824年，阿贝尔（挪威，1802—1829）证明了一般五次以上的方程没有根式解

1832年，伽罗瓦（法，1811—1832）明确而透彻地解决了哪些方程可用代数运算来解的问题七、拉格朗日小传

拉格朗日（

1736—1813）生于意大利都灵1755年，在开创变分法方面有贡献1755年，皇家任命他为数学教授1764年，解决了“三体问题”，获大奖1766年，解决了“六体问题”，获大奖1766年，任柏林数学物理研究所所长1786年，受邀赴巴黎定居1793年，统一度量衡——米制八、阿贝尔小传1802年8月5日，出生于奥斯陆附近的芬岛1817年，遇见了霍尔姆伯老师1821年，考取了奥斯陆大学1823年，阿贝尔开始进军五次方程解法1824年，证明了一般五次方程不可根式解1826年，去巴黎留学，写了“巴黎论文”1827年，回到了奥斯陆，已染上了肺结核1828年，获得了一个临时性工作1829年4月6日，在挪威费罗兰德病逝1841年，出版了“巴黎论文”2002年，挪威政府设立了阿贝尔奖九、伽罗瓦小传1811年10月初，生于巴黎近郊1826年，考巴黎高等工科大学失败1827年，开始写数学论文两篇论文遭法国科学院拒绝，且手稿丢失1829年，考巴黎高等工科大学再度失败1830年，论文手稿再度丢失（傅里叶死了）1831年1月写出了最后论文“关于方程可根式求解的条件”1831年5月入狱7天1831年7月4日，“最后论文”被称为“无法理解”1831年7月14日，被判了6个月的监禁1832年5月30日，决斗时身亡

十、中国在代数方面的情况

筹算是中国古代数学的一大特色，很好地胜任了古代各种算术计算，使中国算术保持了在世界上的领先地位筹算不利于方程理论的研究康熙把花拉子米的代数学的音译说成是“东来法”，学者们也符合其意，制造出“西学东源”的神话，使后来的学者深信不疑中国古代数学仅停留在“算”上，没有升华讲座（六）几何学的发展

一、“几何”一词的来源

利玛窦和徐光启在1607年合译的《几何原本》中，把“几何”作为一个数学专有名词《几何原本》中的解释：“两几何者，或两数、或两线、或两面、或两体”译文中的“几何”既有“多少”的意思，又有“量”的意思二、经验几何1.巴比伦

2.埃及

3.中国

4.印度

三、证明几何数学之父——泰勒斯简介以下五个命题属于泰勒斯

1.圆被其直径所平分

2.等腰三角形的两底角相等

3.两直线相交时，对顶角相等

4.半圆上的圆周角为直角

5.两角及夹边对应相等时，两三角形全等四、《几何原本》简介

1.“原本”（elements）的含义

2.《原本》的体系

——公理化体系：定义、公理、公设、命题

《原本》的定义

《原本》第一卷共有23个定义，如：（1）点是不可分的（2）线有长无宽（包括曲线）（5）面只有长和宽（15）圆是由线组成的平面图形，从图形中的一点引到它的一切直线都是相等的（23）平行直线是这样的直线，它们是在同一平面内的，将它们双方无限地延长而不会相交的《原本》的公理

（1）等于同量的量相等（2）等量加等量，其和相等（3）等量减等量，其差相等（4）能迭合的量，彼此相等（5）整体大于部分《原本》的公设

（1）可从一点到任何一点引直线（2）每条直线都可以无限延长（3）以任何点为心可作半径为任意长的圆（4）凡直角都相等.（5）如果一条直线与两条直线相交，在同侧的两个内角之和小于两直角，那末无限延长这两条直线，它们必在这一侧相交《原本》的内容全书共有465个命题，内容涉及：三角形的性质；平行线理论；三角形、四边形、正方形等的面积；毕达哥拉斯定理及其逆定理；尺规作图；“愚人的桥”；等面积的变换；几何式代数；毕达哥拉斯定理的推广；余弦定理；尺规作正三、四、五、六、十五边形；比例理论；相似三角形；比例中项；二次方程的几何解法；欧几里得算法；互素性；连比；几何级数；素数分解定理；完全数；素数有无限个；毕氏三数公式；立体几何；球体；空间的直线和平面；平行六面体；五种正多面体的作图法等

4.《原本》的意义意义：

1.内容：丰富、严谨

2.方法论：开公理化之先河，演绎数学体系的最早的、成功的典范五、非欧几何的产生从前300年到1800年间，数学家们企图用五条公理和前四条公设证明第五公设德国高斯（1777—1855）1804年以后明了了非欧几何，但“怕引起喊声”，放弃了鲍耶·法尔卡什（匈，1775—1856）一生鲍耶·亚诺什（匈，1802—1860）于1823年创造了非欧几何，1831年发表罗巴切夫斯基（1793—1856）于1826年2月1日宣读了非欧几何—罗巴切夫斯基几何双曲几何又称罗巴切夫斯基几何，它用“过直线外一点至少有两条直线平行于已知直线”代替第五公设，可导出三角形的内角和小于两直角。椭圆几何又称黎曼几何，用“过直线外一点不存在已知直线的平行线”代替第五公设，可导出三角形的内角和大于两直角。双曲几何与椭圆几何六、爱尔兰根纲领

克莱茵（德,1849—1925）简介哥廷根学派的兴衰

——高斯、狄里克莱、黎曼、克莱茵、希尔伯特、闵考夫斯基、龙格流亡美国的世界级人物

——爱因斯坦、弗兰克、冯诺依曼、克莱茵、柯朗、哥德尔、韦尔、德恩……七、翻译《几何原本》的过程

1.无意间尝试翻译——瞿太素、张养默2.为科学翻译《原本》前六卷（1607）

——教士利玛窦（意）1583年2月来华

——国人徐光启，上海徐家汇人3.为科学翻译《原本》后九卷（1857）

——教士伟烈亚力（英）

——数学家李善兰，浙江海宁人讲座（七）

中国数学简介

前言中国数学与西方数学的差异中国数学在世界领先的方面：十进位为值制计数法、筹算、四则运算、比例算法、开平方与开立方、盈不足术、“方程解法”、正负数运算、孙子定理、圆周率、方程的数值解法、高次方程的数值解法、贾宪三角形、高次方程组的解法、大衍求一术、高阶等差级数求和、珠算等。中国数学史的分期1.中国数学的起源时期——从上古到西汉末年2.中国数学体系的形成和发展时期——从西汉末年到元代中期3.中国数学的停滞与西方数学的输入时期——从元代后期到清代中期4.中西数学合流时期——清代中期到中华民国5.现代数学时期——中华人民共和国成立至今一、中国数学的起源1．《周易》中的数学知识2．《孙子兵法》中运筹学的初步思想3．算术四则运算与分数运算4．《墨子》中的几何与逻辑知识5．《庄子》的哲学6．筹算与十进位位值制二、中国数学体系的形成

1．《九章算术》的成书年代与作者

——公元100年左右，无作者2．《九章算术》的内容、意义和特点

——全书分为方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，共246问、202术．3．《九章算术》的东方数学特色

——以计算为中心，目的是实用三、中国数学体系的发展

1．赵爽、刘徽和祖冲之父子（1）赵爽——勾股图（2）刘徽——割圆术（3）祖冲之、祖暅父子——圆周率2．中国古代的“十部算经”简介（1）《周髀算经》（2）《九章算术》（3）《海岛算经》（4）《孙子算经》（5）《五曹算经》（6）《五经算术》（7）《缀术》或《数术记遗》（8）《夏侯阳算经》（9）《张邱建算经》（10）《缉古算经》

中国古代计数制《数术记遗》中说“黄帝为法，数有十等．及其用也乃有三焉．十等者，亿、兆、京、姟、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，为上、中、下也．其下数者十十变之，中数者万万变之，上数者数穷则变．又说“下数浅短，计事则不尽．上数宏廓世不可用．故其传业惟以中数耳”3．中外数学交流的开端（1）中国数学传入朝鲜（2）中日两国往来已久（3）与中亚各国的文化交流四、中国传统数学的高峰

1．宋元数学家及其数学成就介绍（1）刘益的正负开方术及方程的数值解法（2）贾宪的“增乘开方法”与“开方作法本源”（3）沈括的贡献（4）秦九韶与《数书九章》（5）杨辉对数学与数学教育的贡献（6）李冶的数学贡献（7）朱世杰的数学成就（8）王恂（xún）和郭守敬的贡献（9）中国与阿拉伯的数学交流五、中国传统数学的衰退

与西方数学的传入

（1）中国传统数学的衰退时期社会原因；内在原因；明朝规定“习历者遣戌，造历者殊死”商业数学促进了算盘的使用与发展（2）西方数学的传入时期

1607年，教士利玛窦与国人徐光启合译了欧几里得的《几何原本》前六卷

1609年，李之藻与利玛窦编译了西方历算著作，系统地介绍了西方的笔算，对中国的算术产生了深远的影响邓玉函（瑞士人传教士）、汤若望（德国传教士，清初被任命掌管钦天监）和徐光启编译了《大测》十卷

1631年，邓玉函和徐光启编译了《割圆八线表》等，把西方的三角函数引进了中国

1664年，穆尼阁（波兰传教士）和薛凤祚（zuò）编译出版了《天学汇通》，把西方的对数、对数表、三角函数对数表引进了中国清朝自雍正皇帝执政后开始了100多年的闭关政策，终于使中国的传统数学远远地落在了西方的后面六、中西数学的合流1840年鸦片战争以后，中国的闭关大门被帝国主义列强所打开，客观上也传来了西方的文化和科学技术，中国从此出现了资本主义的萌芽，中国数学也进入了中西合流与现代数学研究的新时期李善兰（1811——1882）一生著述颇多，兼容并蓄，荟萃中外，在微积分、组合数学、数论与级数等领域颇有见地．他共译书8种，80余卷，达七八十万字．其中与英国传教士伟烈亚力合译了《几何原本》后9卷；《代数学》13卷；《代微积拾级》18卷（中国第一部微积分译本）；与英国人艾约瑟合译了物理著作《重学》20卷；《圆锥曲线说》3卷；天文学著作《谈天》18卷；他的数学理论和译著影响了一代人．、、、、、、他翻译的《代数学》包括代数方程、方程组、指数函数、对数函数、幂函数等，这是我国第一部符号代数学的译本，直接引用了大量的数学符号，在翻译过程中，他还成功地创译了大量科学译名，多数沿用至今。如：代数学、常数、变数、已知数、未知数、函数、系数、指数、级数、单项式、多项式、微分、积分、横轴、纵轴、切线、法线、曲率、渐近线、相似等．华蘅芳（1833——1902）从小自学数学，无师自通，是自学成材的一个典型人物他在翻译中，除继承了李善兰的许多译名外，还创译了：有理、无理、根式、移项、实数、实根、无穷级数、循环级数、二项微分式、未定式、迭代式、大数、指望（期望）、排列、相关等等现今中学及大学数学中许多数学名词都是由徐光启、李善兰和华蘅芳创译的七、现代数学研究与进展

17世纪初（明末）西方数学传入中国以后，二百多年里，西方数学对中国数学的影响并不大，只局限在翻译和学习方面19世纪50年代以后，西方数学（包括微积分和概率）才系统地传入了中国20世纪初，中国数学界发生了很大变化，对现代数学的研究也取得了一些成果从清代末期开始，中国开始向外国派留学生（第一批在1847年），开始时主要是派往美、英、德、比利时等国辛亥革命（1911）前后出国留学达到高峰，主要是派往美、法、德、日、英、意、比利时等国20世纪前40年出国学习的有熊庆来、陈建功、苏步青、华罗庚、许宝騄、江泽涵、胡坤升、曾炯之、张禾瑞、陈省身、张素成、闵嗣（sì）鹤、徐利治、秦元勋、吴文俊、关肇直等等，在中国数学教育中做出了卓越的贡献1949年建国后，中国数学得到了迅速的发展讲座（八）中国数学教育史简介一、一次数学史知识调查

（一）世界上数学文明出现最早的地区：印度4票；埃及12票；希腊12票；中国15票；巴比伦5票（二）世界上最早使用负数的是在：几何原本0票；埃及著作12票；阿拉伯著作14票；中国著作3票；印度著作19票（三）最早把微积分著作翻译成中文的是伟烈亚力3票；徐光启15票；利玛窦9票；李善兰13票；李之藻7票（四）以下五人中谁的生活年代最早韦达3票；毕达哥拉斯7票；欧几里得24票；祖冲之13票；牛顿2票二、李约瑟（英）难题“李约瑟难题”：中国发达的传统数学为什么在十四世纪就落后了？原因何在？（1）中国数学的弱点：缺乏严格论证、形式逻辑没有发展、缺乏记录公式的符号方法（2）宋元以后社会原因：没落的封建制度、丧权辱国的殖民地半殖民地、“西学中原说”的恶果、八股取士的危害以及对知识分子的摧残（3）中国传统的思维方式，中算寓理于算的特点以及中算程序化的独特模式（4）经济方面，十四世纪前43%，1840年0.6%三、以史为镜注重反思

1、用算具计算的局限性2、实用数学的功利性3、制约数学发展的社会因素四、古希腊和古代中国的比较

1.社会制度的差别导致了数学的走向2.研究数学的目的不同3.社会因素五、中国数学教育史简介

1.中国古代数学教育时期

(1)初建阶段：581以前

(2)确立阶段：581—960(3)兴盛阶段：960—1368(4)沉寂阶段：1368—18402．中国近代数学教育时期

(1)兴起阶段：1840——1911(2)发展阶段：1911——19493．中国现代数学教育时期

(1)创建阶段：1949——1957(2)调整改革阶段：1958——1965(3)严重破坏阶段：1966——1976(4)复兴改革阶段：1976——1985(5)新课改阶段：1985——今

数学史小结

——理解新教材

东西方数学的差异政治文明——文化——数学西方数学——《原本》——思辨、逻辑东方数学——《九章算术》——实用领会新教材作者的暗示—“一方面……，另一方面……”概念的引进—以东方为主，东西结合论证的基础—操作、体验、总结、归纳论证的方法—东西合璧培养目标—“一方面……，另一方面……”新旧教材的结构差异人教版七年级上册119页第9题：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”你能说出其中的数学道理吗？讲座（九）世界名题欣赏

一、哥德巴赫猜想

1742年，德国数学家哥德巴赫提出了猜想（1）每个大偶数都是两个奇素数之和（2）每个大奇数都是三个奇素数之和由于，所以从（1）的正确性就立刻能推出（2）的正确性.现在所说的哥德巴赫猜想指的是（1）1900年，在巴黎召开的第二届国际数学会上，希尔伯特把哥德巴赫猜想作为了著名的23问题中的第8个问题的一部分，据说希尔伯特对此并无信心1912年，德国数学家兰顿在英国剑桥召开的第五届国际数学会上十分悲观地说，即使要证明下面较弱的命题（3），也是当代数学家力所不能及的.（3）存在一个正整数k，使每一个不小于2的整数都是不超过k个素数之和证明哥德巴赫猜想的途径寻找（3）中的

k，并证明k可以取2将每一个大偶数，分成两个数之和，再将这两个数素数分解，如：18+5，5+3等等.最终要证明出1+1将每一个大偶数，分成两个数之和，保证其中一个为奇素数，另一个是几个素数之积，如1+25，1+8等等.最终要能证出1+1进展情况1937年，苏联数学家证明了：当奇数时，就一定可以表示为三个素数之和是一个比还要大的数，所以说是基本上证明了（2）

1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”到现在为止，哥德巴赫猜想还没完全解决二、费尔马大定理

费尔马（1601？——1665）大定理方程，没有正整数解1908年，一位德国富翁曾悬赏10万马克的巨款，奖励第一个对“费尔马大定理”完全证明的人，悬赏期为100年1976年，瓦格斯塔夫用计算机证明了，对所有小于125000的幂指数，费尔马大定理都成立费尔马大定理的解决上世纪五十年代提出了谷山——志村猜想86年，里贝证明了谷山——志村猜想可以推出费尔马大定理93年6月，怀尔斯证明了谷山——志村猜想93年12月，怀尔斯承认他的证明有漏洞1994年10月25日，由怀尔斯和泰勒合作修补了漏洞而重新发表怀尔斯因此获得了1995/1996年的沃尔夫奖三、四色定理

1852年弗兰西斯·古色利发现了四色猜想弗雷德里克把四色猜想转给了德·摩根1878年6月13日，凯莱宣布了四色猜想1879年，肯泊宣布他证明了四色猜想1890年，希伍德指出了肯泊的错误，经过希伍德补救以后，得到了“五色定理”1970年，哈肯找到了新方法1972年，哈肯与阿倍尔联手四色猜想的解决1976年6月，哈肯与阿倍尔用计算机证明了四色定理，总共花费了1200个计算机小时可否承认计算机证明的结果？计算机程序是否有错？——没有！计算机是否出了错？——不知道！人工检查？——不现实。

四、最速降线

设点比点高，一个质点从点滑到点，若不考虑摩擦力，问在无限多种可能的曲线中，沿那条曲线滑行所用的时间最少？五、贝努力难题

雅各·贝努力（1654—1705）1740年欧拉得到了：六、等分圆周

前3世纪，欧几里得时代用尺规作出了正3、4、5、6、8、10、12、15边形1796年，19岁的高斯做出了正17边形1801年，高斯解决了正多边形可用尺规作出的充要条件：边数不超过100的正多边形中，只有24个可用尺规法作图，即正3、4、5、6、8、10、12、15、16、17、20、24、30、32、34、40、48、51、60、64、68、80、85、96边形，其余74个都不行1832年数学家力西罗作出了正257边形继而数学家赫姆斯耗费了十年心血作出了正65537边形推论：三等分角不能用尺规作出讲座（十）

著名数学家介绍

目录

1．泰勒斯；2．毕达哥拉斯；3．柏拉图；4．亚里斯多德；5．欧几里得；6．阿基米德；7．阿波罗尼乌斯；8．丢番图；9．花拉子米；10．费波那奇；11．韦达；12．纳皮尔；13．笛卡尔；14．费尔马；15．牛顿；16．莱布尼兹；17．贝努利家族；18．欧拉；19．拉格朗日；20．高斯；21．柯西；22．格林；23．阿贝尔；24．伽罗瓦；25．鲍耶父子；26．罗巴切夫斯基；27．黎曼；28．康托；29．克莱因；30．希尔伯特；31．布尔巴基学派；32．哥德尔；

33．拉马努扬；34．刘徽；35．祖冲之；36．贾宪；37．秦九韶；38．杨辉；39．李治；40．朱世杰；41．徐光启；42．李善兰；43．熊庆来；44．苏步青；45．华罗庚；46．陈省身；47．吴文俊一、数学之父——泰勒斯

泰勒斯于约公元前640年，生于小亚细亚（今土耳其）的爱奥尼亚西岸的米利都城青年时代的泰勒斯到埃及和巴比伦学习回米利都后，创办了爱奥尼亚学派泰勒斯是“论证数学”的发祥人泰勒斯定理——二、毕达哥拉斯及其学派

毕达哥拉斯于公元前572年左右出生于爱琴海的萨摩斯岛旅行归来后创办了神秘的毕达哥拉斯学校毕达哥拉斯哲学——“万物皆数”道德哲学——“尊重誓言”、“尊重英雄”、“尊敬祖先和血亲”成就——算术、音乐、毕达哥拉斯定理、无理数的发现、代数恒等式、面积变换等三、柏拉图及其学园

公元前427年，柏拉图生于雅典或靠近雅典的一个名门贵族，他曾跟苏格拉底学过哲学，然后开始旅行，大约在公元前387年回到了雅典，创办了他的著名学园他深信：数学研究能培养人的思维能力格言：不懂几何的人，不得入内柏拉图是公理逻辑方法的奠基者四、亚里斯多德及其哲学

亚里斯多德是柏拉图的学生和同事著作涉及各种自然科学、逻辑学和哲学等讨论过金、木、水、火、土、空气、风、雨、云、虹、沸腾、烤、颜色、时间、空间、运动、热、青春与老的区别、睡和醒的区别等等，涉及到数学、物理、化学、生物、生理、解剖、政治、哲学、道德等等学科他首先区别了潜无限和实无限亚里斯多德是逻辑学之父，三段论法属于他

五、欧几里得与亚历山大学派

欧几里得是亚历山大大学的数学教授和亚历山大大学学派的奠基人“几何学中没有王者之路．”传世之作——《原本》六、阿基米德——数学之神

大约在公元前287年出生于西西里岛上的希腊城市叙拉古，与亚历山大学派有来往物理学家——杠杆、滑轮（组）、浮力定律、光学、机械、抽水机、星球仪数学家——割圆术与圆周率、平衡法、公理法处理数学、海伦公式、球体的体积公式七、阿波罗尼乌斯

——伟大的几何学家

阿波罗尼乌斯大约公元前262年出生于南小亚细亚的珀加，属于亚历山大学派

《圆锥曲线》使他赢得了“伟大的几何学家”的称号并且完全取代了前人关于这个课题的早期著作，这部论著比目前有关这方面的大学课程还要完善得多！几乎使后人没有插足之地八、丢番图

丢番图生卒年代与国籍均不可考，大约是公元三世纪的人．曾活跃于亚历山大里亚关于他的一生，只有通过他的墓志了解在数学上的杰出贡献是希腊代数的简化《算术》是他最重要的一部书，是代数数论的解析处理，他在这个领域里是个天才费尔马大定理就是写在这本书的页边上

九、花拉子米

——代数学之父

阿布·贾法尔·穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米,783年左右出生于花拉子模，813年，被聘到巴格达工作．830年之后，花拉子米是“智慧馆”的主要学术负责人之一．一直工作到850年左右去世传世之作是“Ilmal-jabr

wa’l

muqabalah”，主要是移项和合并同类项，给出了6种类型的一、二次方程的“标准形式”。13世纪传入欧洲，被奉为代数学教科书的鼻祖．花拉子米被许多人尊为“代数学之父”十、费波那奇

费波那奇1775年出生于比萨旅行过埃及、西西里、希腊、叙利亚等地，拜访了各地的数学家成名著作《算盘书》把印度——阿拉伯数码介绍到了欧洲书中有个有趣的问题——兔子繁衍的问题导致了著名的费波那奇数列十一、韦达

韦达于1540年出生于法国普瓦图地区，从事法律工作，数学是他的业余爱好在研究方程问题的过程中创立符号代数,在西方被称为“西方代数学之父”韦达定理——方程的根与系数的关系三角方面有正切定理及和差化积公式曾解过方程在几何方面，韦达最早给出了关于圆周率值的无穷算式：十二、纳皮尔——对数

纳皮尔（1550—1617）出生时他父亲16岁纳皮尔是个预言家，别人认为他是神经病他发现了对数并制作了对数尺，他的对数相当于以为底，并制作了对数表

在球面三角方面至少发现了两个三角公式

1971年，尼加拉瓜发行了一套邮票，尊崇世界上“十个最重要的数学公式”，其中有一张就是纳皮尔对数

十三、笛卡尔与解析几何学

笛卡尔1596年生于法国图赖省拉艾镇学习过人文学科、法语、音乐、辩论、骑马、击剑、哲学、数学、物理学和天文学曾多次从军并到过德国、丹麦、荷兰、瑞士和意大利等地漫游是一位伟大的哲学家、数学家名著《方法论》中有个附录是《几何学》

在其中用代数方法改造几何，用代数方法来处理几何问题，把变量引进了数学

十四、费尔马与数论

1601年出生于法国图卢兹附近的博芒特长期从事律师职业，是伟大的业余数学家最杰出的贡献是对现代数论的奠基费尔马大定理：不存在正整数，，，使得（）猜想：对于所有的自然数，是素数费尔马和笛卡尔都是解析几何的奠基人十五、牛顿

伊萨克·牛顿于旧历1642年12月25日即伽利略死的那年的圣诞节，生于沃尔斯索普村作为物理家，最伟大的著作是《原理》，这是科学史上最有影响、荣誉最高的著作作为数学家，发明了微积分，要算是历史上最伟大的数学家晚年主要从事化学、炼丹和神学的研究1699年，被任命为造币厂的厂长

十六、莱布尼兹

1646年出生于德国莱比锡城，是十七世纪伟大的全才，不到二十岁就熟练地掌握了一般课本上的数学、哲学、神学和法学青年时代就开始发展他的《万能算法》数学方面，发明了微积分，还是符号大师创造了二进位制1700年，莱布尼兹创办了柏林科学院希望康熙信基督教，从而使中国信基督教十七、贝努利家族

三代出了13位数学家最杰出的数学家是雅各、约翰和丹尼尔雅各对数学几乎是无师自通，任瑞士巴塞尔大学的数学教授达18年约翰在雅各的指导下研究数学，雅各去世后他即继任瑞士巴塞尔大学的数学教授达43年之久丹尼尔是这个家族中成就最大的数学家，曾先后荣获法兰西科学院10次奖十八、欧拉

欧拉（1707—1783）生于瑞士的巴塞尔，师从于约翰，17岁获硕士，20岁任彼得堡研究院的首席数学家达14年，34岁主持柏林的普鲁士研究院达25年，59岁又回到了圣彼得堡研究院达17年是世界上最高产的数学家，《欧拉全集》原计划72卷，后改为84卷欧拉三个国籍：瑞士、俄国、德国十九、拉格朗日

拉格朗日（1736—1813）生于意大利都灵1755年9月，皇家发布法令，任命他为皇家炮兵学校的数学教授1764年和1766年，拉格朗日解决了“三体问题”，和“六体问题”，从而两次获法国科学院大奖1766年，到柏林接替欧拉出任柏林科学院数学物理研究所所长1786年，拉格朗日被邀赴巴黎工作、定居拉格朗日三个国籍：意大利、德国、法国二十、高斯——数学王子

高斯于1777年出生于德国的布隆斯维克，神童1796年，用尺规法作出了正十七边形1797年，证明了“代数基本定理”1801年，得到了可用尺规法等分圆的条件1807年，在哥廷根任教授和天文台台长，在天文方面有卓著的贡献，曾计算出了两颗小行星轨道1827年，发表了《一般曲面论》去世后，汉诺威王乔治为高斯做了一个纪念章，自那以后，高斯就以“数学王子”著称，并与阿基米德、牛顿同称为世界三大数学家二十一、柯西

1789年出生于巴黎，受拉格朗日影响从事数学

写作数量上仅次于欧拉，柯西全集为24卷建立了连续函数的积分在纯粹数学和应用数学两方面都渊博而深奥，主要功绩在分析学的严谨化方面。贡献包括：无穷级数的收敛性和发散性、实变和复变函数论、特征方程、微分方程、行列式、概率和数学物理方面的研究二十二、格林

童年辍学，青年未接受高等教育，在面包铺的磨坊工作，坚持自学，自学成才，变卖了面包铺，补习了三年，进入了剑桥贡献有：“格林公式”、“格林函数”、“格林算子”、“格林空间”、“格林测度”等剑桥学派的奠基人，缩短了英国与欧陆的距离保存了格林的磨坊旧址，以供人景仰二十三、阿贝尔

1802年出生于挪威奥斯陆附近的芬岛1817年，遇上了霍尔姆伯老师1821年，考取了奥斯陆大学1824年，证明了一般五次方程不可根式解1826年，留法，写出了巴黎论文1827年5月，回到了奥斯陆1828年初，获得了一份临时工1829年4月6日，在挪威费罗兰德病逝1841年，出版了巴黎论文2002年，设立了阿贝尔纪念基金——阿贝尔奖

二十四、伽罗瓦

1811年10月初生于巴黎近郊1825年，因考试不及格而留级考巴黎高等工科大学两度失败三次丢失论文手稿成了激进分子而被学校开除两度进监狱死于1832年5月30日的决斗留下了“根式解代数方程的条件”，群环域二十五、鲍耶父子

鲍耶·法尔卡什（匈牙利，1775—1856），一生从事第五公设的研究，无果

儿子鲍耶·亚诺什（匈牙利1802——1860）1825年，小鲍耶基本上完成了非欧几何学1826年，非欧几何学的抄本被母校丢了1831年，把非欧几何学的抄本寄给了高斯由于学术争论和家庭纠纷，58岁去世二十六、罗巴切夫斯基

罗巴切夫斯基（俄国,1793—1856）在喀山大学先当学生，后当教授，最后当校长1826年2月1被公认为“非欧几何学诞生日”,把第五公设换成了公理：“过已知直线外一点至少可以作两条直线和已知直线平行”罗巴切夫斯基是几何学上的哥白尼面对嘲笑、侮辱，从不屈服，坚持真理，英勇奋斗到生命的最后一分钟二十七、黎曼

黎曼1826年出生于德国汉诺威的一个小村1854年，建立了黎曼空间、黎曼几何，这是广义相对论所需要的空间

黎曼使可积概念明朗化了1859年，提出猜想：的所有虚零点的实部都等于1859年，继承了狄里克莱的席位（此席位曾一度由高斯担任）升任为正教授二十八、康托

1845年生于俄国圣彼得堡，犹太人1867年获柏林大学数学博士学位1869年起在哈勒大学任教直到去世克罗内克堵塞了他所有的道路1873年12月7日是集合论的诞生日1883年提出了连续统假设康托是真正踏进无限王国的第一人

二十九、克莱因

克莱茵（德,1849—1925）于1871年在哥廷根大学讲课，1886年任教授并主持数学学科的教学和研究工作1872年，就职演说——“爱尔兰根纲领”克莱茵瓶着眼于世界舞台的攀比，组织队伍，充当导演，物色演员：希尔伯特、闵考夫斯基、龙格。使哥廷根成为世界数学的中心三十、希尔伯特与23问题

1862年生于德国哥尼斯堡（加里宁格勒）1884年获哥尼斯堡大学博士学位1895年起担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世研究领域：代数不变量、代数数论、数学基础——元数学、积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等1900年8月6日——希尔伯特23问题三十一、布尔巴基学派

法国与德国在第一次世界大战中的对比布尔巴基学派产生的原因布尔巴基学派简介布尔巴基学派的借鉴意义三十二、哥德尔

1906年出生于奥地利1930年在维也纳大学获得博士学位1931年他证明了：“包含通常的逻辑和数论的一个系统的无矛盾性是不可能证明的”二战前夕，去了美国普林斯顿高级研究所1951年荣获了爱因斯坦勋章“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑．”三十三、拉马努扬

斯里尼·哇沙拉·马努扬，1887年12月22日出生于印度的马德拉斯城，自学成才

13岁独立推导出了重要公式19岁那年与一个9岁的女孩子结婚1913年给哈代的材料——120个数学式子，哈代邀请拉马努扬到英国剑桥来学习深造1919年因病