2025版高考数学一轮总复习考点突破第六章数列6.3等比数列

第六章数列6.3等比数列考点一等比数列基本量的计算例1（1）已知各项均为正数的等比数列{an}的前三项和为14，且a5=A.22023-1 B.22023解：设等比数列{an}的公比为qa1又a5=3由①②,解得q=2，a1故S2022=2（2）等差数列{an}的公差为d，且满足a3，a5，aA.12 B.0或1解：因为a3，a5，所以a52=所以a1-2dd=即da1=0或【点拨】①类似于等差数列，等比数列同样可以“知三求二”，因此列方程（组）是基本方法.②解方程组时常利用“作商”消元.③解决这类问题要留意公比q=变式1（1）[2024年全国甲卷]已知正项等比数列{an}中，a1=1,Sn为{anA.158 B.65解：由题意,知1+q+q2+q3+q4（2）[2024年全国乙卷]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-A.14 B.12 C.6 D.3解：设等比数列{an}的公比为q，q则a1解得q=12，a故选D.（3）[2024年全国乙卷节选]设{an}是首项为1的等比数列，已知a1，3a2，解：设数列{an}的公比为q.由题意，得6a2=a1+9a考点二等比数列的性质命题角度1与项或和有关的性质例2（1）设等比数列{an}中，每项均为正数，且a3aA.5 B.10 C.20 D.40解：log3a1（2）[2024年全国Ⅰ卷]设{an}是等比数列，且a1+a2A.12 B.24 C.30 D.32解：设等比数列{an}的公比为q，则a1+a2（3）[2024年全国甲卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4A.7 B.8 C.9 D.10解：（方法一）（等比数列性质）因为S2=4由等比数列性质，得S2，S4-S2即6-42（方法二）（基本量法）设等比数列{an}的公比为q所以a11-两式相除，化简得1+q2所以a1所以S6=a【点拨】①在等比数列中，若Sn≠0，则Sn，S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.②变式2（1）在等比数列{an}中，若a2aA.4 B.2 C.-2 D.解：由a2a3则a92a（2）在等比数列{an}中，已知a1+a解：设等比数列{an}a1+a又a9+a11=（3）[2024年新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5A.120 B.85 C.-85 D.解：（方法一）设等比数列{an}因为S4=-5，S6=因为S2,S4-S2所以-5-S22当S2=-1时，S2,S4-S2,S6-S易知S8+21当S2=54时，（方法二）设等比数列{an}的公比为q若q=1，则S6由S4=-5，S6=由①，得1+q2所以S8故选C.命题角度2函数特性例3设{an}是等比数列，则“a22>a1aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：当a2<0时，由a22当{an}为递增数列时，a2>所以“a22>a1a2故选D.【点拨】要理解等比数列通项和前n项和的函数特性，及a1和q变式3[2024年全国甲卷]等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：若a1=-1，q=1由{Sn}是递增数列，得Sn+故甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.考点三等比数列的判定例4【多选题】若数列{an}A.数列{1anC.数列{an+解：设等比数列{an}1an+11an当k=0时，kan=an+2an+1=aan+12an2=q【点拨】等比数列的四种常用判定方法,后两种在解小题时比较常用.定义法若an+1an=q(q为非零常数，n中项公式法若数列{an}中，an≠通项公式法若数列{an}的通项公式可写成an=c⋅前n项和公式法若数列{an}的前n项和Sn=k⋅变式4【多选题】设数列{an}，{A.若cn=aB.若dn=aC.若{an}的前n项和为Sn，则SnD.在数列{an}解：设数列{an}，{bn对于A，由cn=anbn，得对于B，由dn=anbn，得对于C，令an=-1n对于D，新数列的公比为an+k故选ABD.例5已知数列{an}和{bn}满足a1（1）证明：{an+证明：由题意，得4an+又因为a1+b1=由题意，得4a即an又因为a1-b（2）求{an}[答案]由（1），知an+b所以anbn【点拨】证明一个数列是等比数列，主要应用定义法和等比中项法.若要证明一个数列不是等比数列,只要找到一个正整数m，使am+1变式5设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1证明:因为a1=1，Sn=当n≥2时，Sn-1又a2=2,所以a因为a2a1所以an课外阅读·等差、等比数列的应用建模等差、等比数列相关实际问题，生活中比比皆是.将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：审题、建模、求解、检验、作答.这一过程须要学生具有较强的抽象概括、数学分析、逻辑推理和学问转化的实力,体现了数列的工具价值和数学的好用价值.1.某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm，满盘时直径为100mm，已知卫生纸的厚度为0.1mm，则满盘时卫生纸的总长度大约为(π≈3.14，结果精确到A.35m B.50m C.60解：（方法一）依据题意，空盘时盘芯半径为30mm，满盘时半径为50因为卫生纸的厚度为0.1mm，所以满盘时共有50每一圈卫生纸的周长成等差数列，且项数为200.依据等差数列的求和公式，可得S200将π≈3.14代入,计算可得满盘时卫生纸的总长度大约为50（方法二）设卫生纸的宽度为d,长度为l.满盘时卫生纸的体积为π×502-故选B.2.某病毒探讨所支配改建十个试验室，每个试验室的改建费用分为装修费和设备费，每个试验室的装修费都一样，设备费从第一到第十试验室依次构成等比数列.已知第五试验室比其次试验室的改建费用高42万元，第七试验室比第四试验室的改建费用高168万元，并要求每个试验室改建费用不能超过1700万元.则该探讨所改建这十个