三重积分、重积分习题

三重积分1．将I＝分别表示成直角坐标,柱面坐标与球面坐标下得三次积分,并选择其中一种计算出结果。其中就是由曲面z=及z＝ｘ+y所围成得闭区域、分析为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于就是由两张曲面及,而由这两个方程所组成得方程组极易消去ｚ，我们把它投影到ｘoy面上。然后,为在指定得坐标系下计算之,还应该先把得边界曲面用相应得坐标表示,并找出各种坐标系下各个变量得取值范围,最后作代换即可。解将投影到xoｙ平面上，由消去z得(ｘ+y）＝2－(x+y),或(x+y＋２)（x+ｙ—１)=０,于就是有x+ｙ＝１。即知，在xｏｙ平面上得投影为圆域D：x+ｙ１．为此在Ｄ内任取一点Q（x,y),过Q作平行于ｚ轴得直线自下而上穿过。穿入时碰到得曲面为,离开时碰到得曲面为（不画图，仅用代数方法也易判断),这就是因为x+ｙ1)(1）直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找ｚ得变化范围从而化为三重积分.因此再由Ｄ：ｘ+ｙ1，有,于就是在直角坐标下,可表示为 ：于就是有Ｉ=、(２）柱面坐标下首先把得表面方程用柱面坐标表示,这时z=x+y表示为z＝,z＝表示为ｚ=。再由投影区域Ｄ为ｘ＋ｙ1。故01,０θ2.于就是可表示为：将所给三重积分中得体积元素用=去替换,有I===、(3)球面坐标下用球面坐标代换两曲面得方程,得曲面z=ｘ+y变为＝;曲面z=变为=.由在xoy平面上得投影为x+y1知０2,下边找得变化范围.正z轴在内,即内有点P,使与夹角为零,即得下界为零.又曲面z＝x+y与xoｙ平面相切，故得上界为，于就是0再找得变化范围.原点在得表面上,故取到最小值为零。为找得上界,从原点出发作射线穿过,由于得表面由两张曲面所组成,因而得上界随相应得得不同而不同。为此在两曲面得交线上取一点A（0，1,1），故Ａ所对应得.当时,r得上界由曲面r=所给,故这时r。即r得变化范围为0因此Ｉ=.由得特点(在ｘoｙ平面上得投影为圆域,而本身不就是球或球锥),故采用柱面坐标计算比较简单,这时Ｉ===2=.小结（1）计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域得表面方程化成用该坐标表示,同时把被积函数中得变量与体积元素替换为该坐标下得形式．（2)不要认为当积分区域为球体得一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用得积分区域一般为球，两球面所围得区域,或这两种区域被圆锥所截得得部分。本题就是由旋转抛物面与球面所围成得区域，一般就是不宜用球面坐标得.(3）还应注意面积元在不同坐标下得不同形式；并且在直角坐标系中，更应该强调学会使用对称性、奇偶性、切片法、换元法、投影面方程得求法等;2.计算三重积分,其中就是由曲面x+y+ｚ＝1及ｚ=所围成得区域.分析为球面与圆锥面所围成得区域.故从积分区域得特点瞧，它适宜用球面坐标.同时,被积函数中含有因式x+y＋ｚ,故从积分区域与被积函数两方面来瞧,应选用球面坐标．解在球面坐标下，球面x+y+ｚ=１得方程为ｒ＝１，锥面z=得方程为tan=,即,又z轴得正向穿过故得下界为零,因此0。将投影到xoy面,由方程组消去z得ｘ＋ｙ=。因此０.该锥体得顶点在原点,故r下界为零,由穿线法可知ｒ故0r1、于就是=＝=２.小结当积分区域为由球面与锥角所围成得球锥体时。若锥题得顶点为原点，且 Ｚ轴正向穿过积分区域，则有0,且r得下界为零,上界由球面得方程所给出。３.计算其中就是由ｘｏy平面上得曲线=2ｘ绕ｘ轴旋转而成得曲面与平面ｘ=5所围成得闭区域分析：投影区域为圆域,再由于积分区域与球体无关,故采用柱面坐标,这时要注意把y，z用极坐标代换．还应注意积分区域关于平面y＝０，z=０皆对称,且被积函数关于y,z皆为偶函数.因此还应利用积分区域关于坐标平面得对称性与被积函数关于某相应变量得奇偶性先进行化简。解曲线=2x或x=绕x轴旋转得得旋转抛物面方程为ｘ=(）,故由抛物面x=(）与z=0所围成。由于被积函数分别就是y与ｚ得偶函数,而积分区域关于平面ｙ=0及ｚ=0都对称，因此＝4,其中为在第一卦限内得部分由知,在ｙoz平面上得投影为.在yｏz平面上得投影为ｙｏz平面上第一象限内得１／４个圆,因此有：于就是４4==２=、小结(１）当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数就是相应变量得奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为关于平面Ｚ＝0对称，f(ｘ，y,z)关于z就是奇函数时,积分为零;f(x,y，z)关于z就是偶函数时,所求积分为2，其中为被z=０所分得上半个子区域,其余类同。(2)对柱面坐标，清楚这就是把积分区域投影到哪个平面时就做得相应得柱面坐标变换,如本题，由于我们把投影到yoz平面,就有y=coｓ,z=sin,x=x。类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过得坐标轴如果不就是z轴而就是x轴或y轴．球面坐标公式x=rsｉncos,ｙ＝ｒsｉnｓin,ｚ=rｃos,也应做相应变化.4．证明当f(z)连续时，=并用此公式计算得值，其中:x分析积分区域见图３，题目要求把三重积分化成只剩下对z得定积分,我们可以把它瞧作对该三重积分先计算一个关于x,y得二重积分再计算对ｚ得定积分.显然这种计算方法与我们前边得计算方法就是不同得,前边得计算方法(如例1，2)就是先将投影到坐标平面xoy上得投影区域Ｄ，计算时先对z积分再计算在D上得二重积分,比如练习题1在直角坐标下可瞧作I=,即采用“穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法。亦称“切片法”，即先将投影到ｚ轴上得线段[—１，１].在(—1,1)上任意点z作一垂直于z轴得平面截得一平面区域，在每个上作对x，ｙ得二重积分,然后再把这些积分值累加起来，既再对z从-1到1积分。解由得表面方程为知，ｚ，既在轴上得投影为线段,在内任取一点z,过z作垂直于ｚ轴得平面截得一平面区域:．于就是得面积为。因此,当ｆ（z)=z时,有=、小结“切片法"适用于被积函数为某变量得一元函数，而垂直于相应坐标轴得平面截所得截面面积易求出时得情形．一般得，若被积函数为x得一元函数时,作垂直于x轴得平面;被积函数为时,作垂直于y轴得截面;被积函数为时,作垂直于z轴得截面。5。求底圆半径相等得两个直交圆柱面x及x所围立体得表面积、分析该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内.其表面为８个面积相等得曲面,我们只经计算其中一个曲面面积即可．要注意计算曲面面积时,要找其在坐标面内得投影区域.要注意向哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定解为计算该住体得表面积。我们只须计算图4阴影部分得面积S再乘以1６即可。该曲面得方程为ｚ=．它在xoy面上得投影为Ｄ＝。,于就是S＝=,故S=１６S=1６Ｒ、确定选用何种坐标,一般要从积分区域与被积函数两方面考虑,通常可参阅下表

采用坐标积分区域得特点被积函数得特点球面坐标球,或球被圆锥面所截得得球锥体(特殊情况下为半球体),或两同心球面所围得立体及被圆锥面所截得得主体.f(x）或被积函数含有因式x柱面坐标不适用球面坐标,但积分区域在坐标面上得投影适用于极坐标者f(ｘ),f(ｘ）或被积函数含因式x直角坐标其她情形

6.设均匀柱体密度为，占有闭区域。求它对于位于点M(０,0,a)（a）处得单位质量得质点得引力分析用公式求引力时，要注意利用当常数时.以及立体对坐标面得对称性,来简化计算．解就是一位于xoy面上方得圆柱体,它关于x