2023年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

202３年全国初中数学联合竞赛试题第一试（A)一、选择题(每小题７分,共42分)1．设实数a,b，ｃ满足：,,则()A.0 ﻩ ﻩB．3ﻩﻩﻩ C．６ ﻩﻩ ﻩD.92.若抛物线与x轴只有一个公共点,且过点A（m,ｎ)，Ｂ（m－8，ｎ）,则n＝(）A.8ﻩ ﻩＢ.１２ﻩﻩ ﻩC．16ﻩﻩ ﻩD.24ABCDEF3.矩形ABCD中,ＡＤ=5，AB=１0,E、F分别为矩形外的两点，BE=ＤＦ＝4,AF＝ABCDEFA.ﻩﻩ ﻩ B．1５C. ﻩ ﻩﻩ ﻩＤ.4．已知O为䝐标原点,位于第一象限的点Ａ在反比例函数的图象上，位于第二象限的瀹B在反比例函数的图象上﬌且OＡ⊥OB,则taｎ∠AＢO的值为(）A. ﻩﻩＢ.ﻩ ﻩ C．１ﻩ ﻩﻩD．2５．已知实数x（y满足关系式,则的最小值为(）A.ﻩﻩ B．ﻩﻩﻩC.１ﻩ ﻩ D.6．设ｎ是小于100的正整数且使是15的倍数，则符合条件的所有正整数ｎ的和是()A．28５ B.350 ﻩ C．540 D．6３5二、填空题（每小题7分，共28分)ABCDFOE7．设ａ，b是一元二次方程ABCDFOE８.从三边长均为整数且周长为2４的三角形中任取一个，它是直角三角形的概率为.９．已知锐角△ＡBC的外心为O，ＡO交BＣ于D，E、F分别为△ＡBＤ、△AＣD的外心,若ＡB＞AC，ＥF=BC,则∠Ｃ-∠B＝.10．将数字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中,每个方格填一个数字,规定每行数字从左到右是从小到大的顺序，则第三列所填６个数字的和的最小值为.第一试(B）一、选择题（每小题7分,共42分）1.设实数a,b,c满足：，，则()A.１2ﻩ ﻩB.9ﻩﻩﻩ ﻩC.6ﻩ ﻩD.32．若抛物线与x轴只有一个公共点,且过点A（m，n),B（m-8，n），则n=（)A.8 ﻩﻩ B．12 ﻩﻩﻩC．16 ﻩﻩﻩD.243．矩形ABＣＤ中，ＡＤ＝5，AB＝１０,Ｅ、F分别为矩形外的两点，ＢE＝DＦ＝４，ＡF=CＥ＝3，则EF＝()A. B.1５ﻩﻩ ﻩC. ﻩ D．4.已知实数x，y满足关系式，则的最大值为(）A．3 ﻩ ﻩB.6ﻩﻩ ﻩC.9 D．125．已知Ｏ为坐标原点,位于第一象限的点A在反比例函数的图象上，位于第二象限的点B在反比例函数的图象上，且OA⊥OB,则tａn∠ABO的值为（)A.ﻩ Ｂ. ﻩＣ．１ﻩﻩﻩﻩD．26．设n是小于10０的正整数且使是6的倍数,则符合条件的所有正整数ｎ的和是(）Ａ．784 ﻩ B.850 ﻩﻩ C.１5３6ﻩ D．1634二、填空题(每小题7分，共28分）AOBDC７．设ａ,b是一元二次方程的两根，则的值为AOBDC8．三边长均为整数且周长为2４的三角形的个数为.9．C、D两点在以AB为直径的半圆周上，AD平分∠ＢＡC,AB＝２０,ＡD=，则ＡC的长为.10．在圆周上按序摆放和为15的五个互不相等的正整数a，b,ｃ,ｄ,e，使得ab＋bｃ+cd+de+ｅa最小,则这个最小值为.ﻬ第二试（A)1．（20分）关于x的方程有且仅有一个实数根，求实数m的取值范围.ABCDPFNEM2．(２５分)如图,圆内接四边形ＡBCD的对角线AC、BD交于点E,且ＡC⊥BD,AB＝AＣ.过点D作ＤF⊥ＢD，交ＢＡ的延长线于点F，∠BＦD的平分线分别交ABCDPFNEM（1）证明:∠BAD=3∠DＡＣ;(２）假如,证明：MN=MD.３.（25分)设正整数m，n满足:关于x的方程至少有一个正整数解，证明：.第二试(B）１．（20分）若正数a，b满足aｂ=１,求的最小值.2．（2５分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E,且AC⊥BD,AＢ=ＡC=BD.过点D作DF⊥BＤ，交BA的延长线于点F,∠BFD的平分线分别交ＡD、BD于点M、N.ABCDFMABCDFMEN（2)假如ＭN=MＤ,证明:BF＝CＤ＋ＤF．3.（25分)若关于x的方程至少有一个正整数根,求满足条件的正整数k的值.ﻬ2023年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试(A)１.解：D．提醒：∵,,∴．2.解：Ｃ．提醒:依题意,有，于是可得.∵抛物线与ｘ轴只有一个公共点，∴,∴．因此．ABCDEFG3.解:Ｃ．提醒：易知∠AFD＝∠BEC=90°,△BEC≌△ABCDEFG延长FＡ,ＥB交于点G.∵∠ＧAB＝90°－∠DAF＝∠AＤF，∠GBA=90°-∠ＣBE=∠BＣE=∠DAF，∴△BGA∽△AＦD,且∠AＧB＝９０°，∴AG=8,BG=6，∴GF＝1１，GE＝１０,∴．4.解：A.提醒：过点A、B分别作AC⊥x轴，ＢD⊥x轴,垂足为C、Ｄ.由OA⊥OB得∠AOB＝９0°,于是可得△AＯＣ∽△ＯBD，∴.5.解:Ｂ．提醒：设,则由题设条件可知，∴x,y是关于m的一元二次方程的两个实数根，于是有:，解得或.又∵,∴当（即）时,取得最小值,最小值为.６．解：D．提醒：∵是１5的倍数，∴,∴，∴.设(m是正整数），则．∵是15的倍数,∴是3的倍数，∴或,其中k是非负整数．∴或，其中ｋ是非负整数.∴符合条件的所有正整数n的和是．7.解：１1.提醒:∵a,b是一元二次方程的两根,∴，,,，∴.８.解：．提醒：设三角形的三边长为a，b，c(）,则，，∴，故a的也许取值为８，９,10或11，满足题意的数组（ａ，b,c)可认为:(8,８，8)，(9,9，6),(9，８,7）,(１０，10,4），(10,9,５），（10,8，6）,(10，７，7）,(11，11,2),(11，10,3),（１1,9,４）,（１1，8，5),（１1,７，6）.共１2组，其中，只有一组是直角三角形的三边长,∴所求概率为．9.解:60°.提醒：作ＥM⊥BC于点M，FN⊥ＢC于点N,ＦP⊥ＥM于点P．ABCMNDFOEPABCMNDFOEP∴M、N分别为ＢD、CD的中点.又EＦ＝BC,∴ＰF＝MＮ＝BＣ=EF,∴∠PEF＝30°．又EF⊥AD,EＭ⊥BC，∴∠AＤＣ=∠PＥF＝30°.又∠ＡDC=∠Ｂ＋∠BAD＝∠B+（180°-2∠C)=90°+∠B-∠C，∴∠Ｃ－∠B＝90°-∠ADC=６0°.10.解:６3．提醒：设第三列所填6个数字按从小到大的顺序排列后依次为A,B,C，D，E,F.∵A所在行前面需要填两个比Ａ小的数字,∴A不小于3；∵Ｂ所在行前面需要填两个比B小的数字，且Ａ及A所在行前面两个数字都比B小，∴Ｂ不小于6.同理可知:C不小于９，D不小于１2，E不小于１5，F不小于1８.因此，第三列所填6个数字之和A+B＋Ｃ＋D＋E+Ｆ≥3＋6＋９+12+１5＋1８=６３.如图即为使得第三列所填６个数字之和取得最小值的一种填法(后三列的数字填法不唯一）.１２3192021４5625272９789222３241011122６2８30１３1415３13435１6１７18３2333６第一试（Ｂ）1.解:B．提醒：∵，，∴.２.解：C．提醒：依题意，有,于是可得.∵抛物线与x轴只有一个公共点,∴,∴.因此．ABCDEFG３.解：C．提醒：易知∠AＦD＝∠BEC=9０°，△BEC≌△ABCDEFG延长FA,EB交于点G.∵∠GＡB=90°-∠DＡF＝∠ADF,∠ＧBA＝90°-∠ＣBE=∠BＣE＝∠DＡＦ,∴△BGA∽△AFＤ，且∠AGB＝90°,∴ＡＧ=8,BＧ=6,∴GF=１1,GＥ＝10，∴.4.解:D.提醒:设，则,代入题设等式得,整理得．由判别式得,故．5．解:A.提醒:过点A、B分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴，垂足为Ｃ、D.由OA⊥OＢ得∠ＡＯB＝90°，于是可得△AOＣ∽△ＯＢＤ,∴．6．解：D.提醒:∵是6的倍数，∴，∴，∴.设(ｍ是正整数),则.∵是６的倍数,∴是３的倍数，∴或,其中k是非负整数．∴或,其中ｋ是非负整数.∴符合条件的所有正整数n的和是.7．解：11.提醒:∵ａ，b是一元二次方程的两根，∴，,,,∴.8.解：１2.提醒：设三角形的三边长为a，b，ｃ()，则,,∴,故a的也许取值为8，9,10或1１,满足题意的数组(a,b,c)可认为:(８，8，８),（9,9，6），（9，8，7),（10，1０，4),（10，9,５),(10，8,６)，（10，7,7)，（１1，1１，2）,（11,１0，３),（11，9,4），（11，8，5），（11，7,6）．共12组,∴三边长均为整数且周长为24的三角形的个数为12.AOEBDCF9.解：4．提醒：连接OD、OC,作DＥ⊥AB于Ｅ,AOEBDCF∵AD平分∠BＡC，∴∠ＤＯＢ＝2∠BAＤ＝∠OAC.又OA=OＤ,∴△AＯF≌△OＤE,∴OE＝AF，∴AC＝2OＦ=2OE.设ＡC=2x,则OE＝AF＝ｘ．在Ｒｔ△ODE中，由勾股定理得.在Rt△ADＥ中,ＡD2＝ＤE２＋ＡE2,即，解得x=2．∴AC=2x＝4.１0.解：37.提醒:和为15的五个互不相等的正整数只能是1，2，3,4，5.注意到五个数在圆周上是按序摆放的,且考虑的是和式，不妨设ａ=5.552e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e图1图2图3图4图5假如1和5的位置不相邻,不妨设c=1（如图2)，此时的和式为；互换１和b的位置后，得到如图３的摆法,此时的和式为．∵，∴．因此，互换1和b的位置使得1和5相邻(如图3）以后,和式的值会变小．如图3，假如ｄ＝２，此时的和式为;互换e和２的位置以后,得到如图4的摆法,此时的和式为.∵，∴.因此，互换e和2的位置使得２和５相邻以后和式的值会变小.假如b＝2,此时的和式为;互换e和2的位置以后，得到如图5的摆法，此时的和式为．∵,∴.因此,互换e和２的位置使得2和5相邻以后和式的值会变小．综上可知:1和2摆在５的两边（如图5）时,和式的值会变小.当d＝3,e=4时,和式的值为；当d=4,e＝3时,和式的值为.因此,所求最小值为３7.第二试（A）１.解:将所给方程记为方程①，显然有且．若,则,此时方程①无解，不符合题意,故.方程①变形得，两边平方后整理得，再平方,整理得.显然,应当有,并且此时方程①只也许有解.将代入方程①,得,化简整理得??？，于是有,此时方程①有唯一解.ABCDQPABCDQPFNEM2.证明：（１）在BE上取一点Ｐ,使得∠BAP=∠DAＣ,则△BAP≌△CＡD,∴AP=AD.又ＡE⊥ＰD,∴△ADE≌△ＡPE，∴∠PＡE＝∠ＤＡE，∴∠PAE＝∠BＡP＝∠DAＣ,∴∠BAD＝３∠ＤAＣ.（2)设∠DAC＝α，则∠BＡＣ=2α,∠ＢAＤ＝3α，∠NＤM=90°-α.在FB上截取FＱ＝FD，连接QD，则ＢＱ＝BF－FＱ＝BＦ－ＦＤ．又,∴.又∠QBＤ=∠DCＡ,∴△QBD∽△DＣA，∴∠ＱDＢ＝∠DAC.又∵∠DBC=∠DAC，∴∠QDＢ=∠DＢＣ，∴QD∥BC，∴∠FQD＝∠AＢＣ.又AＢ=AC，∠ＢAC=2α,∴∠ABＣ＝90°－α，∴∠FQD＝90°-α.又FQ＝FD，∴∠BＦD＝2α.∵ＦN平分∠BFD,∴∠AFM＝α，∴∠NＭD＝∠ＡMF=∠BAD－∠AFM＝3α－α＝2α,∴∠MND＝１８0°-∠NＭD－∠NDM＝9０°-α=∠MDN,∴MN=MD．3.证明：方程即①，方程①的判别式.不妨设，由题设可知，整系数方程①至少有一个正整数解，∴应为完全平方数.注意到,,若,即,则，从而有，故只也许,即，整理得，这与m,ｎ均为正整数矛盾.因此,从而可得，∴.又∵,∴有,整理即得．第二试(B)1.解：∵,∴,∴．设，则，当时取得等号.∴,.因此,当，时,取得最小值.ABCDFQMPEN2.证明:(1)在ABCDFQMPEN则△BAＰ≌△CAＤ,∴AP=AD.又AＥ⊥ＰD，∴△ADＥ≌△APE,∴∠PＡＥ=∠ＤAE,∴∠PAＥ=∠ＢAP＝∠DAC,∴∠BAD=３∠DAＣ.（２）设∠DAC＝α，则∠BAC＝2α,∠ＢAD＝3α.∵AＣ⊥BD，∴∠NDM＝9０°－α.∵MＮ=MD，∴∠ＭND＝∠MDN＝９０°-α,∴∠NMＤ=180°-∠ＭNＤ－∠NDM=２α,∴∠AMＦ=2α，∴∠ＡＦM=∠BAD-∠AMF=3α－2α＝α.∵FN平分∠ＢFD，∴∠BFD＝２∠AＦM=２α．在FB上截取FQ=FＤ,连